Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Найти нормальное ускорение точки, 1.45. Выразить орты сопровождающего трехгранника (т, и, Ь) через вектор скорости т и вектор ускорения я«точки, если я«х ч ~ О, а т ««> О. К задаче 1.46 К задаче 1.44 1.46. Точка движется таким образом, что ее ускорение равно и« = у = —., (г х г), где г радиус-вектор точки, у = сопзФ, г х г ф О (см. рисуг' нок) . Показать, что точка движется по поверхности кругового конуса.
З 2. Сложное движение точки 1.47. Найти кривизну траектории точки, движущейся с ускоре- т нием и = —,(г х г), где г ее радиус-вектор, 7 = сопв1, если в началь- г ный момент скорость точки равняласы'о. й 2. Сложное движение точки 2.1. В соревнованиях по ориентированию на местности п участников в начальный момент находятся на окружности радиуса Л на одинаковом расстоянии друг от друга.
Во время движения каждому из участников известен лишь пеленг соседа, который в начальной позиции был справа. Для того чтобы собраться на окружности радиуса г (г ( Л), участники ориентируют направление своей скорости по известному пеленгу. Найти время, через которое опи соберутся на заданной окружности, если каждый из них будет двигаться с постоянной скоростью ш 2.2.
При движении яхты с юга на север со скоростью щ ее флюгер показывает, что ветер дует с запада. Флюгер другой яхты, движущейся со скоростью и2 с запада на восток, показывает, что ветер дует с юго-запада, образуя угол и с направлением «юг-северин Найти модуль скорости ветра и угол р между направлением «юг -севера и направлением ветра относительно неподвижного наблюдателя.
2.3. Винт самолета, установленного на вибростенде, вращается с постоян- ) ной угловой скоростью оз относительно У горизонтальной оси М% (см. рисунок). А Ось МЮ перемещается параллельно самой себе в вертикальной плоскости зу по закону ОМ = аейпй~. Найти ускорение точки А на конце лопасти, если МА = Л. 2.4. При стрельбе по движущейся це- К задаче 2.3 ли ствол орудия длины е вращается в вертикальной плоскости с постоянной угловой скоростью еоь Платформа, на которой установлено орудие, поворачивается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью озз. В момент вылета снаряд имеет относительно ствола скорость по и ускорение юо, причем ствол направлен под углом и к горизонту. Найти скорость и ускорение снаряда в этот момент.
2.5. Полая трубка (см. рисунок), изогнутая в форме кругового кольца радиуса Л, вращается с постоянной угловой скоростью оз1 вокруг оси А В, укрепленной в рамке. Рамка в свою очередь вращается вокруг горизонтальной оси С11 с постоянной угловой скоростью еоз. 1. Кинематика и динамика 16 По трубке с постоянной относительной скоростью ие движется шарик. Найти скорость и ускорение шарика в положениях 1, 2, 3, 4 в момент, когда плоскость трубки совпадает с плоскостью рамки. К задаче 2.6 К задаче 2.5 2.6. Кабина для тренировки космонавтов (см. рисунок) вращается относительно горизонтальной оси 1 1, укрепленной в раме, которая в свою очередь вращается относительно вертикальной оси 2- 2. Угловые скорости вращения се1 и са2 относительно указанных осей постоянны.
Найти ускорение точки кабины, отстоящей от оси 1-1 на расстояние 1 и находящейся в начальный момент на оси 2-2, как функцию времени. 2.7. Горизонтальная плоскость лу вращается вокруг вертикальной оси Оз с постоянной угловой скоростью а. Из неподвижной точки О плоскости ху начинает движение точка М. Найти траекторию точки М отпосителын1 плоскости, если абсолютная скорость зг точки постоянна.
Найти также относительное ускорение ш„точки М в зависимости от ОМ = 1. Рассмотреть два случая: а) т а = О, б) т в~О. 2.8. Показать, что при сложном движении точки имеют место соотношения ч„= зг, +тге/2, те = тке+зке/2, где ч„ч„- переносная и относительная скорости; зг„зв„зг, переносное, относительное и кориолисово ускорения. 2.9. Найти условия, при которых в сложном движении точки справедливы соотношения те = тт,, те = тте.
2.10. Показать, что при сложном движении точки всегда справедливо тождество (т,. — те) = тт,. — зге. а1 з 2. Снежное движение точки 2.11. Призма АВС (см. рисунок) движется поступательно вдоль оси Ох с ускорением че, имея в данный момент скорость ч. По линии наиболыпего ската ВС призмы катится без скольжения цилиндр, скорость центра которого относительно призмы постоянна и равна чо. Радиус цилиндра Л, е'.ВСА = а. Найти скорости и ускорения точек 1, 2, 3, 4 цилиндра в данный момент времени. К задаче 2.11 К задаче 2.12 2.12.
Направляющая Ох вращается в горизонтальной плоскости вокруг точки О с постоянной угловой скоростью из (см. рисунок). В этой же плоскости относительно направляющей движется стержень А В с постоянной скоростью чо. Стержень образует прямой угол с направляющей. Найти зависимость скорости и ускорения точки В стержня от времени, если длина стержня равна 1 и в начальный момент точка А совпадала с точкой О.
2.13. На плече АВ центрифуги 1сьь рисунок) укреплена испытательная кабина, которая вращается вокруг горизонтальной оси 2 — 2, перпендикулярной вертикальной плоскости САВ. Угловые скорости цен- в трифуги ео1 (относительно оси 1 "1) К задаче 2.13 и кабины ез2 постоянны, длина плеча А В равна Л.
Найти ускорение точки Я кабины, лежащей в плоскости САВ на расстоянии ОИ = 1 от оси 2 — 2, в зависимости от угла у поворота кабины. 2.14. Круговое кольцо (сьь рисунок), точка О которого неподвижна, совершает колебания в своей плоскости по закону е = = = уо сйп ы1. Радиус кольца равен Л. Точка А движется по кольцу так, что в = ае2, где в . длина дуги 01А. Найти скорость и ускорение точки А в момент времени 1 = вфо. 1.
Кинематика и динамика 2.15. Стержень ОА (см. рисунок) вращается в горизонтальной плоскости относительно вертикальной оси Оз с постоянной угловой К задаче 2.15 К задаче 2.16 К задаче 2.14 скоростью оз. Колечко Р колеблется вдоль стержня по закону ОР = = а(1+ гйпеоо1). Найти скорость и ускорение колечка, пренебрегая его размерами. 2.16. Стержень ОА (см.
рисунок) совершает колебания в плоскости хд по закону ~р = ~роашсо1. По стержню скользит колечко Р. Пренебрегая размерами колечка, найти его скорость и ускорение, если ОР = а1 /2. 2.17. Движение точки А в плоскости хд (см. рисунок) задано в полярных координатах г = г(1), оз = ~р(1). Представляя движение точки А относительно плоскости хд как сложное: вместе с системой Осц (переносное) и относительно Огг1(относительное), найти проекции скорости и ускорения точки А на оси Ос и Оц. К задаче 2.18 К задаче 2.17 2.18.
Движение точки А (см. рисунок) задано в сферических координатах г = г(1), О = 6(1), оз = <р(1). Найти скорость и ускорение точки, используя разложение движения на относительное (в плоскости д = сопэ1) и переносное (с этой плоскостью). 2.19. Горизонтальная платформа (см. рисунок) вращается вокруг вертикальной оси Ог с постоянной угловой скоростью ен На з 2. Сложное движение точки 19 платформе установлен математический маятник длины 1, совершающий колебания в плоскости хз по закону у = двз1пеев1.
Найти скорость и ускорение точки А в момент времени 1 = л/(2гоо). 2.20. Математический маятник (см. рисунок) переменной длины колеблется в вертикальной плоскости по гармоническому закону д = = ~рвйпез1. Найти скорость и ускорение точки А, если длина 1 части ОА нити уменьшается по закону! = 19 — а1. О К задаче 2.19 К задаче 2.20 К задаче 2.21 2.21. Точка А подвеса математического маятника АВ длины l движется в вертикальной плоскости по окружности радиуса Л так, что длина дуги ОА равна а1. Колебания маятника происходят в этой же плоскости по закону д = уов|пез1. Найти скорость и ускорение точки В маятника в момент времени 1 = л/еь 2.22.
Парабола у = ах2 вращается вокруг оси Оу с постоянной угловой скоростью еь Бусинка А движется по параболе с постоянной скоростью ио. Найти скорость и ускорение бусинки в зависимости от ее положения. 2.23. Стержень АВ длины 2а скользит своими концами по сторонам прямого угла так, что конец А движется с постоянной скоростью и. По стержшо движется шарик И с постоянной относительной скоростью и.
Определить скорость и ускорение шарика И в зависимости от времени, если в начальный момент АМ = О, ОА = 2а. 2.24. Диск радиуса В катится по неподвижному рельсу без скольжения. Скорость и ускорение центра диска равны ио и юо соответственно. Найти скорость и ускорение произвольной точки рельса в системе координат, связанной с диском. 2.25. Кольцо (см. рисунок), внутренний радиус которого равен й, обкатывает без скольжения неподвижный цилиндрический вал радиуса т. Найти скорость и ускорение центра вала в системе отсчета, связанной с кольцом, если угловая скорость кольца равна ее. К Кинематика и динамика 20 2.26.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
