Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 24
Текст из файла (страница 24)
12.69. Обобщенные силы О; векоторой механической системы определяя>тся обобщсииым потенциалом 1'(дз, ф) в со- М ответствии с равенствами д д'г' 81' ей дд; дбе (г =1, п). К задаче 12.67 Показать, что силы 1к1, пе изменятся, если вместо исходного потенци- ала Ъ'(д., о1) взять обобщенный потенциал 61 =1'(е641)+~ 8 е)ь+ —, где ~р(д1, д2, ..., о„, 1) - - произвольная дифференцируемая функция. 12.70. Найти обобщенный потенциал гироскопических сил Яе = = ~, '61ьдь (г = 1, и), где 6,6 = — 6гп постоянные величины 6=1 12.71. Материальная точка массы т движется под действием а силы к' = —., (и х г), где а = сопв$.
Показать, что эта сила имеет обобщеииый потенциал. Найти выражение обобщенного потенциала О в сферических координатах. 12.72. По поверхности г = 2е(х, у), вращающейся вокруг вертикальиой оси Ог с постоянной угловой скоростью еа, движется материальиая точка массы т. Найти обобщенный потеициал переносной и кориолисовой сил инерции в относительном движении точки. 12.73. Показать, что уравпение движения осциллятора с вязким трением (сила сопротивления Г = -би) можно записать как уравд д6 д6 пеяие Лагранжа вида, —, = О, введя надлежащим образом 41 дх дх функцию Лагранжа 1 (х, х, 1) (см. рисунок).
Э 12. Уравненгга Леера жа 127 12.74. Два одинаковых груза массы т (см. рисунок) связаны между собой и с неподвижными стенками пружинами жесткости с1, с2 и сз. На каждый из грузов действует сила сопротивления Р; = = — До; (г = 1, 2). Показать, что уравнения движения системы можно Ы д!. д! записать как уравнения Лагранжа вида, — = О, введя пад- сЫ дхг дл; лежащим образом функцию Лагранжа ь(л;, х;,1). К задаче 12.74 К задаче 12.73 12.75. Механическая система имеет кинетическую энергию Т = 2 И г — д2, потенциальную энергию П = — 2 с;Ы71г1ь и функцию 2 1=1 г,а=1 О п Радея Я = — 2 г)~.
Показать, что для этой системы можно так ввести 2; функцию Лагранжа А (о ., д1, 1), что уравнения движения могут быть г7 д1, д! записаны в форме — —,, — — =О. а ддг дв, ад! д7, 12.76. (Г. Биркгоф.) Для уравнений Лагранжа — —, гЫ д4 дд, = О (г = 1, п) некоторой натуральной системы с 1 = 12+ 11+ !в существуют такие множители гре(г71, г12, ..., г1„), что ч-~ ( г1 дА дА ) гЛг(г71,г)!) '(сйд . д г=1 где $' = 2, аь(д!)г7ы Показать, что в этом случае найдутся такие Ь=1 новые обобщенные координаты 9, (г7, = д, (01, 02, ..., Он)), что дЦв„в,) = О, т. е, что координата 01 будет циклической.
~1 12.77. Пусть Ч1 - - циклическая координата системы с лагранжианом ! (г)1, ..., он, г72,..., г7н, 1). Показать, что пеРеменные г72,..., г1н описываются уравнениями Лагранжа с функцией Ь = ! (оы д2, ... д! ..., г)н, г72,..., г1н, 1) — сд1, гДе г)1 нахоДитсЯ из Равенства —,— = с (с— ддг произвольная постоянная) . 2.
Ан литичеекал механика г28 12.78. Показать, что добавлсвие к лаграпжиапу Ь(Ч., Ч1, 1) пол- , г1Ч(Ч1,1) дч . дЧ ной производной функции Чг(Ч, 1); ' = ~ — Ч, + — ие ме- сЫ, дЧ, ' дх г=1 пает уравнений Лагранжа. 12.79. Функции Лагранжа 1г(Ч;,Ч„1) и 1з(Ч;,Ч„1) порождают г1 д!г 81, г1 д!а 81х одинаковые уравнения Лагранжа, т. е.- Чг Чг 1 Ч» Чг' = 0 (1 = 1, и). Как связаны эти функции между собой? 12.80. Показать, что урависния Ньютона еп,г; = Р;(гх, г г1) (1, 1 = 1, %) ковариаитпы относительно преобразований Галилея г', = = г; + го1+ го, где ге и ге --- постоянные векторы. Привести пример преобразования, относительно которого уравнения Ньютона не ковариантпы, в отличие от уравнений Лагранжа, ковариантных относительно лгобых преобразований координат.
12.81. Показать, что если обобщенные силы потенциальны в какой-либо одной системе обобщенных координат, то они будут потенциальны в любой системс обобшеииых координат. 12.82. Символами Кристоффеля 1-го рода называются выражеиия 1 (дагг даь, дам ) гм — л~де+дгд;) ° (,Ч 'Ч Ч) г1 дТ 'дТ Используя их, записать уравнения Лагранжа,. — —,. = гл, (1 = аг1 дЧ' дЧ' = 1, п) склероиомиой системы, для которой — *ь(Ч)ЧпЧ". г,а=г 12.83. Механическая система с кипетической энергией Т = 1 дП вЂ” ань(Ч., 1)Ч,Чь и обобщенными силами 111 = — + дЧ1 + С11(Ч1, Ч1, 1) (1 = 1, и) совершает фииитвое движение. Получить к-г д1 аналог теоРемы о виРиале, использУЯ фУнкЦию С = лз Ч,, гДе 1=! дЧ, 1 =Т вЂ” П. 12.84.
ГПар радиуса г движется по шероховатой плоскости так, что скорость точки касания шара с плоскостью равна нулю. Найти систему бесконечно малых возможных перемещений произвольной точки шара. з 12. Уривненгга Дагри жа 129 12.85. Твердое тело может перемещаться в пространстве. Найти систему бесконечно малых возможных перемещений произвольной точки тела. 12.86.
Записать необходимое и достаточное условие интегрируе- 3 мости уравнения дифференциальной связи 2 ай(д)дь = О. Ь=О 12.87. Два стержня (см. рисунок) могут двигаться в плоскости поступательно со скоростями т1 и т2 соответственно. Найти возможные скорости колечка, связывающего стержни.
К задаче 12.87 К задаче 12.88 12.88. Диск (см. рисунок) может катиться без проскальзывания по направляющей АВ. Направляющая движется поступательно вертикально вверх по закону уд = уд(1). Является ли связь, налагаемая направляющей на движение диска, идеальной? 12. 89. Движение материальной точки ограничено некоторой связью. В некотором положении при 1 = 11 известны два возможных перемещения (дг)1 и (дг)2. Найти хотя бы одно виртуальное перемещение бг точки. 12.90. Лагранжиан механической системы В = В(г1, д) не зависит и дА, явно от времени. Показать, что функция Ог(д, д) = 7 —.д1 — Ь(г1, 9) дО, является первым интегралом уравнений движения. 12.91. Функция Ог(х, х) является первым интегралом уравнения движения х = 7" (х, х). Показать, что общее решение х = х(хо, хо, 1) этого уравнения совпадает с общим решением уравнения Лагранжа . ( т(х, 9) с кинетическим потенциалом А(х, х) = х ~ .„дй, где интегриро- у О ванне по 9 производится при фиксированном х.
12.92. На рисунке показана схема плоского многозвенного автоматического манипулятора. Через Ог; обозначены углы, которые звенья образуют с вертикалью, а через 9г; обозначены шарнирные углы (т.е. углы между звеньями). Силовые электродвигате- В В.С. Пятницкий и др. 2. Ан литичеенал механина 129 ли, установленные в шарнирах, развивают управляющие моменты М;(!) (~М,(!)~ < т).
Найти обобщенные силы (~е, и Ячм соответствующие двум системам обобщенных координат у(у1,..., уи) и 9(уы",Ч ) е т К задаче 12.92 12.93. Обобщенным координатам ды...., д„системы с и степенями свободы соответствуют обобщенные силы й!1(д, д, !), С!2 (д, д, !), ..., Я„(д, д, !). Найти обобщенные силы, соответствующие обобщенным координатам ~р~,..., <ри, связанным с координатами де соотношениями д' = Л(9 ") 12.94.
В обобщенных координатах д и д функции Лагранжа одной и той же механической системы имеют вид 1 (д, д, 2) и 1 Я, д, !). Найти связь между 1 и Ь, если известно преобразование д; = = йч (д), г = 1, и. 12.95. Движение системы с одной степенью свободы описывается уравнением д - К(!, д, д) = 9. Показать, что существует такая функция р(1, д, д), при умножении на которую уравнение (*) переходит в уравнение Лагранжа вида е! д! Д1, !! 99, 99, 12.96. Убедиться, что системы уравнений Лагранжа, соответствующие функциям Лагранжа 11 = (1/2)(д~~+ дз~) — (ез~/2)(д~з+ 92~), 1 2 = (1 / 2) Й д2 — (ез~ / 2) В д2, совпадают.
12.97. Плоскость, в которой совершает колебания двойной математический маятник (см. рисунок), вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, находящейся на расстоянии а от точки подвеса маятника. Массы и длины маятников равны тм т2 и /и !2. Составить выражение в обобщенных координатах ~р~, ~>2 для функции Лагранжа А.
ве = Т,», — П в в абсолютном движении и для з 12. Уривненгга Лавра жа фУнкции ЛагРанжа Ьв,„=Т „— 1г „в относительном движении (по отношению к плоскости), где геен обобщенный потенциал. В связи с этой задачей обсудить тезис Герца о кинетическом происхождении потенциальной энергии за счет скрытых движений. К задаче 12.97 К задаче 12.98 12.98. Манипуляционный робот состоит из платформы с жестко укрепленной на ней вертикальной штангой (см. рисунок), вдоль которой может скользить звено А В = 1, несущее телескопическое звено С Р = 1.
Звено СВ с помощью винтовой передачи может выдвигаться и убираться внутрь звена АВ. Платформа может поворачиваться вокруг вертикальной оси Ояз. Момент инерции платформы вместе со штангой относительно оси Ояз равен 1, моменты инерции звеньев АВ и СО относительно вертикальных осей, проходящих через их центры масс, равны 71 и 32 соответственно. Пренебрегая трением, составить уравнения движения робота, если к соответствующим звеньям приложены управляющий момент М(1) и управляющие силы Р1(1) и Р2(1), как показано на рисунке. Массы звеньев АВ и СО равны пг1 и т2. 12.99.
Составить уравнения Лагранжа гантели (см. рисунок), состоящей из двух одинаковых масс, соединенных невесомым нерастяжимым стержнем длины 21, в поле всемирного тяготения. Считать, что гантель движется без трения в неподвижной плоскости, содержащей центр притяжения. 12.100. Неоднородное колесо радиуса т и массы т катится по горизонтальной прямой без проскальзывания. Составить уравнения Лагранжа, если момент инерции относительно геометрического центра О равен 1, а расстояние от центра масс С до центра О равно р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
