Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 21
Текст из файла (страница 21)
рисунок), представляющий собой усеченный конус массы т с углом 0 между основанием и образующей, равномерно катится без проскальзывания по дну чаши. Геометрические места точек контакта бегуна и чаши считать окружностями радиусов т и Л соответствешю, центр инерции бегуна находится в плоскости окружности радиуса г. Угловая скорость ее штанги бегуна и моменты инерции бегуна А = В ф С заданы. Найти нормальную реакцию и натяжение В п1тннги. К задаче 11.88 К задаче 11.89 11.89. Периметрический гироскоп (см.
рисунок) представляет собой симметричный ротор (А = В ~ С), снабженный стержневидной шейкой радиуса г вдоль оси симметрии. Гироскоп вращается вокруг центра масс так, что шейка катится без проскальзывания по ребру лекала (кривая па поверхности сферы радиуса В, центр которой совпадает с неподвижной точкой гироскопа). Найти давление, оказываемое шейкой на леквло, если трение отсутствует и 1) направляющая является дугой больпюго круга, 2) направляющая является окружностью радиуса р. 11.90.
Для твердого тела массы т известны направления главных центральных осей системы х', д', е' и главные центральные моменты инерции А, В, С. Построить главные оси инерции тела для точки О с координатами хаев — — а, уо — — Ь, зв — — О. 11.91. Оси Осц~ являются главными осями инерции для точки О твердого тела. Моменты инерции относительно этих осей равны,71, 1 11. Днномнна твердого тела 107 ,7т,7г, Найти центробежные моменты инерции для системы осей О луз, если оси О л и Оу образуют угол а с осями ~ и ц соответственно. 11.92. Материальные точки А, В и С массы т каждая (см.
рисунок) находятся в вершинах невесомого равнобедренного треугольника г длиной катета, равной а. Найти тснзор инерции системы для точки В в указанных на рисунке осях. Найти главные оси для точки В. Показать, что эллипсоид инерции для точки А является эллипсоидом вращения. Д 11.93. Однородный шар рассекак1т плоскостью, проходящей через его центр С. Показать, что эллипсоид инерции полушара для о точки С будет сферой радиуса т = ъ'2Л, где Л радиус эллипсоида инерции шара.
А С о 11.94. Однородный куб рассекается на две части плоскостью, проходящей через центр куба С. Показать, что эллипсоид инерции каждой из этих частей куба в точке С является сферой радиуса г = ьг2Л, где Л вЂ” радиус эллипсоида инерции куба. 11.95. Составить алгебраическое уравнение 3-й степени, корнями которого являются главные моменты инерции твердого тела в точке О, если известны величины а1 = А+ В+ С, аг = Р~+ Е~+ + г з — А — ВС вЂ” АС, аз = АВС вЂ” Сг ~ — ВЕ~ — АР~ — 2РЕР, представляющие собой инварианты тензора момента инерции относительно выбора ортогональпых осей в точке О. 11.96.
Показать, что моменты инерции твердого тела относительно наибольшей,11 и наименьшей 7з осей выражаются равенствами,71 = ппп 2,'31ьаеаь,,70 = тах ~,11ьиеиь, где .7,ь г,'аг=1 1,нег=1 компоненты тензора инерции в некоторой системе ортогональных осей. 11.97.
Показать, что момент инерции,70 твердого тела относительно средней оси эллипсоида инерции определяется из решения слеДУюЩей минимаксной зацачи;,1з = т1п игах ~ '.71ьаеаь, гДе 1 рг 1 1,аг 1;а,=д,о ,7,ь компоненты тензора инерции в некоторой системе ортогональных осей. 11.98. В условиях предыдущей задачи показать, что ,10 = тах ппп ~~ 111ииЬ. ~:0',=1 7;а,'-=1 У;а,0,=0 К Кинематика и динамика 11.99. Момент инерции твердого тела относительно оси От удовлетворяет неравенству lо, >,1, где,1 - - момеит инерции тела отиосительно произвольной оси, проходящей через точку О.
Показать, что ось От является главной осью инерции тела для точки О. Сохраняет ли силу это утверждение, если,1О, <,1? 11.100. Однородный круговой конус массы ш, с высотой Ге и углом при вершине 60' катится без проскальзывания по неподвижному кешусу с углом при вершине 120'. Найти модуль вектора кинетического момента Ке и угол 6, который образует этот вектор с вектором угловой скорости. ГГодсчитать кинетическую энергию конуса, если центр его основания движется с постояпиой по модулю скоростью и. 11.101. При движении твердого тела с неподвижной точкой в некоторый момент времени известен вектор кинетического момеита тела Ко.
Найти кииетическую энергию тела, если проекции вектора Ко на главные оси инерции для неподвижной точки равны Кы Кз ~'з. 11.102. Известно, что вектор угловой скорости гв(е) симметричного твердого тела (А = В ф С) с неподвижной точкой образует угол п(е) с экваториальной плоскостью эллипсоида инерции, построенного в неподвижной точке. Найти разложеиие вектора гв иа направление оси симметрии тела и иаправлепие вектора кинетического момента Ко. 11.103.
При движении твердого тела с неподвижной точкой О вектор кинетического момента Ке, вектор мгновенной угловой скорости оэ и орт е одной из главных осей эллипсоида инерции, построеииого для точки О, в некоторый момент времени лежат в одной плоскости, причем вектор гв в этот момент ие коллииеареи ии одной из главных осей. Показать, что при любом движении тела векторы Ке, гв и е будут лежать в одной плоскости в любой момент времени. 11.104. Твердое тело с неподвижной точкой О обладает динамической симметрией (А = В). Показать, что смешанное произведение вектора угловой скорости г», вектора кинетического момента Ко и орта е (оси динамической симметрии) равно нулю при любом движении твердого тела.
11.105. Твердое тело с иеподвижпой точкой движется по ииерции. В начальный момент времени вектор кинетического момента Ке, мгновенная угловая скорость в и орт е одной из главных осей эллипсоида инерции, построепиого для неподвижной точки, лежат в одной плоскости. Каким будет дальнейшее движение тела? 11.106. Однородный эллипсоид с моментами инерции А, (3/2) А, 2А движется вокруг своего иеподвижио закреплеппого центра масс. В начальный момент эллипсоиду сообщена угловая скорость П = З П.
Динамика твердого тела 109 = эГ2ов+ езк (з, 1, й —. единичные орты главных центральных осей инерции). Получить уравнения движения эллипсоида в квадратурах. 11.107. Твердое тело (А ~ О, В ~ О, С ~ О) с неподвижной точкой движется по инерции. Как должны быть связаны между собой главные моменты инерции А, В и С тела, чтобы составляющая его угловой скорости ~/р~+ 02 оставалась постоянной для любого движения? 11.108. Твердое тело с неподвижной точкой, у которого А = В ф. ~ С, движется по инерции. Проекции угловой скорости тела на главные оси инерции для неподвижной точки в начальный момент равны ро, до и го.
Найти угол нутации 0 и угловые скорости прецессии 9г и собственного вращения гр. 11.109. Симметричное твердое тело (А = В ф С), имеющее неподвижную точку, движется по инерции. В начальный момент телу была сообщена угловая скорость вз, образующая угол и с экваториальной плоскостью эллипсоида инерции, построенного в неподвижной точке. Найти параметры регулярной прецессии движения тела. 11.110. Твердое тело с моментами инерции А > В, С = А+ + В движется по инерции вокруг неподвижной точки.
Найти максимальное и минимальное значения угла нутации (между вектором кинетического момента и наименьшей осью эллипсоида инерции), если в начальный момент р = ре, г? = до, г = го. 11.111. Твердое тело с неподвижной точкой (А > В > С) движется по инерции. Найти все движения тела, которые происходят с постоянной по модулю угловой скоростью.
11.112. Ось АВ велосипедного колеса (см. рисунок) укреплена в раме так, что плоскость колеса перпендикулярна плоскости рамы. К раме прикла- ррс дывается некоторый момент М(1) относительно оси СР и находится закон вращения рамы. Можно ли по этой информации ов ~ без каких-либо дополнительных измере- А ) В гео ний узнать, вращается колесо вокруг оси АВ или нет? М 11.113. Велосипедное колесо (см. рис. к задаче 11.112) массы т и радиуса г, установленное в раме, вращается с постоянной угловой скоростькг еоо вокруг своей 4611 оси АВ.
Рама вращается с постоянной уг- К задаче 11,112 левой скоростью ез1 вокруг оси СР, перпендикулярной оси АВ. Определить динамические силы реакции в подшипниках С и Р, если расстояние СР =1. Массу колеса считать равномерно распределенной по ободу. 1. Кинематика и динамика 11.114. Тонкая пластина массы т (сьь рисунок), точка О которой шарнир~о закреплена, вращается с постоянной угловой скоростью оз вокруг вертикальной оси Ол, лежащей в плоскости пластины. Ось О М, проходящая через центр масс М пластины, образует с От угол а. Найти угол у, иа который повернуты главные центральные оси по отношению к осям Олй, если главные центральные моменты инерции пластины равны А, В и С, а ОМ = а.
К задаче 11.114 К задаче 11.11а 11.115. Тонкая пластина массы т (см. рисунок) вращается с постояииой угловой скоростью оз вокруг вертикальной оси О г, лежащей в плоскости пластины. Центр масс пластины М находится иа расстоянии а от оси вращения, главная центральная ось М~,у образует с осью Оз угол а. Найти статические и динамические силы реакции в подшипнике О и подпятпике Е, если главпые центральные моменты инерции пластины равиы,1„м = В, .611 = С, ЕО = 6, О О = с.
11.116. Однородный цилиндр (см. рисуиок) насажен иа вертикальиую ось АВ, проходящую через центр масс О цилиндра и образующую угол а с осью Ое цилиндра. Под действием момента сил цилиндр вращается вокруг оси А В с постоянным угловым ускореиисм е. Определить компоненты динамических сил реакций в точках А и В, если масса цилиндра равна т, радиус основания В, высота 6, ОА = ОВ = 1/2. 11.117. Тонкий однородный диск веса Р и радиуса В (см. рисуиок) насажен жестко иа невесомый стержень длины! = тГЗВ/2, один конец которого шарнирно закреплен.
В начальный момент диску сообщают собственное вращоние с угловой скоростью фо = 4 Д/Й и отпускают ось без толчка. Найти минимальное и максимальное значения угла нутации 0 при движении диска, если в начальный момент Оо = 30', 0о = О, фо = О. Найти также зависимость угловой скорости прецессии ф и угловой скорости собственного вращения ф от угла путации О. 6 11. Дииаиииа твердого тела 11.118. Симметричный волчок (А = В ~ С) массы рл (см. рисунок) в начальный момент получил угловую скорость собственного К задаче 11Л17 К задаче ЫЛ16 К задаче 11.06 вращения ез, его ось симметрии в этот момент образовывала с вертикалью угол 90.
Какой должна быть начальная угловая скорость прецессии фе, чтобы движение волчка являлось регулярной прецессией, если расстояние центра масс Л7 от неподвижной точки опоры равно 1? Определить при регулярной прецессии реакцию опоры. Показать, что при оз» ф угловая скорость прецессии не зависит от угла нутации. 11.119. При движении симметричного твердого тела с неподвижной точкой в поле тяжести (случай Лагранжа) угол 0 между вертикалью и осью динамической симметрии сохраняет во время движения постоянное значение. Какое движение тела реализуется при этих условиях? К задаче 11.120 11.120.
Рамка уравновешенного гироскопа укреплена на неподвижном основании с помощью подшипников Р и Е (см. рисунок). Рамка поворачивается вокруг оси ОЕ с угловой скоростью ез. Ротор гироскопа совершает и оборотов в секунду вокруг оси О~, расстояние ВЕ = Е Момент инерции ротора относительно оси симметрии 112 1. Кинематика и динамика равен С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
