Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Угловая скорость линии касания постоянна и равна П. Найти угол и положение оси конечного поворота диска в момент времени 1 = я/Й. 4.71. Конус с углом при вершине 90' (см. рис. к задаче 4.33) катится без скольжения по плоскости. Известна угловая скорость оси конуса11. Найти кватернион, связывающий начальное положение конуса с текуп1им. 4.72. Твердое тело с одной неподвижной точкой совершает регулярную прецессию.
Проекции вектора мгновенной угловой скорости 1. Кинематика и динамика 1 — сое1 и2 — япе 1 у'2 0 1 ъ'2 1 — — яп1 ~Г2 — а1 1 — яп1 и/2 1 — — сое1 иГ2 Определить параметры Родрига — Гамильтона и угол результирующе- го поворота трехгранника. тела па связанные с ним оси удовлетворяют условиям р (е) + д ($) = = ро~+ до~, г(е) = го. Угол нутации равен х/4.
Найти закон движения тела в параметрах Родрига- Гамильтона. 4.73. Два близких положения системы координат, жестко связанной с телом, задаются кватернионами Л(е) и Л(е+ е1е). Используя теорему сложения поворотов Л(г+ Ж) = бЛаЛ(е), показать, что уравнения Пуассона (уравнения кинематики твердого тела) имеют вид Л = ела Л/2, где св мгновенная угловая скорость тела. 4.74. Показать, что уравнения Пуассона Л = сва Л/2 имеют первый интеграл: ~(Л(1)~~ = сопв1.
4.75. С твердым телом связана прямоугольная система координат Ое1езез. Сначала тело поворачивается вокруг некоторой оси Ос на угол а, затем вокруг оси Ое~ на угол 90', и вокруг оси Оез на угол 90'. В результате тело заняло первоначальное положение. Найти ось Ос и угол а первого поворота. 4.76.
Рассматривается движение твердого тела с неподвижной точкой. Используя для радиуса-вектора г произвольной точки соотношение г=ЛагоаЛ (где го начальное положение произвольной точки тела, Л нормированный кватернион, задающий положение тела) и выражение для скорости произвольной точки тела в виде г = св х г, получить кинематические уравнения Пуассона в кватернионах. 4.77. В системс координат хы ха, ха точка движется по закону х1 = е'яп1, хз = е'сов1, хз = е'. Определить матрицу поворота, описывающую ориентацию естественного трехгранника т, и, Ь. 4.78. В условиях предыдущей задачи найти компоненты угловой скорости естественного трехгранника по ортам т, и, Ь и ортам системы координат хы хсн хв.
4.79. Материальная точка движется с постоянной скоростью по винтовой линии х = сов1, у = сйп1, с = 1. Матрица поворота, описывающая ориентацию естественного трехгранника относительно системы координат х, у, з, имеет вид 4.80. В динамике корабля используются углы у, е, ~р, которые определяют последовательные повороты тела относительно его осей Оу, Оя, Ог. Определить параметры Родрига — Гамильтона.
4.81. Выразить параметры Родрига-Гамильтона через углы ~у, О, д, определяющие поворот тела относительно его осей Оу, Оз, Ох соответственно, которые используются в динамике летательных аппаратов. 4.82. Твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью пь Начальное положение тела относительно некоторой системы отсчета яы хз, хз определяется кватерпионом Л(0).
Найти текущие значения параметров Родрига †Гамильто, если проекции вектора со на оси Охи Охз и Олз постоянны. 4.83. Твердое тело совершает регулярную прецессию. При помощи кватернионов показать, что если угловые скорости прецессии ф и собственного вращения ф несоизмеримы (т.е. отношение хг/ф является иррациональным числом, что представляет случай общего положения), то тело никогда не возвратится в исходное положение. 4.84. Показать, что при условии несоизмеримости угловых скоростей прецессии и собственного вращения твердого тела для любого е > 0 найдется такой момент времени 1 > О, что для кватерниона Л(г), задающего положение тела, справедливо неравенство )~Л(~) — 1~ ~ ( е, т.
е. положение тела будет сколь угодно близко к начальному. 8 5. Динамика точки 5.1. Частица массы т движется по закону х = ав1пы1, у = = п спасов, г = р~ (винтовая линия). Показать, что такое движение может происходить под действием силы У = — т(ш х г), где ш = еяс, г — скорость частицы, а к — орт оси Ог. 5.2. Точка массы т движется в плоскости под действием постоянной по модулю силы Р, образующей постоянный угол а с направлением вектора скорости. Найти уравнение движения точки в полярных координатах, если ее начальная скорость равна по.
5.3. Колечко может скользить по шероховатому (коэффициент трения равен Г) проволочному круговому кольцу радиуса Л, расположенному в горизонтальной плоскости. В начальном положении колечку сообщили скорость ге. Найти такое значение го, чтобы колечко вернулось в начальное положение с нулевой скоростью. 5.4. Колечко А может двигаться по проволочной кривой, закрепленной в вертикальной плоскости лу (ось Оу направлена вертикально вверх). Коэффициент трения между колечком и кривой равен Г. Составить уравнение движения колечка по кривой, считая, К Кинематика и динамика что кривая задана уравнениями х = х(а), у = у(в), где а . длина дуги ОА.
5.5. Колечко (см. рисунок) может двигаться по вертикальной окружности радиуса й. Коэффициент трения при этом движении равен г". Какую скорость надо сообщить колечку в наинизшей точке А, чтобы оно достигло точки Н ? 5.6. Колечко может двигаться по параболе у = ах~/2 (ось Оу направлена по вертикали вверх). Коэффициент трения при этом движении равен д'. Какую скорость надо сообщить колечку в нижнем положении, чтобы оно достигло высоты 6? у 5.7. Камень отпущен без начальной скорости на высоте Н над Землей.
Пренебрегая силами сопротивления, найти время, по истечении которого камень достигнет высоты 6, если сила притяжения меняется с высотой по закону тйзд((й+з)~, где й радиус Земли, а К задаче а.а расстояние до ес поверхности. В выражении для времени перейти к пределу при й -+ со (случай однородного поля тяжести) . 5.8. Точка массы т движется без трения по прямой Ох под действием силы й = й(х). Найти в квадратурах закон движения точки, считая хо > О и й(х) > О. 5.9.
Парашютист массы т прыгает с самолета, летящего горизонтально на высоте Н со скоростью о. По какой траектории движется парашютист при затяжном прыжке (до момента раскрытия парашюта), если сила сопротивления воздуха Г = — Ди, где г скорость парашютиста, а изменение ускорения свободного падения с высотой не учитывается? Из полученного уравнения предельным переходом 6 — э О найти уравнение траектории в отсутствие сил сопротивления. 5.10. На высоте Н над Землей точке массы т сообщается начальная скорость ио, направленная вертикально вниз.
Найти скорость точки на высоте 6,, если на нее действует сила сопротивления й = — (3и~, а сила притяжения меняется с высотой по закону тй~д((й+з), где й радиус Земли, а з расстояние до ее поверхности. 5.11. Точка массы т движется по прямой Ох в среде с сопротивлением, пропорциональным квадрату скорости (Г = — )3г~). Найти закон движения точки (в квадратурах), если на нее, кроме того, действует сила Ф = Ф(х) > О и в начальный момент хе > О.
5.12. Точка массы т падает вертикально (изменение ускорения свободного падения с высотой не учитывается) без начальной скорости в среде, сила сопротивления которой й = — ~(е). Найти З 5. Динамика гаочки зависимость скорости от времени, если Р = — аи — Оп, где и и 5- 2 положительные постоянные величины. Найти предельное (при г — г -| оо) значение скорости в этом случае.
5.13. В однородном магнитном поле на электрон действует лое ренцева сила г" = — (» х Н), где Н напряженность поля, е — заряд с электрона, » — - его скорость, а с -- скорость света. Найти траекторию движения электрона, считая, что напряженность поля Н направлена по оси Ог.
5.14. Над поверхностью Земли действует однородное магнитное поле, вектор напряженности Н которого горизонтален. Найти уравнения движения частицы массы |и и заряда е под действием магнитного поля и однородного поля тяжести (дрейф частицы в однородном магнитном поле под действием тяготения). В начальный момент г(0) = = г|ь»(0) = »о. Провести анализ решения при Н вЂ” | О. 5.15. При условиях предыдущей задачи частице, находящейся на поверхности Земли, сообщают вертикальную скорость ио. Найти наибольшую высоту подъема частицы г,аа„ее полную энергию в наивысшей точке и работу, совершенную действующими силами при этом подъеме.
5.16. При условиях задачи 5.14 частица начинает движение на высоте 6 от Земли со скоростью ио, направленной вертикально вниз. При каких значениях 6 частица не упадет на Землю? 5.17. Над поверхностью Земли действует постоянное по времени электрическое поле, вектор напряженности Е которого направлен вертикально вверх, причем ~Е( меняется с высотой по закону ~Е~ = = гуо(1+ з||зо) . До какой высоты Н поднимемся точка массы |и и заряда е, если она подброшена вверх на высоте гв с начальной скоростью ио? 5.18. Найти движение частицы массы т под действием силы Г = ед з(» х г), если в начальный момент г = го и скорость частицы»о. сг' Так двигалась бы частица электрического заряда е под действием е силы Лоренца Р = — (» х Н) в магнитном поле монополя с магнитным с зарядом д.
Напряженность такого поля равна Н = |?г||г . з 5.19. При условиях предыдущей задачи частица движется по круговому конусу с углом 20о при вершине. Показать, что в сферических координатах г, О, |р траекторию г = г(|р) частицы можно найти (Р(1!г) из уравнения а + — в|в Оо = О. Величина Оо и положение конуса 2 определяются начальными условиями. 1. Кинематика и динамика е 2е~ .. тт = еЕ+ — 1,т х Н)+ зт. с Зс' Объяснить, почему в этом уравнении сила Г играет роль диссипативного члена. Указание.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
