Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Убегающий А (см. рисунок) движется по окружности радиуса Л с постоянной по модулю скоростью гп Догоняющий В О К задаче 2.23 К задаче 2.25 движется с постоянной по модулю скоростью из, направленной по линии цели ВА. Найти относительное ускорение и е догоняющего (в системе Ахд, ось Ах которой направлена по вектору скорости ч1) в зависимости от расстояния г между А и В и угла т между векторами ч1 и ч2. К задаче 2.26 К 'задаче 2.27 2.27. Пластинка в проигрывателе (см. рисунок) вращается с постоянной угловой скоростью ез.
Звуковая канавка на пластинке представляет собой архимедову спираль, задаваемую уравнением г = ге— — коз. Найти абсолютную скорость и иглы и скорость ге иглы относительно пластинки в зависимости от угла поворота и звукоснимателя (О А=О О=~). 2.28. Используя условия предыдущей задачи, найти тангепциальное и нормальное ускорения иглы в зависимости от угла и.
2.29. Точка движется в плоскости со скоростью ч = ч(2) и ускорением зч = зч(г). Найти скорость и ускорение центра кривизны траектории точки. 2.30. Источник, испускающий ч колебаний в единицу времени, и прибор, регистрирующий зти колебания, перемещаются относительно среды, в которой распространяются колебания, со скоростями 1 2. Сложное движение точки и1 и и2 соответственно. Источник и прибор движутся вдоль соединяющей их прямой; скорость распространения колебаний равна а.
Найти число и' колебаний, регистрируемых прибором в единицу времени. (Эффект Доплера.) 2.31. Используя условия задачи 2.1, найти траекторию движения какого-либо участника соревнований (саь рисунок), если в начальный момент г(0) = ге, ер(0) = ~ре. К задаче 2.32 К задаче 2.31 2.32. Сегнерово колесо (см.
рисунок) вращается с угловым ускорением е, имея в данный момент угловую скорость еь Относительная скорость истечения частиц жидкости и = сопз1. Найти скорость и ускорение частиц жидкости в выходном сечении В, принимая ОА = = А В = а, л'.ОАВ = 90'. 2.33. Диск (сас рисунок), укрепленный на валу с эксцентриситетом 001 = е под углом и, вращается вокруг оси ВС с угловым ускорением е, имея в данный момент угловую скорость аь Точка А движется по диаметру диска, проходящему через точку О по закону 01А = а вш ео2.
Найти скорость и ускорение точки А. К задаче 2.34 К задаче 2.33 2.34. Диск (см, рисунок) вращается с постоянной угловой скоростью оз относительно вертикальной оси Оз, перпендикулярной его 1. Кинематика и динамика 22 плоскости. В диске имеется круговой желоб радиуса Л, центр которого 01 смещен относительно центра диска на расстояние 001 = 3. По желобу с постоянной относительной скоростью и движется шарик в направлении, показанном на рисунке. Найти скорость и ускорение шарика в зависимости от времени, если в начальный момент шарик находится на наиболыпем расстоянии от точки О.
2.35. Диск радиуса й (см. рисунок) катится без скольжения по прямой Ох. В диске имеется желоб, совпадающий с диаметром, в котором по закону 01 А = а гйпы1 движется шарик (а < Л). Найти скорость и ускорение шарика А и зависимости от времени, если тез 0 0 К задаче 2.35 К задаче 2.36 центр 01 диска движется с постоянным ускорением его. В начальный момент скорость центра равнялась нулю, желоб был горизоптален. 2.36. Круговое кольцо радиуса й (см, рисунок) катится без скольжения по прямой Оач В кольце движется шарик по закону д = = ~рез1пео1. Найти скорость и ускорение шарика, если центр кольца движется с постоянным ускорением юе. В начальный момент центр кольца имел скорость, равную пулю.
размерами шарика пренебречь. 2.37. Два стержня (см. рисунок) вращаются в плоскости вокруг своих неподвижных концов 01 и 02 в направлениях, ука- 0 1 0 2 занных на рисунке. В точке И пересечения стержней находится охватывающее их колечко, которое свободно может перемещать- К задаче 2.37 ся по стержням. Найти скорость колечка в зависимости от угла у, если угловые скорости стержней равны се1 и ы2, а расстояние колечка от концов Оз М = аз, 02 ЛХ = аз. 2.38.
Точка (см, рисунок) движется по эллипсу, уравнение которого в полярных координатах имеет вид т = . Эллипс в свою р 1+ е созе 1 2. Сложное движение эпично О А и ) К такой приближенной модели приводит учет влиянии несферичности Земли на движение спутника в плоскости земного экватора. очередь вращается с постоянной угловой скоростью оз вокруг оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через один из его фокусов. Найти скорость и ускорение точки в зависимости от г, если движение точки по и эллипсу происходит в соответствии с законом площадей гзф = С, где С вЂ” постоянная величина ).
2.39. Спутник движется по эллиптической орбите, плоскость которой образует постоянный угол 0 с плоскостью земного экватора. Уравнение орбиты в полярных координатах К задаче 2.38 имеет вид г = р/(1+есовер), а движение по орбите происходит в соответствии с законом площадей гзф = С, где С постоянная величипа.
Влияние песферичпости Земли на движение спутника в некотором приближении можно описать с помощью следующей модели. Эллиптическая орбита спутника вращается (как твердое тело) с постоянной угловой скоростью о»1 относительно оси, проходящей через центр Земли перпендикулярно плоскости орбиты. Плоскость орбиты в свою очередь вращается с постоянной угловой скоростью о»2 вокруг неподвижного в пространстве направления еюг— север», также проходящего через центр Земли. Найти скорость и ускорение спутника относительно Земли в тот момент, когда оп находится в перигее орбиты.
(Прецессия орбиты спутника.) 2.40. По упругой среде распространяется волна (см. рисунок), форма которой не изменяется во время движения. Скорость движения вершины волны В равна 00. Скорости точек среды А и С (в основании волны) равны пулю.
НайВ че ти скорость частиц среды в точке О волны, касательная к которой образует угол а с осью Ол. О 2.41. В условиях задачи 2.17 подсчитаны переносная ч, и отпосительпая ч„ скорости точки А. Ввести поступательно движущуюся систему ко- К задаче 240 ординат так, чтобы скорости ч, и ч, поменялись ролями. 2.42. В условиях задачи 2.17 движение точки задано в полярных координатах следующим образом: г = и1, <р = оз2 (и = сопз1, оз = сопз$). Найти такую поступательно движущуюся систему координат, чтобы переносная ч, и относительная ч, скорости поменялись ролями. К Кинематика и динамика 2.43.
Пусть подвижная система координат введена так, как требует вопрос задачи 2.41. Для точки А найти т„т„, и„нет нее. Сравнить полученные выражения с результатами задачи 2.17. 3 3. Плоскопараллельное движение твердого тела 3.1. Скорости двух точек плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, равны по модулю. Найти геометрическое место возможных положений мгновенного центра скоростей. 3.2. Плоская фигура движется в своей плоскости. Найти геометрическое место возможных положений мгновенного центра скоростей, если известно отношение Х ~ 1 скоростей двух точек фигуры, расстояние между которыми равно а. 3.3. Скорости трех точек плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, равны по модулю. Найти положение мгновенного центра скоростей.
3.4. Диск радиуса г (см. рисунок) катится внутри цилиндрической полости радиуса Л, прижимая тонкий обруч радиуса р (г < < р < Й), как показано на рисунке. Проскальзывание при движении отсутствует. Найти угловую скорость обруча, если линейная скорость центра диска равна ио. 3.5. Нсрастяжимая нить наматывается на неподвижный цилиндр так., что в любой момент времени подвижная часть нити прямолинейна.
Показать, что скорость любой точки подвижной части нити перпендикулярна нити. и 1 2 к и О .—..:-а: —: —. зл.:лг — ..: —.:.зэ А С К задаче 3.8 К задаче 3А 3.6. Плоская фигура движется в своей плоскости. Найти положение точки А, если известны скорость этой точки чА, скорость некоторой другой точки те и угловая скорость фигуры вь Использовать полученный результат для определения положения мгновенного центра скоростей Р.
3 3. Плоенонараллельное движение твердого тела 3.7. Равнобедренный треугольник АСВ (АС = ВС) движется в своей плоскости так, что ~мд ~ = ~чв ~ = и. В каких пределах может меняться значение скорости вершины С, если е'.АСВ = о? 3.8. Кривошип (см. рисунок), несущий п шестеренок радиусов гы гз, ..., г„соответственно, вращается вокруг неподвижной оси О с угловым ускорением е и имеет угловую скорость вз.
Шестеренки находятся во внешнем зацеплении друг с другом. Первая шестеренка вращается с угловой скоростью ы1 и угловым ускорением сь Найти угловую скорость и угловое ускорение остальных шестеренок. 3.9. Кривошип (см, рисунок), несущий и шестеренок радиусов ты гз,..., г„соответственно, вращается вокруг неподвижной оси О с угловым ускорением е и имеет угловую скорость со. П1естсренки находятся во внешнем зацеплении друг с другом. Первая шестеренка, кроме того, находится во внутреннем зацеплении с шестеренкой, вращающейся вокруг той жс оси О с угловым ускорением ес и имеющей угловую скорость евс. Найти угловую скорость и угловое ускорение каждой шестеренки.
3.10. Используя условия задачи 3.8, найти скорости и ускорения точек к-й шестеренки, занимающих положения А, В, С и Р (см. рисунок к задаче 3.8). ого, ео К задаче 3.9 3.11. Два одинаковых диска (см. рисунок) радиуса и катятся без скольжения по прямой СР, поворачивающейся с угловой скоростью взс вокруг точки С. Стержни ОА и ОВ длины 1 каждый соединены шарнирами между собой и с дисками (в точках О, А и В). Найти линейную скорость точки О в зависимости от угла <р, если относительные скорости центров дисков равны гд и ив, а точки соприкосновения дисков с прямой СР находятся на расстояниях 4 и 1в от точки С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
