Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Показать, что в движеиии относительно системы координат, жестко связанной с твердым телом, кинетический момент жидкости ие зависит от выбора полюса. 9.2. Космическая станция равномерно вращается вокруг своей оси симметрии. Ось вращения поступательно перемещается с постояипым по модулю и иаправлепию ускорением ве. Показать, что в отсутствие внешних вепотеициальиых сил для материальной точки, находящейся внутри станции, в системе координат, связанной со станцией, имеет место закон сохранения мехаиической энергии. (Потенциальная энергия точки состоит из потенциальной энергии внешних сил и потенциальной энергии переносной силы иперции.) 9.3.
Два небесных тела В и С (см. рисунок) движутся вокруг общего центра инерции О по окружностям, лежащим в одной плоскости. Известны радиусы окружностей г1 и гз и массы тел т1 и тэ. В плоскости орбит вводится вращающаяся система координат лОд, начало которой находится в центре инерции О, а ось От направлена иа одно из тел. Показать, что если космический корабль попадет в точку А плоскости орбит, находящуюся па одинаковом расстоянии г1 + га от обоих тел (треугольник А ВС равносторонний), с нулевой относительной скоростью, то ои останется там навсегда. 9.4.
Гладкая проволочная окружность радиуса Л вращается с постояииой угловой скоростью ш вокруг своего вертикального диаметра. Найти положения относительного равновесия тяжелого колечка, надетого па эту окружность. 9.5. Гладкое кольцо радиуса г (см. рисунок), плоскость которого вертикальпа, вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикэльиой оси А В, иаходящейся на расстоянии а от центра кольца О. По кольцу может скользить тяжелая бусинка. Найти угловую скорость, при которой положение относительного равновесия бусинки будет определяться заданным углом уо, если а ь г я1п ело ф О. Найти з 9.
Диналгино относительного деиогсенил относительную скорость бусинки в зависимости от угла с9, если в начальный момент ее скорость относительно кольца была равна нулю, а угол с9 равнялся <ре. Ац К задаче 9.3 К задаче 9.6 К задаче 9.5 9.6. По внутренней стороне шероховатового круглого обруча радиуса Й (см. рисунок) может катиться без проскальзывания однородный диск массы т и радиуса г. Обруч вращается с постоянной угловой скоростью се вокруг своего вертикального диаметра АВ. Найти положения относительного равновесия диска. Составить дифференциальное уравнение движения диска и убедиться, что величина Зф~+ез~сов2ср — 48созгр/(Л вЂ” г) сохраняется во времени.
9.7. Маятник состоит из п одинаковых однородных стержней, соединенных цилиндрическими шарнирами (см. рисунок). Точка подвеса маятника движется по горизонтальной прямой с постоянным ускорением ъг. Найти положение относительного равновесия маятника. К задаче 9.9 К задаче 9.8 К задаче 9.7 9.8. Клин АВС (см. рисунок) движется вдоль горизонтальной прямой с постоянным ускорением вг.
На наклонную грань ВС клина, образующую угол а с горизонтом, помещается с нулевой относитель- 1. Кинематика и динамика 78 ной скоростью однородный цилиндр, который может катиться по этой грани без проскальзывания. Каково должно быть ускорение клина для того, чтобы центр О цилиндра двигался вверх по клину? 9.9. Однородный диск радиуса т (см. рисунок) может катиться без проскальзывания по внутрешзей стороне вертикального обруча радиуса Й, поступательно движущегося вверх с постоянным ускорением зг.
Найти зависимость относительной скорости и центра диска от угла д, если в начальный момент у = 810 и и = 00. 9.10. Шероховатая доска АВ (см. рисунок) колеблется вдоль горизонтальной оси Ох по закону ОА = авшез1. По доске может катиться без проскальзывания однородный диск массы т и радиуса г. В начальный момент 10 = 0 скорость центра диска относительно доски была равна нулю. Показать, что за конечное время диск упадет с доски. К задаче 0.10 9.11. Точка А подвеса математического маятника длины? совершает вертикальные колебания по закону ОА = а гйп Ы.
Составить уравнение движения маятника и убедиться в том, что это уравнение допускает решения ~р(1) = 0 и <р(а) = х. 9.12. Точка подвеса математического маятника длины 1 движется по горизонтальной прямой Ох по закону а1з/2+ А 81п оз1. Составить уравнение движения маятника относительно системы координат, поступательно движущейся вдоль оси Ох по закону па~/2. 9.13.
Математический маятник установлен на тележке (см. рисунок), которая может двигаться вдоль горизонтальной направ- ляющей Ох. Ось подвеса маятД~ ника перпендикулярна направлению движения тележки, так что маятник может вращаться в вертикальной плоскости хр. В начальный момент маятни- ку, находящемуся в наинизшем 0 положении, сообщается угло- вая скорость соо. По какому К задаче 0.13 закону должна меняться ско- рость тележки и(~), чтобы при 0 < 1 < я/(2100) маятник поворачивался вокруг оси подвеса с постоянной угловой скоростью? з 9.
Динамино относительного движения 9.14. Найти выражение для силы Р', которую следует приложить к тележке для того, чтобы реализовать движение, описанное в предыдущей задаче. 1Масса тележки М, масса маятника т, его длина 1. Массой колес и трением пренебречь.) 9.15. По гладкой горизонтальной плоскости, вращающейся с постоянной угловой скоростью ео вокруг вертикальной оси Оз, под действием силы притяжения Р к центру О движется материальная точка А массы т. Считая,что Е = †(гэ, где г = АО,найти относительную скорость точки как функцию г, если в начальный момент и = во а г = го. 9.16. Невесомый стержень 1см. рисунок), конец О которого шарнирно закреплен, вращается с постоянной угловой скоростью оз вокруг горизонтальной оси О, перпендикулярной плоскости рисунка.
По стержню катится без проскальзывания диск радиуса г и массы т. Найти силу трения и силу нормальной реакции со стороны стержня на диск в зависимости от угла г9 поворота стержня и расстояния 1 от точки О до точки А касания диска со стержнем. В начальный момент точки О и А совпадали, а диск покоился относительно стержня. К задаче 9.17 К задаче 9.19 9.17. Внутри гладкой горизонтальной трубки (саь рисунок), вращающейся вокруг вертикальной оси Ов с постоянной угловой скоростью ео и перегороженной в точках А и В 1ОА = 1, ОВ = Л,? < < Л), может скользить без трения шарик.
В начальный момент шарик находился у перегородки А и имел относительную скорость чс, направленную от оси вращения. Пренебрегая размерами шарика, найти период его колебаний относительно трубки, считая удар о перегородку абсолютно упругим. Построить фазовую диаграмму 1траекторию на фазовой плоскости уу). 9. 18. Используя условия предыдущей задачи, но считая, что удар шарика о перегородки не является абсолютно упругим, построить 1качествснно) фазовую диаграмму движения шарика. Прн каких значениях коэффициента восстановления Й шарик после первого удара о перегородку В не вернется к перегородке А? 1. Кинематика и динамика 80 9.19.
Колечко пасажено на гладкую проволоку, расположенную в горизонтальной плоскости П и изогнутую по кривой г = ~(у). Плоскость вращается с постоянной угловой скоростью ез вокруг вертикальиой оси Оз. Найти закон движения колечка, если при 2 = 0 заданы г = ге и и = ге. 9.20. Вдоль гладкого стержня АВ, вращающегося в вертикальной плоскости с постоянной угловой скоростью из вокруг своего конца А, может скользить надетое на стержень тяжелое колечко. Найти закон движения х = х(2) колечка отпосительпо стержня, если в момент времени 2 = 0 стержень занимал нижнее вертикальное положение и х(0) = хо, х(0) = хо.
9.21. 1Парик массы пт помещен в шероховатую трубку. Динамический коэффициент трения скольжения шарика о трубку равен ~. Можно ли при помощи этой системы моделировать эффект вязкого трения, т. е. реализовать силу сопротивления, пропорциональную относительной скорости г' = -йе? Размеры шарика пренебрежимо малы, трубка прямолинейна. 9.22. Используя решение предыдущей задачи, предложить схему прибора для определения коэффициента трения скольжения в условиях невесомости.
9.23. Горизонтальная трубка (см. рисунок) вращается с постоянной угловой скоростью оз вокруг вертикальной оси АВ, проходящей через ось трубки. Шарику массы т, находящемуся в трубке иа расстоянии хе от оси вращепия, сообщается относительная скорость го. Пренебрегая размерами шарика и считая, что на него действует сила сопротивления Е = — Йе, найти закон движения х = х(2) шарика отпосительио трубки, а также начальную скорость го, которую нужно сообщить шарику, чтобы ои достиг оси вращения.
з$ с ~~й К задаче 9.25 К задаче 9.23 9.24. Однородный диск может катиться без проскальзывания по горизонтальиой направляющей Ох, вращающейся с постоянной угловой скоростью ез вокруг вертикальной оси Оу. Найти закон относительного движения диска. з 9. Динамика относительного движения 9.25. Стержень АВ (см. рисунок) вращается с постоянной угловой скоростью ев вокруг горизонтальной оси О;с, проходящей перпендикулярно стержню через его точку О.
Ось Ох в свою очередь вращается вокруг неподвижной вертикальной оси Оз с постоянной угловой скоростью Й. Составить уравнение движения колечка, насаженного на стержень, выбрав в качестве координаты вг расстояние колечка от точки О стержня и приняв коэффициент трения между колечком и стержнем равным 2. 9.26. Материальная точка массы т движется относительно произвольной неинерциальной системы отсчета по закону г(с).
Доказать, что переносная сила инерции потенциальна в том и только в том случае, когда угловая скорость из системы является постоянным вектором. Подсчитать потенциальную энергию переносных сил инерции, если начало пеииерциальпой системы имеет ускорение иг. 9.27.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
