Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Найти кинетическую энергию системы. 7.3. Однородный стержень АВ массы ЛХ и длины 1 (см. рисунок) вращается с постоянной угловой скоростью оз1 вокруг неподвижной оси А. Однородный диск радиуса г и массы т, соединенный со стержнем шарниром в точке В, вращается относительно стержня с угловой скоростью оз2. Найти кинетическую энергию системы, если в начальный момент центр диска С лежал на продолжении отрезка АВ, а врап1ение стержня и диска происходят в одной плоскости. К задаче 7.4 К задаче 7.3 7.4. Однородный стержень ОА длины 1 и массы М 1см. рисунок) вращается с угловой скоростью ео вокруг неподвижной оси О и в точке А соединен шарниром с однородным диском радиуса г и массы т. Диск катится без проскальзывания внутри цилиндрической полости радиуса й = 1+г, прижимая к ней тонкий обруч радиуса р и массы р, как показано на рисунке.
Найти кинетическую энергию системы. 7.5. Кривошип ОА мас- 1 2 0 сы И (см. рисунок) вращается Сз о ~ е 4 вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью озв и несет и шестеренок массы т1, т2,... ..., тн И РаДИУСа ГЫ Гз,..., Г„ К задаче 7.5 соответственно. Последняя шестеренка находится во внутреннем зацеплении с неподвижной шестерней, центр которой совпадает с точкой О. Найти кинетическую энергию системы, считая шестеренки однородными дисками, а кривошип однородным стержнем. К Кинематика и динамика 7.6. Кривошип ОА массы 7И (см.
рисунок) вращается вокруг неподвижной оси О с угловой скоростью «ео и несет п шестеренок МаССЫ ШМ та,,, ., тн И РаДИУСа Гз, Гэ,..., т„СООтВЕтСтВЕННО. ВЕДУ- щая шестеренка 1 вращается независимо от кривошипа вокруг той же оси О с угловой скоростью шь Найти кинетическую энергию системы, считая шестеренки однородными дисками, а кривошип однородным стержнем. К задаче 7.7 К задаче 7.6 7.7.
Однородный круглый цилиндр радиуса г и массы т (см. рисунок), обмотанный нерастяжимой нитью, подвешен к неподвижной точке О. Под действием силы тяжести цилиндр опускается, разматывая нить и раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О. Найти импульс р, момент импульса Кд относительно точки А и кинетическую энергию Т цилиндра в зависимости от угла х, расстояния ОА = 1 и их производных.
7.8. Система, состоящая из п, материальных точек массы тм ша,,,., тн, движется относительно некоторой системы отсчета х, д, ш Как следует ввести подвижну1о систему отсчета е, ц, ~, чтобы независимо от характера движения системы материальных точек связь между кинетической энергией абсолютного движения Т„ (по отношению к х, у, з) и энергией относительного движения Т„ (по отношению к е, ц, ь) выражалась соотношением 7'е = 7", + 7'„ где 7', -- кинетическая энергия переносного движения системы? Иначе говоря, при каких условиях кинетическая энергия сложного движения системы точек равна сумме кинетических энергий каждого движения по отдельности? 7.9.
Найти работу силы г = а(д1+зз+х1с) (а = сопв$), точка приложения которой перемещается вдоль отрезка винтовой линии г = асовН+аэ|пЦ+Ыс (0 <1 < 2к). 7.10. Свободное твердое тело движется под действием некоторой системы сил, главный вектор которой равен К, а главный момент относительно некоторой точки О тела, равен Мв. Показать, что элементарная работа сил, приложенных к свободному твердому телу, г 7.
Изменение иинетичеент« энергии. Смешанные задачи 59 определяется соотношением ЬА = В,дге+ Меез«й, где ег . угловая скорость тела, а го радиус-вектор точки О. 7.11. Показать, что потенциальная энергия пружины (см. рисунок), состоящей из двух последовательно соединенных частей АВ К задаче 7.11 и Во с жесткостями с« и сг соответственно, совпадает с потенциальной энергией пружины жесткости с = с«сг«г(с«+ сг). Решить аналогичную зада «у для параллельно соединенных пружин. В задачах 7.12 7.15 силовос палс задано проекциями силы поля на оси декартовой системы координат.
Выяснить, потенциально ли поле, и, если оно потенциально, найти потенциал. 7.12. и'. = узяпЫр гтр — — хзяпо«1, Р; = хуяпи«1. (х-у) (х-у) 7.14. Р', = уз сов(хдз) +уехр [ — (х+ «д+ з)1], гр — — хи соз(хдз) + 1ехр [ — (х+ у+ з)1] р Е, = хд сов(хдз) +1ехр [ — (х+ д+ з)1]. р з = ( г + г + г)згг р = ( г + г + г)згг' (а = сопв$). (х'-~-да+29)' ' "и-- «ер«""ги «ге ~,«е ~ « = * "* « силовое поле и'е = 11(г), и'р — — гг(г), Г, = 19(г) будет потенциальным? 7.17.
Материальная точка движется в центральном поле общего л*,р,*зи °,.рэг)= ' ' ',;. ° р.р«р ° -р*.. и. *'+р* рэр) *р * р,«р ) (х,д,з,1) можно пРеДставить в виде «9(х +д +х р1). 7.18. Гравитационный потенциал тела произвольной формы задается функцией П(х, у, з). Показать, что в каждой точке (х, д,з), лежащей вне тела, функция П(х, у, з) удовлетворяет уравнению Ла- ДгП ОгП ДгП пласа й'~П = О, где й'~П(х,у,з) = г + —;+ лхг луг лгг 60 П Кинематика и динамика 7.19. Силовое поле задано при помощи «направляющей» плоскости ох+ Ьу+ сз = 0 так, что в каждой точке пространства вектор силы г' перпендикулярен этой плоскости, а сила Г = Р(р) является известной функцией расстояния р точки от этой плоскости. Показать., что поле потенциально, и найти его потенциал.
7.20. Массе т, находящейся в состоянии покоя, сообщается скорость ч. Как изменится совершаемая работа, если скорость массы увеличивается на ту же величину т, но от начального значения ие? 7.21. Мотоциклист увеличивает свою скорость сначала с 55 до 60 км/ч, а затем с 60 до 65 км/ч. Сравнить величины совершаемой при этом работы. 7.22. Материальная точка массы и» прикреплена к концу нерастяжимой нити и вместе с ней движется по гладкой горизонтальной плоскости. Нить наматывается на неподвижный цилиндр, ось которого вертикальна.
Показать, что если нить во все время движения напряжена, то скорость точки постоянна по величине. 7.23. Точка массы и» движется по прямой Ох в силовом поле с потенциалом П = у(~)у(х). Показать, что если в некоторый момент времени 8 = 10 выполняется условие у(10) > Ь ) 0 и ф(8) > О, при всех Ь > 10, то полная энергия точки удовлетворяет неравенству Е < Еоу(1)/МЬ0); где Ео = Е (хо Ье).
7.24. Используя условия предыдущей задачи, показать, что если ф(1) ( 0 и у(Ь) > 0 при всех значениях Ь, то полная энергия Е(Ь) удовлетворяет неравенству Е(1) > Ев»уф)»у(10). 7.25. Два одинаковых шара массы т и радиуса г притягиваются один к другому с силой, зависящей только от расстояния между центрами шаров. В начальный момент шары покоились, а расстояние между их центрами равнялось а.
Рассмотреть два случая движения: 1) шары движутся навстречу друг другу, 2) один из шаров неподвижно закреплен. Показать, что отношение Ьз/Ь~ промежутков времени от начала движения до момента соприкосновения шаров равно з?2. 7.26. Каждый элемент бесконечно тонкого однородного неподвижного обруча радиуса Л и общей массы Ы притягивает материальную точку Р., лежащую на перпендикуляре к плоскости обруча, проходящем через его центр О. Силы притяжения описываются законом всемирного тяготения. Определить скорость, с которой точка Р пересечет плоскость обруча, если в начальный момент расстояние О Р было равно 1, а точка покоилась.
7.27. Тяжелый однородный стержень длины 21 и массы и» (см. рисунок), закрепленный шарниром О, опирается на параллелепипед массы М и высоты и. Параллелепипед соединен пружиной жесткости с с неподвижной стенкой и может двигаться по гладкой горизонтальной плоскости. В начальный момент система находилась З 7. Изменение кинетической энергии. Смешанные задачи 63 в покое, стержень составлял с горизонтом угол грег а пружина была ненапряжена. Найти скорость и параллелепипеда в зависимости от угла гр.
гА го ~В К задаче 7.2е К задаче 7.27 7.28. Физический маятник состоит из однородного шара радиуса г (см. рисунок), подвешенного на невесомом стержне к точке О; нижняя точка шара описывает окружность радиуса Л. Другой такой же шар положен в круговой желоб радиуса Л и катится по нему без проскальзывания. В начальный момент центры шаров находятся на одном уровне и начинают движение без начальной скорости.
Найти отношение наибольших скоростей центров шаров. При каком соотношении между радиусами й и т эти скорости будут одинаковыми? 7.29. Однородные стержни АР и ВР (см. рисунок), шарнирно соединенные в точке Р, опираются на два гладких угла. Длина каждого стержня равна расстоянию между опорами г. В начальный момент стержни горизонтальны и расположены симметрично относительно опор, а затем (после малого начального толчка) приходят в движение за счет собственного веса, причем точка Р перемещается по вертикали. Определить скорость точки Р в тот момент, когда концы А и В стержней достигнут угловых точек. А В В В К задаче 7.2э К задаче 7.30 7.30.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
