Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Сравнить видимую геоцентрическую долготу Сатурна ). = с'.уСР = 309'4' (наблюдепия Птолемея 22.12.138 г. и. э. в Александрии) с расчетной, если серия предшествующих наблюдений позволила определить: е = О, 114, 5 = О, 108, П = 233', со1 = 86'33', (р— — со)1 = 275'6'. 8.30. Обращение планетного механизма, проведенное Коперником (1543 г.), хорошо объясняет промежуточная система Тихо Браге (1577 г.).
Поскольку никакими методами определения линейных размеров в планетной системе астрономия древних не располашла, Тихо Браге совместил со средним Солнцем Ь' все точки б'„)7 — б;)ч в системе Птолемея (см. предыдущую задачу). Поэтому все планеты у Тихо Браге обращаются вокруг Солнца, а Солнце вокруг Земли. Обращение же кинематики, проведенное Коперником, сводится к остановке Солнца и включению в движение Земли.
При этом вся структура планетной системы, развитая древними, не только не претерпевает каких-либо коренных изменений, а лишь упрощается; накопленные же экспериментальные данные только получают другую интерпретацию. Объяснить физический смысл величин 5; радиусов эпициклов. 8.31. Тело состоит из двух одинаковых материальных точек масс т, соединенных невесомым нерастяжимым стержнем длины 21. Показать, что в поле всемирного тяготения возможно следующее движение: притягивающий центр О и движущиеся точки лежат на одной прямой, а траектория каждой точки — окружность.
Расстояние ОС = Л, а С центр масс точек. 8.32. При каком соотношении между й и 1 в результате схлопывания масс из предыдущей задачи в одну, общая масса будет иметь вторую космическую скорость? 8.33. Спутник Земли массы т движется по эллиптической орбите. Найти полную энергию спутника, если болыпая полуось его орбиты равна а. 8.34. Чтобы перевести спутник с круговой орбиты радиуса й1 (см, рисунок) на круговую орбиту радиуса Л2, ему последовательно сообщаются два касательных импульса, вызывающих изменение скорости спутника на Луг и Ьуз соответственно. Найти значения Ьи7 ) Для внутренних планет (Меркурий, Венера) центр эпицикла Птолемей помещает в точке О на прямой, соединяющей наблюдателя со средним Солнцем (рисунок б).
Скорость обращения планет в этом эпицикле м больше средней скорости Солнца (в ( м). 2 8. Дин мика точки в центральном поле и Ьвз, если в результате действия первого импульса спутник переходит на промежуточную эллиптическую орбиту (эллипс Гомана). 8.35. Материальная точка массы пз притягивается к неподвижному центру силой У = — ~(г)г(г. В начальный момент скорость точки чо направлена перпендикулярно радиус-вектору гв. Найти траекторию ТОЧКИ, ЕСЛИ В НаЧаЛЬНЫй МОМЕПт Пгив —— 2 = У(го)го. 8.36. Искусственный спутник Земли выведен на эллиптическую орбиту, апогей которой находится на расстоянии О от поверхности Земли, а перигей на расстоянии Ь. Найти элементы орбиты спутника (эксцентриситет е и параметр р).
8.37. Искусственный спутник Земли лчз массы т движется по эллиптической орбите, удаляясь от поверхности Земли па К задаче 8.34 расстояние О в апогее и на расстояние 6 в перигее. Найти полную энергию Е спутника и его кинетический момент К. 8.38. Материальная точка массы т движется под действием Е=-д ) 1 -Е',.Е. =,2ЕЗГЗР, Е= ° Е Н еь закон изменения кинетического момента Кв(1). 8.39.
Искусственный спутник Земли массы т с начальной энергией Ео движется по эллиптической орбите. Найти зависимость скорости спутника от его высоты над поверхностью планеты. 8.40. В плотных слоях атмосферы на спутник массы т действует сила сопротивления Р = — бг. Найти зависимость секториальной скорости спутника от длины дуги в его траектории, если 3 = йи, а начальное значение секториальной скорости с/2. 8.41.
В каком центральном поле траектория материальной точки определяется уравнением 2 ~ — ) — ео — = О, где ео постоянная дд~ 1г) г величина. 8.42. На материальную точку массы т, движущуюся в поле центральной силы, дополнительно действует сила сопротивления У = = — 3и, где 3 - постоянная величина. Найти зависимость секториальпой скорости точки от времени.
8.43. В условиях предыдущей задачи секториальная скорость спутника уменыпается по экспоненциальному закону. Найти угловую скорость вращения ф радиус-вектора спутника в плоскости орбиты. 8.44. Материальная точка движется в центральном поле, потенциал которого П = п~г~. Найти уравнение траектории точки. 1. Кинематика и динамика 8.45. Найти уравнение траектории заряженной частицы массы т в поле неподвижного положительного заряда Я. Заряд частицы положителен и равен д. 8.46. Дифференциальное уравнение траектории материальной точки массы т в центральном поле имеет вид —. ~ — ) + ~у(г) = О, амбр~ ~,т) где ьуЯ вЂ” - заданная функция.
Найти зависимость силы от г. 8.47. Найти в квадратурах уравнение траектории материальной точки массы т в поле центральной силы Г = — —,у(~р), зависящей от полярного угла д. 8.48. Материальная точка массы т движется в поле центральной силы Г = — —,у(у) — —,, зависящей от полярного угла ~р. Найти г г уравнение траектории точки в квадратурах. 8.49. Спутнику, который движется по круговой орбите радиуса Л со скоростью и, сообщается импульс чистого прижатия, в результате чего возникает радиальная составляющая скорости, равная Ьи и направленная к центру.
Найти эксцентриситет е новой орбиты и угол еа между радиус-вектором в точке приложения импульса н направлением на перигей. Показать, что параметр р при этом не изменится. 8.50. Спутнику, движущемуся со скоростью и по круговой орбите радиуса Л, сообщается импульс торможения, в результате которого скорость изменилась на величину екю. Найти параметр р, эксцептриситет е новой орбиты и угол у между радиус-вектором в точке приложения импульса и направлением па перигей новой орбиты. 8. 51.
Два одинаковых спутника Земли движутся по круговым орбитам одинакового радиуса Л. Одному спутнику сообщается импульс торможения, уменыпающий скорость на Ьг, а другому равный по модулю импульс чистого прижатия, в результате которого возникает радиальная составляющая скорости Ьг, направленная к центру. Для новых орбит сравнить высоты г1 и гз спутников в точке перигея. 8.52. Искусственный спутник Земли движется по эллиптической орбите с эксцентриситетом ео и параметром рв. В некоторый момент спутнику сообщается касательный импульс Ьй = Хгпв, где ч скорость спутника в этот момент. Найти параметры новой орбиты спутника, если в момент приложения импульса спутник находился на расстоянии Н от поверхности Земли, а угол между вектором скорости в и радиус-вектором был равен 8. 8.53.
Искусственный спутник Земли массы гп движется по эллиптической орбите г = р/(1+ есовеа). Для поворота орбиты в ее плоскости, т.е. для поворота большой полуоси орбиты на угол ~у используются два касательных импульса о1 и оз. Полагая, что после я 8. Дин мика точки в центральном поле первого импульса спутник выходит на промежуточную кругову1о орбиту, найти импульсы и минимальное время между моментами их приложения. 8.54.
Космический корабль движется со скоростью и по круговой орбите, плоскость которой образует угол у с плоскостью экватора. В какой точке траектории и какой импульс скорости Ьи нужно сообщить космическому корабляо, чтобы форма и размеры орбиты не изменились, а ее плоскость повернулась на угол 45' вокруг липин пересечения орбиты с плоскостью экватора? 8.55. Спутник массы т выведен на круговую орбиту вокруг Земли в разреженные слои атмосферы. Вследствие торможения атмосферой спутник начинает снижаться и двигаться по спиралевидной кривой, близкой к круговой.
Считая, что угол а между вектором скорости и и трансверсяльной составляющей скорости не меняется при движении спутни~са, т. е. дп/йр = 0 (<р . полярный угол), показать, что вследствие торможения атмосферой линейная скорость спутниюя, движущегося по орбите, близкой к круговой, возрастает так, как если бы он разгонялся тормозящей силой (парадокс спутника). 8.56. Эксцентрическая аномалия Е 1угол в параметрическом уравнении эллипса) связана с истинной аномалией у 1полярный угол в уравнении конического сечения) соотношениями: (соя Š— е), я1п ЕчУ1 - еа соя~р =, я|п~р = 11 — есояЕ) ' (1 — есояв) Показать, что зависимость эксцентрической аномалии Е от времени определяется уравнением Кеплера: Š— ея1пЕ = п11 — 1я), где п = = 2л/Т -.
средняя угловая скорость обращения, а Т вЂ” период. 8.57. При исследовании проблемы % тел вводят в рассмотрение М так называемый момент инерции системы,У = 1, тятя г;, где г,— я=1 радиус-вектор я'-го тела. Если величина,У ограничена, то система совершает финитное движение, если при 1 — я оо величина / возрастает неограниченно, то система соверяпает инфинитное движение. Найти выражение для о1 ?/Ж и, используя его, показать, что в задаче М тел движение будет инфинитным, если начальное значение полной энергии Ео системы положительно. 8.58.
На какую высоту над экватором Земли должен быть выведен спутник, чтобы он стал стационарным спутником, служащим для обеспечения трансляцнонных межконтинентальных систем связи? Землю считать однородным шаром радиуса Л = 6380 км. 8.59. Твердое тело массы т находится в гравитационном поле неподвижного центра О. Известны: В = ОИ, где С . —. центр масс тела; Ь Кинематика и динамика еь "орты, задающие главные центральные оси; 1ь . - моменты инерции относительно ею к = 1, 3. Вычислить гравитационный потенциал П и момент Мс гравитационных сил относительно центра масс С.
П1пи вычислении пренебречь членами более высокого порядка, чем а,1Л-, где а максимальный размер тела. 8.60. Однородный тонкий стержеиь длины 21 притягивается по закону всемирного тяготения к центру О. Найти точку приложения равнодействующей гравитационных сил, считая 1 «Л = ОС, где С центр масс стержня. 9 9. Динамика относительного движения 9.1. Движущееся твердое тело содержит полость, целиком заполиеииую однородной несжимаемой жидкостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
