Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Используя принцип возможных перемещений, доказать теорему о трех силах: если свободное твердое тело находится в положении равновесия под действием трех сил, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке. 14.43. Кинетическая энергия механической системы в обобщенных координатах д = (д,)," 1 задается квадратичной формой Т = и — 2 аеь(е1,1)Ч,Чы коэффициенты ась которой явно зависят от ЦФ=1 времени. Доказать, что для таких систем справедлив принцип возможных перемещений; положение системы д, = се является положением равновесия в том и только том случае, если в этом положении все обобщенные силы равны нулю. 3 15.
Устойчивость равновесия консервативных систем 15.1. ь!астица массы и,, несущая заряд е, находится в электрическом поле неподвижного заряда и. Найти положение равновесия частицы в однородном поле тяжести и исследовать его устойчивость.
15.2. Стержень А В (см. рисунок), образующий угол а с вертикалью, вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси 0102. По стержшо может двигаться без трения тяжелое колечко массы т, соединенное с неподвижным концом стержня А 2. А назитичеекаа механика 150 пружиной жесткости с. Длина пружины в недеформированном состоянии равна 10.
Найти положения относительного равновесия колечка и исследовать их устойчивость. С ~~~к оЛ о,Ц К задаче 15.3 К задаче 15.2 15.3. По гладкой проволочной окружности радиуса В (см. рисунок), неподвижно закрепленной в вертикальной плоскости, может скользить тяжелое колечко массы т, соединенное с наивысшей точкой А окружности пружиной жесткости с; длина пружины в педеформировапном состоянии равна ~0. Найти положения равновесия колечка и исследовать их устойчивость. 15.4.
Материальная точка находится в поле тяжести па поверхности, определяемой уравнением: а) г = 4х~+2ху+уз б) з =х — ху+у; в) х=х +ху — у; г) г = 4х~ — 2ху+ 2у1; д) з =2ху. Найти положения равновесия материальной точки иа каждой поверхности и исследовать их устойчивость, если трение в системе отсутствует, а ось Ог направлена вверх. 15.5. Гантель АВ длины 21 1см. рисунок) состоит из двух одинаковых масс т, соединенных невесомым стержнем.
Каждая из масс притягивается к неподвижному центру О по закову г' = — итог~, где г = ОА = ОВ. Центр гантели может перемещаться по гладкой горизонтальной направляющей Ох, вращающейся с постоянной угловой скоростью ел вокруг неподвижной вертикальной оси Ох, причем гантель не поворачивается относительно направляющей. Найти положения относительного равновесия гантели во вращающейся системе координат и исследовать их устойчивость. 15.6. 1Нарик, подвешенный па невесолчом стержне длины 1, может совершать колебания в вертикальной плоскости, которая вра- 5 15.
Устойчивость равновесна консервативных систем 151 щается вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса маятника, с угловой скоростью ир = сопв$. Найти угол отклонения рр стержня от вертикали в положении относительного равновесия. Исследовать устойчивость соответствующих положений равновесия. К задаче 15Л К задаче 15.5 15.7. Прямой угол АВС (см. рисунок) вращается с постоянной у.
- р .«.р-- = срдьр) -«ру. р*. ° .р - АО. В точке С с углом шарнирно соединен невесомый стержень СМ, несущий на свободном конце груз массы пь; длина стержня СМ = = 1 вдвое больше длины стороны ВС угла. Показать, что положение груза, соответствующее рр = л,у'6, является положением устойчивого равновесия во вращающейся системе отсчета. 15.8. Тяжелый шарик массы т может скользить по гладкой проволоке, изогнутой в форме параболы хз = йру и вращающейся с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси Ой. Найти положения относительного равновесия шарика и исследовать их устойчивость. 15.9.
Шарик (см, рисунок) находится в полости гладкой трубки, х у 2 2 изогнутои по эллипсу , + з = 1 и вращающеися вокруг вертикальаа Ь ной оси Оу с постоянной угловой скоростью еь Определить положения относительного равновесия точки и исследовать их устойчивость. 15.10. По гладкой проволочной окружности радиуса Л (см. рисунок), неподвижно закрепленной в вертикальной плоскости, могут двигаться два тяжелых колечка В1 и Вз с массами т1 и тз. Колечки связаны между собой упругой нитью жесткости с, которая пропущена через неподвижное кольцо, расположенное в наивысшей точке А окружности; длина нити в недеформироваппом состоянии равна 1е.
Найти положение равновесия системы и исследовать его устойчивость. 2. А иадитичееиаа механика 152 15.11. Два одинаковых шарика, связанные пружиной жесткости с, могут скользить без трения по сторонам прямого угла, лежа- Вз в, К задаче 15.9 К задаче 15.10 щего в горизонтальной плоскости. Длина пружины в недеформированном состоянии равна 10.
Найти положения равновесия шариков и исследовать их устойчивость. 15.12. Однородный цилиндр А массы т1 и радиуса г (саь рисунок) может катиться без проскальзывания внутри неподвижного полого цилиндра радиуса й. К центру цилиндра А на невесомой упругой нити жесткости с подвешена бусинка массы т2.
Найти положения равновесия системы и исследовать их устойчивость. 15.13. Груз массы т (сьь рисунок) подвешен на невесомой нерастяжимой нити длины 1 к точке А одно- К задаче 15.12 родного стержня массы ЛХ, который может вращаться вокруг закрепленной точки О (АО = 11, ОВ = 12). Движение происходит в вертикальной плоскости. Найти положения равновесия системы и исследовать их устойчивость. 15.14. Система (см. рисунок), состоящая из двух жестко связанных гладких стержней О ж и О р, угол между которыми равен а ( к/2, вращается с постоянной угловой скоростью ез вокруг вертикального стержня Оу.
По каждому из стержней может двигаться колечко массы т. Колечки притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной расстоянию между ними (коэффициент пропорциональности а). Найти положения относительного равновесия колечек и исследовать их устойчивость. 3 15. Устойчивость равновесие консервативных систем 153 15.15. Материальная точка движется по гладкому параболоиду х = ах~+ Оуз (а > О, )3 > 0), который вращается с постоянной угловой х Г' К задаче 15.14 К задаче 15.13 скоростью со вокруг вертикальной оси Ог. Найти условие, при котором точка с координатами 10, О, 0) является положением устойчивого равновесия в системе отсчета, связанной с параболоидом.
15.16. Материальная точка может двигаться по поверхности 2 2 2 гладкого эллипсоида — + — + — = 1 с полуосями а < 6 < с, вра- 2 52 сз щающегося с постоянной угловой скоростью св вокруг неподвижной вертикальной оси Ох. Найти положения относительного равновесия точки и исследовать их устойчивость. 15. 17. Доказать теорему Ирнгпоу: любая статическая конфигурация электрических зарядов является неустойчивой. Обсудить в связи с этим вопрос об устойчивости молекул. 15.18. Кинетическая энергия и потенциальная энергия консервативной системы представляют собой квадратичные формы и 1 н Т = — ~ ~аеьг);с)ь., П = — '1 сеьу;с15 2 ' 2 01=1 дь=! с постоянными коэффициентами, причем Т -- положительно определенная форма. Доказать, что для этой системы условия теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной системы являются необходимыми и достаточными условиями устойчивости. 15.19. Потенциальная энергия П(д) = П(д1,..., д„) консервативной системы является дважды непрерывно дифференцируемой ограниченной снизу строго выпуклой функцией (П(ах; + + 11 — сс)у;) < аП(х,) + (1 — а)П(у;), 0 < а < 1, а равенство имеет 2.
А налитичеекал механика 154 место лишь при х, = у;). Показать, что если положение системы д = а является положением равновесия, то оно будет устойчивым, причем других положений равновесия не будет. 15.20. Показать, что положение равновесия д; = а; (1 = 1, п ) консервативной системы будет устойчиво, если потенциальная знергия П(Щ, 112,..., дн) ЯвлЯетсЯ ДважДы непРеРывно ДиффеРенЦиРУемой локально строго выпуклой функцией в точке а (т.е. в некоторой достаточно малой окрестности точки а при 0 < а < 1 выполняется соотношение П(ахе+ (1 — се)у,) < аП(х,) + (1 — а) П(рл), где равенство имеет место лишь при т,; = уе).
Убедиться в том, что в нижнем положении равновесия математического маятника его потенциальная знергия является локально строго выпуклой функцией. 15.21. По гладкому кольцу радиуса Л (см. рисунок), расположенному в вертикальной плоскости, может скользить стержень длинен 2 Л. По стержнке может двигаться без трения бусинка массы тч соединенная с одним из концов стержня пружиной жесткости с ~ ~ 2тя/Л, длина которой в недеформированном состоянии равна Л/2. Найти положения равновесия системы и исследовать их устойчивость. К задаче 15.22 К задаче 15.21 15.
22. По гладкому кольцу радиуса Л (см. рисунок), расположенному в вертикальной плоскости, может скользить своими концами невесомый стержень АВ длины 21. По стержшо АВ может перемещаться без трения бусинка массы т, соединенная с точками А и В пружинами жесткости с. Длины пружин в ненапряженном состоянии равны Л, плоскость кольца вертикальна. Используя обобщенные координаты х, д, найти положения равновесия системы и исследовать их устойчивость. 15.23. Материальная точка может двигаться вдоль оси Ох под действием силы Л(х), зависящей только от положения точки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
