Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 19
Текст из файла (страница 19)
11.31. При некотором движении твердого тела с неподвижной точкой О в каждый момент времени главный момент внешних сил Мо относительно неподвижной точки, ортогонален вектору мгновенной угловой скорости аз. и а Показать, что при таком движении кинетическая энергия твердого тела сохраняется, а вектор момента импульса Ко во все время движе- згк и пия ортогопалеп вектору мгновенного углового ускорения е. 11.32. Показать, что при движении твер- О дого тела с неподвижной точкой О кииетическая энергия сохраняется в том и только в том К задаче 11.30 случае, когда вектор момента импульса Ко, и вектор углового ускорения е ортогональны во все время движения. 11.33.
Точка М твердого тела, совершающего движение в пространстве, внезапно закрепляется. В момент закрепления угловая скорость тела равна со, а скорость точки М равна згйг. Считая известными геометрию масс тела и положение его центра масс С, найти вектор угловой скорости Й тела сразу после закрепления. 11.34.
Центр масс твердого тела, совершающего движение в пространстве, внезапно закрепляется. Показать, что вектор угловой скорости тела сразу после закрепления совпадает с вектором угловой скорости в момент закрепления. 11.35. Твердое тело с неподвижной точкой движется так, что вектор момента импульса относительно неподвижной точки меняется только по модулю, сохраняя неизменным свое направление в пространстве. Показать, что для такого движения твердого тела имеет место геометрическая интерпрезация Пуапсо: существует такая неподвижная плоскость, по которой эллипсоид инерции тела катится без проскальзывания.
11.36. Твердое тело с неподвижной точкой в некотором силовом поле движется так, что для этого движения имеет место геометри- Л Р.С. Пятницкий и др. 1. Кинематика и динамика эв ческая интерпретация Пуансо: эллипсоид инерции тела катится по неподвижной плоскости без проскальзывания. Как связаны между собой момент импульса Кр(е) тела н момент внешних сил МО11) относительно неподвижной точки О при таком движении? 11.37. Убедиться в том, что углы поворота рамок и тела в техническом устройстве, изображенном на рисунке (карданов поднес), соответствуют эйлеровым углам.
ед 11.38. Твердое тело массовой плотности р1л, у, 2) вращается вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле сил Вв" = Ойп г — — (О " гравитационная постоян- т т пая). Радиус-вектор К, проведенный из центра тяготения в неподвижную точку тела, имеет компоненты Ла — — — йу1, Ви = — В?2, а,й юч и, = — йуз (Олуз главные оси тепзора инерции для неподвижной точки О; у1, ув, Ц уз направляющие косинусы). Составить уравнения движения тела. К задаче 11.37 11.39.
Платформа движется поступа- тельно с постоянным ускорением эт. Составить уравнения относительного движения асимметричного волчка массы т, точка опоры О которого неподвижна относительно платформы. 11.40. Непосредственным вычислением убедиться в том, что при движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае С.В. Ковалевской (А = В = 2С, цс1 = ~17 = О) имеет место 1-й интеграл уравнений движения 2 2 р — д~ — у + 2рд — у' где у, у', ун — направляющие косинусы вертикали в системе главных осей твердого тела. 11.41. Составить динамические уравнения Эйлера для твердого тела с неподвижной точкой О в переменных К1, К2, Кз, где К1, К2, Кэ — компоненты вектора момента импульса на некоторую систему ортогональных осей 0~1, Осз, 0~2, связанных с телом. Рассмотреть также случай, когда оси Ое1 1г = 1, 3) являются главными. 11.42. Спутник, главные центральные моменты инерции которого А = В > С, совершает регулярную процессию в поступательно движущейся системс отсчета с началом в центре масс О спутника.
Реактивный двигатель, который создает постоянный момент М относительно главной оси инерции Ое, лежащей в экваториальной э П. Динамнна твердого тела 99 плоскости, включается в некоторый момент времени и через время Т выключается. Преиебрегая изменением массы спутника, найти то время работы двигателя Т, по истечении которого экваториальная компонента угловой скорости ев, = (рз + дз)1~9, будет иметь минимальное значение, если проекции вектора угловой скорости па оси ОецЬ в момент включения двигателя равны ро, е19, го соответственно. Найти также значение ев, в момент 1 = Т.
11.43. Показать, что в условиях предыдущей задачи последовательным включением и выключением двигателя можно обратить в нуль экваториальную компоненту угловой скорости. 11.44. Симметричный гироскоп (А = В ~ С) массы т вращается вокруг неподвижной точки О. Центр масс гироскопа лежит па оси симметрии на расстоянии г от неподвижной точки.
В начальный момент гироскопу была сообщена абсолютная угловая скорость ев вокруг оси, образующей угол а с осью симметрии гироскопа. Определить момент импульса гироскопа относительно точки О в зависимости от угла 6 между осью симметрии гироскопа и вертикалью, если в начальный момент 6 = 69. 11.45. Твердое тело с неподвижной точкой движется под действием момента Мр = а х г», где а —. постоянный вектор в системе отсчета, связанной с телом. Найти два первых интеграла динамических уравнений Эйлера. 11.46. К твердому телу с неподвижной точкой приложен момент, проекции которого иа главные оси инерции тела равны соответственно Мг = Ар(ф, И, = Вд~ф, Иг = Сг1Я, где А, В и С— главные моменты инерции тела, а р, о и г компоненты вектора угловой скорости иа главные оси.
Проинтегрировать (в квадратурах) динамические уравнения Эйлера. 11.47. При движении твердого тела с неподвижной точкой О его вектор момента импульса меняется в соответствии с равенством Ко (е) = ((е)е, где е — единичный вектор, неподвижный в пространстве. Найти закон изменения во времени проекций р, д, г угловой скорости тела на его главные оси инерции. 11.48. Твердое тело с неподвижной точкой начинает движение из состояния покоя под действием постоянного по модулю и направлению момента сил Мп.
Найти закон изменения во времени угловой скорости тела, если его главные моменты инерции равны А, В и С. 11.49. Проводящее неоднородное сферическое твердое тело с моментами инерции А = В ф С раскручивается симметричным вращающимся электромагнитным полем вокруг центра инерции, совпадающего с центром сферы. На начальной стадии движения, когда угловая скорость тела мала, можно считать, что на него действует 1ОО 1. Кинематика и динамика постоянный по направлению момент сил Мр (1) (по модулю и направлению такой же, как в случае неподвижного тела).
Найти решение динамических уравнений Эйлера па начальном этапе разгона тела. 11.50. К симметричному (А = В ф С) твердому телу с неподвижной точкой О прикладывается постоянный по модулю и направлению момент внешних сил Мо. Найти зависимость угловой скорости тела от времеви, если в начальный момент она была равна пулю. 11.51. Симметричный гироскоп вращается в воздушной среде. Учет сил сопротивления в соответствии с моделью Клейна— Зоммерфельда приводит к уравпевиям Ар = — (С вЂ” А)гл1 — А1езр, Ал) = (С вЂ” А)гр — Абазу, Сг = — С1лзг. Найти зависимость р, л1 и г от времени. 11. 52. Используя условия предыдущей задачи, найти закон изменения во времени угла у между осью симметрии гироскопа и вектором его мгновенной угловой скорости. 11.53.
Симметричное тело (А = В ф С) совершает движение с неподвижной точкой О. Найти зависимость угловой скорости тела от времени, если иа него действует момент внешних сил Мр(1), все время направленный по оси динамической симметрии. 11.54. Осесимметричный космический аппарат (А = В ~ С) вращается относительно продольной оси с угловой скоростью ал (см.
рисунок) . Метеорит, летящий со скоростью и, попадает под прямым углом в точку Р оси симметрии аппарата и застревает в ией. Расстояние от точки Р до центра инерции Р равно л1. Описать дальнейшее движение системы, считая, что масса метеорита т пренебрежимо мала по сравнению с массой аппарата. 11.55. Однородный тонкий стержень длины! и массы т, центр масс С которого закреплен, закручивается с угловой скоростью ело вокруг оси, образующей угол а со стерже Р ием.
Найти движение стержня. 11.56. Топкая пластина движется ,л в пространстве. В некоторый момент времени вектор момента импульса К кр пластипы относительно центра масс образует с плоскостью пластины угол а. Найти угловую скорость ел и угол 6, который вектор лв образует с плоскостью пластины, если главные центральные мо- К задаче 11.54 менты инерции отпосительно осей, лежащих в плоскости пластины, равны между собой, 11 = 1в =,1. 11.57. Симметричллое твердое тело (А = В ~ С) с неподвижной точкой движется по инерции. Найти угловую скорость собственно- З Кк Динамвва твердого тела 101 го вращения ф тела, если в начальный момент ему была сообщена угловая скорость, проекция которой на ось симметрии равна го. 11.58.
Булава, главные центральные моменты инерции которой равны А = В ф С, подброшена над землей. Найти параметры регулярной прецессии в поступательно движущейся системе отсчета с началом в центре масс, если в начальный момент булаве была сообщена угловая скорость, проекции которой на главные центральные оси равны ро до го. 11.59. Симметричный гироскоп (А = В ~ С) вращается по инерции вокруг своего центра масс. Найти параметры регулярной прецессии, если в начальный момент гироскопу была сообщена угловая скорость озв, проекция которой на ось симметрии равна го. 11.60. В момент метания гранаты ее ось А материальной симметрии А В (гм. рисунок) составляет угол а с горизонтом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
