Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 16
Текст из файла (страница 16)
По горизонтальной плоскости, вращающейся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, движется плоская фигура. Показать, что в системе отсчета, жестко связанной с плоскостью, переносные и кориолисовы силы инерции точек фигуры приводятся к равнодействующим, проходящим через центр масс фигуры. 9.28. Плоская фигура массы т движется по плоскости, которая е вращается с переменной угловой скоростью ео = ) е(т) е2т вокруг иепо- о движной оси, перпендикулярной плоскости и не проходящей через центр масс фигуры. Показать, что в системе отсчета, жестко связанной с плоскостью, как переносные, так и кориолисовы силы инерции точек фигуры приводятся к одной силе (равнодействующей). На каком расстоянии 6 от центра масс находится линия действия равнодействующей переносных сил инерции, если момент инерции фигуры относительно оси, проходящей через ее центр масс перпендикулярно плоскости, равен,1 и расстояние от оси вращения плоскости до центра масс фигуры равно а.
? К задаче 9.99 9.29. Однородный диск (см. рисунок) может катиться без проскальзывания по горизонтальной направляющей АВ, которая вращается с угловой скоростью оз(2) вокруг вертикальной оси Ае, проходящей через конец А направляющей. Составить дифференциальное уравнение движения диска во вращающейся системе отсчета и проинтегрировать его в случае се(с) = еоо = = сопвФ. 1. Кинематика и динамика 82 9.30. В Земле прорыта шахта, направление которой в каждой точке совпадает с направлением отвеса в этой точке.
Определить форму шахты с учетом вращения Земли. Землю считать однородным шаром. 9.31. Горизонтальное кольцо радиуса Л вращается с постоянной угловой скоростью еа вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По кольцу может скользить колечко. С какой относительной скоростью нужно толкнуть колечко, чтобы оно могло совершить й оборотов по кольцу, если коэффициент трения скольжения равен 1? 9.32.
Под действием некоторой системы сил шарик массы т (см. рисунок) движется так, что скорости всех его точек параллельны плоскости, которая вращается с угловой скоростью «з(1) вокруг неподвижеюй оси, лежащей в этой плоскости. Составить дифференциаль- К зада"е 0 82 ные уравнения движения тела относительно плоскости. 9.33. Решить предыдущую задачу в предположении, что плоскость вращается вокруг оси, перпендикулярной к ней. 3 10. Динамика систем переменного состава 10.1. Тонкая гибкая нерастяжимая нить длины В 1см.
рисунок), сложенная пополам, уложена в тонкой горизонтальной гладкой трубке. Один конец нити закреплен, и примыкающая к нему половина нити покоится, а частицам второй половины сообщается начальная скорость 00. Найти время 1, за которое пить распрямится, и длину в чо К задаче 1а1 покоящейся части нити в тот момент, когда скорость точки изгиба будет равна некоторой заданной величине, скажем, скорости звука а ( аэффект кнута» ) .
10.2. Тонкая гибкая перастяжимая нить АВС 1см. рисунок) уложена в вертикальной гладкой трубке достаточно малого диаметра. Концы А и С нити закреплены, а точка В занимает наипизшее положение, причем ВС = эо. В некоторый момент конец С отпускают без начальной скорости. Найти зависимость скорости и подвижной части пити от ее длины з. 1 10. У1инамина систем неременноео состава 10.3.
Тяжелая однородная на высоте Н от пола. Длина В некоторый момент времени зывает и она начинает падать, тельно вовлекается цепь уложена на краео стола цепи много больше высоты Н. один из концов цепи соскальпричем в движение последовазвено за звеном. Пренебрегая найти закон движения цепи. размерами звеньев, К задаче 10.4 К задаче 10.2 10.4. Реактивное судно (см. рисунок) приводится в движение насосом, который всасывает воду через входное отверстие горизонтального канала и выбрасывает ее в противоположном направлении. Относительная скорость воды на входе и, площадь входного отверстия Я, площадь выходного отверстия о'!п. Масса судна с находящейся в нем водой равна т,.
Определить время разгона судна от скорости 00 до 01, считая, что на него действует сила сопротивления, пропорциональная квадрату скорости, г' = — ни~. (Задача И. В. Мещерского.) 10.5. Эскалатор (сьь рисунок) пропускает стационарный пассажиропоток постоянной плотности р: скорости потока на входе и на выходе относительно эскалатора горизонтальны и равны и. В точке В у опора установлена на катки.
Опре- и делить силу реакции опор А и Н, если расстояние между ними составляет 1 по горизонтали и 1с по вер- 0 тикали; общий вес системы равен Р, Р в, а ее центр масс совпадает с середи- р з ной эскалатора. Л 10.6. На ленту транспортера (см. рисунок), движущуюся с посто- К задаче 10.5 янной скоростью и, подается песок с постоянной относительной скоростью и под углом а к начальному горизонтальному участку транспортера. Конечный участок транспортера наклонен под углом ~1 к горизонту. В точке А лента опирается на катки.
Масса М транспортера с песком и масса т песка, сбрасываемого с транспортера в секунду, постоянны. Центр масс С загруженного транспортера находится от левой опоры на расстоянии 1 по П Кинематика и динамика горизонтали. Найти силу реакции опор А и В, если расстояние между ними составляет 1, по горизонтали и 6 по вертикали.
К задаче 10.7 К задаче 10.6 10.7. Входное сечение изогнутой трубы постоянного сечения Я (см. рисунок), закрепленной в вертикальной плоскости, образует угол а с горизонтом; выходное сечение вертикально. По трубе течет вода с постоянной скоростью и. В точке В труба опирается на катки. Центр масс С трубы с водой находится от опоры А на расстоянии 1 по горизонтали. Масса трубы с находящейся в ней водой равна М. Найти силу реакции опор, если расстояние между ними составляет Л по горизонтали и и по вертикали. 10.8. Рулон бумаги катится, разматываясь по горизонтальной плоскости, причем размотавшийся слой бумаги остается в покое.
Толщина бумаги б много меныпе радиуса г рулона, так что в каждый момент рулон можно считать цилиндром. В начальный момент времени радиус рулона равен ге и его центр имеет скорость ио. Найти зависимость скорости центра рулона от его радиуса и закон изменения радиуса во времени на том интервале движения, когда г» б. При решении задачи считать, что размотавшийся слой бумаги не оказывает влияния на движение рулона, т. е. что в точке контакта рулона с плоскостью сила реакции равна весу рулона и направлена вертикально вверх. 10.9.
Цилиндрическая труба сечения Я и массы то (см. рисунок) лежит на гладкой горизонтальной направляющей 0 т. Под действием сжатых пружин поршень А выталкивает жидкость плотности р через отверстие В площади зо. Найти положение центра инерции частиц жидкости, вылетевших из трубы к моменту времени 1, в зависимости от закона движения поршня 1 = 1(1) и закона движения трубы л = = х(6), считая, что вылетевшие частицы сохраняют ту горизонтальную составляющую скорости, которую они имели в момент вылета. 8 10.
Динамика систем переменного состава 85 Аналогично просуммирован по точкам трубы, частицам жидкости в трубе и вылетевшим частицам жидкости, записать в конечной форме закон движения центра инерции системы и получить из него уравнение движения трубы. Масса поршня пренебрежимо мала, длина трубы равна Х., О К задаче 10.9 К задаче 10.10 10.10.
Цилиндрический сосуд массы И (см. рисунок) заполнен жидкостью плотности р и закрыт сверху поршнем площади з'. При опускании поршня жидкость вытекает через вертикальную трубку В. Расстояние от оси трубки до оси цилиндра равно а. Сосуд может двигаться поступательно вдоль гладкой горизонтальной направляющей Ол.
При движении поршня уровень жидкости в сосуде меняется по закону 6 = 6(с), причем функция 6(с) удовлетворяет условиям 6(10) = 60, 6(1л) = О, 6(10) = О, 6(11) = О, т.е. вся жидкость вытекает из сосуда за время 11 — 10 без ударов в начальный и конечный моменты времени. Составить уравнение движения сосуда, считая, что частицы вытекшей жидкости сохраняют ту горизонтальную составляющую скорости, которую они имели в момент отделения от трубки. 10.11. По какому закону 6 = И(1) должен двигаться поршень в условиях задачи 10.10, чтобы на интервале времени О < 1 ( Да1шс)агссов(М)(М+ р860)) сосуд двигался с постоянным ускорени- о ем то~ 10.12.
Жидкость плотности р (см. рисунок) вытекает из цистерны массы И через трубку, отстоящую от центра инерции цистерны на расстояние а по горизонтали. Ось трубки ' з вертикальна, и частицы вытекшей жидкости сохраняют ту горизонтальную К задаче 10.12 составляющую скорости, которую опи имели в момент отделения от крана. Во все время движения уровень жидкости в цистерне остается горизонтальным, а центр инерции находится на той же вертикали, что и центр инерции цистерны. 1. Кинематика и динамика Пренебрегая массой колес и трением, найти скорость движения цистерны в зависимости от времени, если масса жидкости в цистерне меняется по закону е/ кй гп = — — ~1+ сов --(, 0 < 8 < 81. 2 ~, 1~ ( ' 10.
1 3 . Решить задачу 10. 10, считая, что ось трубки Р , через которую вытекает жидкость, направлена под углом а к горизонту, а площадь поперечного сечения трубки равна Яе. Рассматривая сосуд как точку переменной массы, составить уравнение движения системы в форме уравнений Мещерского и сравнить его с полученным уравнением движения. При каком законе 6(г) изменения уровня жидкости уравнение Мещерского будет совпадать с точным уравнением движения сосуда? 10.14.
Используя условия предыдущей задачи, найти зависимость скорости поршня 6 от высоты 6, при которой сосуд будет двигаться с постоянным ускорением ше. 10.15. Цилиндрический сосуд массы И (см. рисунок) заполнен жидкостью плотности р, вытекающей через трубку О. Трубка длины 1 с выходным сечением площади Я вращается в вертикальной плоскости так, что угол между осью трубки и горизонтом меняется по заданному закону а = а(1).
Расстояние между центром вращения трубки и осью цилиндра равно а. Масса жидкости в сосуде меняется по закону т = т(г). Сосуд может двигаться поступательно вдоль гладкой горизонтальной направляющей Ох в плоскости вращения трубки. Составить уравнение движения сосуда, если при его движении центр инерции остающейся в сосуде жидкости находится на оси сосуда, а частицы вытекшей жидкости сохраняют ту горизонтальную составляющую скорости, которую они имели в момент отделения от трубки. К задаче 10.10 К задаче 10.10 8 10. Динамика систем переменного состава 87 10.16.
Цилиндрический сосуд массы М и радиуса г (см. рисунок) заполнен жидкостью и может двигаться по гладкой горизонтальной плоскости; момент инерции цилиндра относительно его оси равен,7. Жидкость вытекает через вертикальную трубку Р в днище цилиндра, ось которой отстоит на расстояние а от оси цилиндра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
