Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Гладкая проволочная окружность радиуса г и массы М (см. рисунок), соединенная с горизонтальной неподвижной плоскостью двумя одинаковыми пружинами жесткости с каждая, может поступательно перемещаться по вертикали. По внутренней стороне окружности может двигаться шарик массы т. Найти малые колебания системы около устойчивого положения равновесия. 16. 33. Колебательная система, представленная на рисунке, помещена на Земле и на Марсе; силы тяжести параллельны прямой АВ. Найти малые движения систем. Нем различаются эти В движения? 16.34. Два груза массами т! и т2 (см. рисунок) с связаны между собой и с неподвижной степкой одинаковыми пружинами жесткости с. В каком соотношении должны находиться массы т! и т2 для того, чтобы х! — (11 с вектор и! = ! ) был амплитудным? При этих значс! — 11 х! К задаче 16.33 К задаче 16.34 е ь.с.
пятницкий и др. 2. А никит ичеекиа механика 162 ниях масс найти второй амплитудный вектор п2 и частоты главных колебаний. 16.35. Два одинаковых груза массы т (см. рисунок), связанных между собой и с неподвижными стенками пружинами жесткости с каждая, совершают малые колебания по гладкой горизонтальной направляющей. Как изменится наименыпая частота главных колебаний системы, если один из грузов неподвижно закрепить? (Эффект Релея.) К задаче 16.35 К задаче 16.37 16.36.
В условиях задачи 15.14 найти малые колебания в окрестности устойчивого равновесия, приняв а = л/3, тиз2 = 5а/9. 16.37. Найти закон изменения во времени зарядов д1 и д2 в контуре, представленном па рисунке. В начальный момент 01(0) = о10, 02(0) = 020, д1(0) = 02(0) = О. 16.38. Электрический контур, изображенный на рисунке, моделирует явление биений. Найти закон изменения зарядов д1(1) и 02(1), если в начальный момент 01(0) = 010, д2(0) 020, Ч1(0) = 02(0) К задаче 16.39 К задаче 16.36 К задаче 16.40 16.39. Две массы т1 = т2 = т (см, рисунок), связанные между собой пружиной жесткости с, могут двигаться по гладкому неподвижному горизонтальному кольцу радиуса Л; длина пружины в недеформированном состоянии равна ЛьГ2.
Найти малые колебания системы. 16.40. Доска массы т, (см. рисунок), которая может скользить по гладкой горизонтальной направляющей, связана с неподвижными стенками двумя одинаковыми пружинами жесткости с каждая. По верхней стороне доски катится без проскальзывания диск массы 316. 64олые колебания консервативных систем 163 гп/2 и радиуса г, центр которого соединен с краем доски пружиной жесткости 2с. Найти малые колебания системы. 16.41.
Два одинаковых однородных диска массы пз каждый (см, рисунок) могут катиться без проскальзывания по горизонтальной направляющей. Центры дисков соединены между собой и с неподвижными стенками одинаковыми пружинами жесткости с. Найти малые колебания системы. К задаче 16.41 16.42. Однородный диск радиуса г и массы т (см. рисунок), центр которого соединен с неподвижными стенками двумя одинаковыми пружинами жесткости с каждая, катится без проскальзывания по горизонтальной прямой.
К центру диска подвешен математический маятник длины 1 и массы т/2. Считая, что с1 = тв, найти малые колебания системы. К задаче 16.43 К задаче 16.42 16.43. К центру однородного цилиндра радиуса г и массы т (см. рисунок), который может катиться без проскальзывания внутри неподвижного полого цилиндра радиуса Л, подвешен математический маятник массы т/2 и длины 1 = (Л вЂ” г)/2. Найти малые колебания системы вблизи устойчивого положения равновесия, если в начальный момент ~р(0) = О, 6(0) =86, ф(0) =6(0) =О. 16.44. Однородный круглый диск радиуса г и массы т, (см.
рисунок) подвешен на невесомой нерастяжимой нити длины 1 = Зг/2. Найти малые колебания системы в вертикальной плоскости. 16.45. К концу А однородного стержня АВ массы М и длины За (см, рисунок), который может поворачиваться в вертикальной плоскости вокруг неподвижной точки О (АО = а), на невесомой перастяжимой нити длины 1 = а подвешен грузик массы т = ЗЛХ/4. 2. А налиизичеекаа механика 164 Найти малые колебания системы вблизи устойчивого положения равновесия.
16.46. К концу А однородного стержня АВ массы т1 = 2т и длины 21 (см. рисунок), который может поворачиваться в верти- К задаче 16.45 К задаче 16.44 кальной плоскости вокруг неподвижной точки О (АО = АВ/3), на невесомой нерастяжимой нити длины 1 подвешен грузик массы т.
Конец В стержня прикреплен к неподвижному основанию пружиной жесткости с (при горизонтальном положении стержня пружина ненапряжена). Найти малые колебания системы около устойчивого положения равновесия. К задаче 16.47 К задаче 16.46 16.47. Найти малые колебания обращенного двойного маятника, изображенного на рисунке, вблизи устойчивого вертикального положения равновесия. 16.48.
Решить предыдущую задачу считая, что система расположена в горизонтальной плоскости. 5 16. Малые колебания консервативных систем 16.49. Точка подвеса двойного маятника, состоящего из двух одинаковых однородных стержней длины 1 каждый, движется с постоянным ускорением юо вдоль горизонтальной прямой. Найти малые колебания маятника в подвижной системе отсчета. 16.50. Однородный цилиндр А радиуса г и массы т (см. рисунок) катится без проскальзывания по внутренней поверхности полого цилиндра В радиуса Л и той же массы пз, который может вращаться вокруг своей горизонтально расположенной неподвижной оси О.
Найти малые колебания системы. 16.51. По впутрешюй поверхности полого цилиндра радиуса Л и массы И (см, рисунок), который может свободно качаться вокруг горизонтальной образующей О, катится без проскальзывания однородный цилиндр радиуса г = Л/4 и той же массы И. Найти малые колебания системы вблизи устойчивого положения равновесия. К задаче 16.51 К задаче 16.52 К задаче 16.50 16.52. Три цилиндрические трубы с радиусами Ле = йг, Л1 = 2г, Л2 = г вложены одна в другую, как показано на рисунке. Внешняя труба радиуса Ло неподвижна, проскальзывание между трубами отсутствует, а их массы равны соответственно гп1 = Зт и т2 = = пк Найти малые колебания системы около устойчивого положения равновесия.
16.53. Материальная точка находится па внутренней поверхности неподвижного эллипсоида с полуосями а, 6 и с, главная ось Ог которого направлена по вертикали. Найти малые колебания точки в окрестн>сти устойчивого положения равновесия. 16.54. По гладкому параболоиду з = ая2+ Ру (а > О, 6 > 0), вращающемуся с постоянной угловой скоростью Й вокруг вертикальной оси Оз, может двигаться материальная точка. Найти малые колебания точки в окрестности устойчивого положения равновесия в системе координат, связанной с параболоидом. 2. Аналитичеекал механика 166 16.55. Найти общее решение задачи о малых колебаниях материальной точки, находящейся в поле силы тяжести на поверхности, заданной уравнением (ось Ог направлена вертикально вверх): а) 1з — 4х2 — 2ху — у2 = 0 б) йх — 2х2 — 2ху — Зуз = 0; в)Ь вЂ” х — ху — у =О.
2 2 16.56. Твердое тело (А > В > С) может свободно вращаться вокруг неподвижного центра инерции. В начальный момент телу сообщазот достаточно большую угловую скорость П относительно наименыпгй (наибольшей) оси эллипсоида инерции. Найти частоты малых колебаний наименьшей (наибольшей) оси эллипсоида инерции. 16.57. Гиромаятник представляет собой быстро вращающийся гироскоп (А = В ~ С, СП = Н) в кардановом подвесе; вес гироскопа равен С, его центр масс лежит на оси симметрии на расстоянии з от точки подвеса. Найти частоты малых колебаний оси симметрии гироскопа.
16.58. Прибор, демонстрирующий работу гиромаятника, представляет собой гироскоп (А = В ф С) в кардановом подвесе (см. рисунок). Ротор гироскопа вращается вокруг оси симметрии с постоянной К задаче 16.68 угловой скоростью П (СП = Н). Внутреннее кольцо вращается относительно внешнего кольца, последнее относительно неподвижного основания; моментами инерции колец пренебречь.
Пружины жесткости с между внутренним и внешним кольцами, а также между внешним кольцом и основанием обеспечивают взаимную ортогональность всех трех осей. Найти малые колебания оси гироскопа, используя углы а и 6, показанные на рисунке. 16.59. Измерительный гирокомпас, применяемый для работы на неподвижном относительно Земли основании, представляет собой гироскоп (А = В ф- С, Сиз, = Н) в кардановом подвесе (см. рисунок).
Наружная ось внешней рамки вертикальна, ось внутренней рамки кожуха гироскопа горизонтальна; моментами инерции внешней рамки и кожуха можно пренебречь. Груз массы т, прикрепленный З 16. Малые колебания консервативных систем внизу к кожуху гироскопа на расстоянии ! от его оси, превращает кожух в маятник, так что ось ротора при работе гирокомпаса остается почти горизонтальной.
Найти малые колебания оси гироскопа вблизи положения равновесия. (ызв1оо Восток а,, Север К задаче 16.60 К задаче 16.59 16.60. Найти малые вертикальные колебания системы трех грузов, соединенных между собой и с неподвижной опорой одинаковыми пружинами жесткости с. Массы грузов т1 = то = т, тз = т/2. 16.61. Найти малые крутильные колебания дисков (см. рисунок), насаженных на упругий вал, при следующих начальных условиях: ~р;(О) = сро, ф;(О) = фо (г = 1, 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
