Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В момент времени е* некоторая точка фигуры закрепляется. Показать, что момент импульса относительно этой точки сразу после закрепления совпадает с моментом импульса относительно этой же точки в момент времени (*. Указание. При решении задачи препебречь величинами, имеющими порядок времеви удара. 6.24. При движении плоской фигуры массы ш в своей плоскости в иекоторый момеит времени закрепляется точка А, имеющая в этот момент скорость ил. Угловая скорость фигуры непосредственно пе- 66. Изменение импульса и момента импульса системи 53 ред закреплением равна пь Найти угловую скорость ш1 после закрепления, считая известными положение центра инерции С и момент инерции фигуры,У относительно оси, проходящей через точку А перпендикулярно плоскости.
6.26. Доказать, что при качении без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости сохраняется угловая скорость верчения. (Угловой скоростью верчения называется проекция абсолютной угловой скорости шара на направление нормали к плоскости.) 6.26. Показать, что при качении без скольжения произвольного выпуклого твердого тела по горизонталыюй плоскости угловая скорость верчения, вообще говоря, не сохраняется. 6.27. Используя теоремы об изменении импульса и момента импульса, доказать, что силы реакции невесомого нерастяжимого стержня, связывающего две материальные точки, направлены по с:тержню в противоположные с;горины и равны по абсол1отному эна чению.
Указание. Предполагая скорость и ускорение точек стержня ограниченными, в уравнениях движения устремить массу стержня к пулю. 6.28. Однородный цилиндр (см. рисунок) радиуса В и веса тя катится по шероховатой горизонтальной плоскости (коэффициент трения скольжения ~ = 1/8) под действием постоянной горизонтальной силы ьу. Найти ускорение центра С цилиндра и угловое ускорение цилиндра в двух случаях: а) ('„1 = тд/3; б) (,> = тя. К задаче 6.28 К задаче 6.29 6.29. По шероховатой наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом (см.
рисунок), катятся без скольжения цилиндры А и В, имеющие одинаковые радиусы г и одинаковые массы гп, но различные моменты инерции: момент инерции относительно оси материальной симметрии цилиндра В равен тг2, а цилиндра А равен утг~ (О ( у < 1). Коэффициент трения скольжения между цилиндрами равен 1. Определить ускорение центров, а также силу давления цилиндра А на цилиндр В. 6.30. В упражнении с обручем гимнастка сообщает центру однородного кругового обруча радиуса г горизонтальную скорость ио и закручивает его с угловой скоростьк> соо.
Коэффициент трения К Кинематика и динамика между обручем и полом равен д" (во время движения обруч не подпрыгивает). Как должны быть связаны величины ио н ело для того, чтобы обруч вернулся в исходное положение за время 1, определяемое музыкальным сопровождением? 6.31. По однородному диску радиуса Л и массы М, лежащему на гладком горизонтальном столе, ползет жук массы гп. Траекторией относительного движения жука является окружность радиуса г. Найти траекторию абсолютного движения жука, если в начальный момент диск и жук находились в покое. Рассмотреть два случая: а) центр окружности совпадает с центром диска; б) окружность проходит через центр диска.
6.32. По плоской фигуре, свободно лежащей на гладком горизонтальном столе, начинает двигаться материальная точка, перемещаясь из положения А в положение В по некоторой траектории, не проходящей через центр инерции С фигуры. В начальный момент система находилась в покос. Показать, что угол и поворота фигуры относительно стола меныпе угла у = е'АСВ, под которым видна относительная траектория точки из центра инерции фигуры. 6.33. По плоской фигуре массы М, лежащей на гладком горизонтальном столе, начинает двигаться точка А массы т. В начальный момент система находилась в покое.
Траектория относительного движения точки задается уравнением Л = ~(у), где Л = = АС вЂ” расстояние от точки до центра инерции С фигуры, а ер— угол между АС и осью Се, жестко связанной с фигурой. Составить уравнения для определения траектории точки С относительно стола, если центральный момент инерции фигуры равен .1. 6.34. Пластина массы т может двигаться в неподвижной плоскости лу. Положение пластины задается координатами х, у полюса Р и углом ~р, который прямая, соединяющая поапос Р с центром масс С пластины, образует с осью От. Составить уравнения плоскопараллельного движения пластины в переменных л, у, еа, если момент инерции пластины относительно оси, проходящей через полюс Р перпендикулярно плоскости пластины, равен,1, а РС = 1.
6.35. Тонкая пластина массы т движется в своей плоскости. Показать, что момент импульса пластины относительно какой-либо ее точки А определяется равенством Ка = lлса+ т(АИ х ид), где гв - - угловая скорость,,7л .. момент инерции пластины относительно оси, проходящей через точку А перпендикулярно ее плоскости; А Ив радиус-вектор центра масс пластины. 6.36. Ось 00' маховика (см. рисунок), установленного на космической станции, неподвижна относительно станции и проходит через ее центр масс и через центр масс маховика.
Маховик раскрутили от З 6. Изменение импульса и момента импилъеа еиетеми 55 нулевой до некоторой угловой скорости еао, которая была определена с помощью датчика, жестко связанного со станцией. Найти абсолютную угловую скорость Й станции, если в начальный момент система покоилась;моменты инерции станции и маховика относительно оси 00 равны соответ- о' ственно .11 и .)з.
ие 6.37. Решить предыдущую задачу (см. рис. к ней) в предположении, что ось 1р 00 проходит через центр масс маховика и пе проходит через центр масс станции. Моменты инерции станции и маховика относительно оси, проходящей через центр масс С системы параллельно оси 00~, равны и е соответственно. Момент инерции маховика относительно оси ОО' равен,7з. 6.38. Человек раскачивается на качелях, приседая и вставая (см. рисунок). Расстояние от центра масс системы ечеловек-качелиа до оси подвеса качелей является известной дифференцируемой функцией времени е(е) = ее+ Г(е). Составить дифференциальное уравнение, определяющее закон изменения угла е6(1) отклонения качелей от вертикали, если момент инерции системы относительно оси подвеса РавЕн .1(6) =,16+ й'(6).
01 К задаче 6.46 К задаче 6.36 6.39. По какому закону нужно изменять длину 1(6) плоского математического маятника, чтобы маятник двигался по закону ер(6) = = еа6, где ее= сопв1. 6.40. Известное упражнение с обручем (хула-хуп) можно описать с помощью следующей упрощенной модели. Цилиндр А радиуса г (см. рисунок) совершает поступательное движение. Его центр 0 1. Кинематика и динамика 56 движется по окружности радиуса р с центром в точке 01 по закону и = а(~). Однородный обруч радиуса Л и массы т обкатывает без скольжения цилиндр А. Составить уравнение движения обруча, считая, что вся система расположена на гладкой горизонтальной плоскости.
Найти также условие, при котором обеспечивается контакт между обручем и цилиндром. 6.41. В модели упражнения с обручем, описанной в предыдущей задаче (см. рисунок к ней)., центр О цилиндра А движется по окружности радиуса р с постоянной скоростью ш Показать, что в системе лОу уравнение движения обруча совпадает с уравнением движения математического маятника длины 2др( — г) /ез. 6.42. В модели упражнения с обручем, описанной в задаче 6.40 (см. рисунок к ней), центр О цилиндра А движется равномерно по окружности радиуса р со скоростью о. Показать, что уравнение движения обруча допускает решения, которым соответствуют вращения обруча с постоянной угловой скоростью еь Найти величину ю и показать, что при таких движениях условие наличия контакта между цилиндром и обручем пе нарушается.
й 7. Изменение кинетической энергии. Смешанные задачи 7.1. Однородный стержень ОВ длины 1 и массы М (см. рисунок) вращается с постоянной угловой скоростью еа вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку О. Вдоль О В с постоянной относительной скоростью те движется однородный стержень 01А длины а и массы т так, что стержни все время находятся в одной гшоскости. В начальный момент точки О и 01 совпадали.
Найти кинетическую энергию системы как функцию времени. К задаче 7.2 К задаче 7Л 7.2. Клин массы т1 с углом а при вершине (см. рисунок) движется горизонтально со скоростью то. Доска массы тз движется з 7. Изменение иинетичееншз энергии. Смешанные задачи 57 вдоль наклонной грани клина с относительной скоростью т1 и тянет груз массы тз, движущийся по вертикальной грани клина. По доске с угловой скоростью ее катится без проскальзывания однородный цилиндр массы те и радиуса г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
