Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 23
Текст из файла (страница 23)
12.34. Два одинаковых однородных диска массы т каждый (см. рисунок) могут катиться без проскальзывания по горизонталь- К задаче 12.34 ной прямой. Центры дисков соединены между собой и с неподвижными стенками пружинами жесткости с. Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа. 12.35. Доска массы т (см. рисунок), соединенная пружинами жесткости с с неподвижными стенками, может скользить по гладкому К задаче 12.35 горизонтальному полу. По доске может катиться без проскальзывания диск массы т/2 и радиуса 1, центр которого соединен с краем доски пружиной жесткости 2с.
Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа. 3 12. Уравнен н Лагранжа 119 12.36. Трехгранная призма А В Р массы М (см. рисунок) скользит по гладкой наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом; г' ВАР = (3. По грани А В призмы скатывается без проскальзывания однородный цилиндр массы т. Используя уравнения Лагранжа, найти ускорение призмы ш и ускорение шсз центра цилиндра относительно призмы. К задаче 12.36 К задаче 12.37 12.37. Прямоугольный брус массы М (см. рисунок), в котором вырезана цилиндрическая полость радиуса Й, соединен, с неподвижной стенкой пружиной жесткости с и может двигаться без трения по горизонтальным направляющим.
В полости может катиться без проскальзывания однородный цилиндр массы т и радиуса г (г < В). Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа. 12.38. Однородный диск радиуса В и массы т (см. рисунок) может катиться без проскальзывания по параболе у = ахз/2. Ось Оу вертикальна, Ва < 1. Составить функцию Лагранжа, приняв за обобщен- х х пую координату абсциссу х точки О касания. К задаче 12.38 12.39. Груз массы т, подвешенный на пружине жесткости с, может двигаться по вертикальным направляющим без трения. В центре масс груза шарнирно прикреплен однородный стержень массы М и длины 2Б Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа, если стержень во время движения не выходит из вертикальной плоскости.
12.40. Брусок массы М (см. рисунок), соединенный с неподвижными стенками одинаковыми пружинами жесткости с, может скользить без трения вдоль горизонтальной направляющей. К центру бруска па нерастяжимой нити длины 1 подвешен груз массы т. Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа. 12.41. К центру бруска массы М (см.
рисунок), который может скользить без трения по горизонтальным направляющим, па упругой 2. А налитичеекал механика 120 нити жесткости с подвешен груз массы т (длина нити в ненапряженном состоянии /0). Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа. К задаче 12.41 К задаче 12.40 12.42. Решить задачу 12.40, считая нить упругой (жесткость нити с1, ее длина в недеформированном состоянии !0). 12.43. К ползуну массы т (см. рисунок), который может перемещаться по гладкой горизонтальной направляющей, подвешен двойной математический маятник с массами т1 и т2 и длинами !1 и !2. Ползуп соединен с неподвижными стенками двумя пружинами жесткости с каждая.
Составить уравнения движения в форме Лагранжа. 12.44. Однородный диск массы Л4 (см, рисунок) может катиться без проскальзывания по газ наклонной плоскости, образую- К задаче 12.43 щей угол а с горизонтом. К центру диска на невесомой нсрастяжимой нити длины! подвешен груз массы т. Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа. К задаче 12,44 К задаче 12.45 12.45.
Составить уравнения движения маятника массы т и длины ! (см. рисунок), точка подвеса которого находится в центре диска з 12. Урааненин Лагранжа 121 массы М. Диск может катиться без проскальзывания по горизонтальной прямой От; центр диска соединен с неподвижной стенкой пружиной жесткости с. 12.46. Полый однородный цилиндр массы М (см. рисунок), внешний и внутренний радиусы которого равны соответственно й и р, может скользить без трения по внутренней поверхности неподвижного цилиндра радиуса й. Внутри полого цилиндра может катиться без проскальзывания сплошной однородный цилиндр массы ш и радиуса г.
Оси обоих цилиндров горизонтальны. Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа. К задаче 12.47 К задаче 12А6 12.47. Внутри полого цилиндра массы М и радиуса й (см. рисунок), который может свободно качаться вокруг своей горизонтальной образующей, катится без проскальзывания однородный цилиндр массы т и радиуса г. Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа. 12.48. Однородный диск массы М и радиуса Л (см.
рисунок) может катиться без проскальзывания по горизонтальной прямой. В диске имеется гладкий круговой желоб радиуса г, центр которого совпадает с центром диска и по которому может двигаться шарик массы т. Пренебрегая размерами шарика, составить уравнения Лагранжа системы и найти интегралы движения. 12.49. Однородный цилиндр массы М и радиуса г (см. рисунок) может катиться без проскальзывания внутри неподвижного полого цилиндра радиуса 1т.
К центру подвижного цилиндра подвешен математический маятник массы т и длины 1. Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа. 12.50. Две точечные массы т1 и т2 (см. рисунок) связаны упругой нитью жесткости с, пропущенной через отверстие в гладкой горизонтальной плоскости. Масса т1 движется по плоскости, мас- 2. Анадиеаическаа механика 122 са т2 совершает пространственное движение. Длина нити в недеформированном состоянии равна 1. Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа.
К задаче 12.49 К задаче 12.48 12.51. Точечная масса т1 (см. рисунок) движется по гладкой сфере радиуса 1е, точечная масса т2 движется по вертикали. Массы связаны невесомой нерастяжимой нитькд пропущенной через малое отверстие в наивысшей точке сферы, как показано на рисунке. Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа и найти интегралы движения.
К задаче 12.51 К задаче 12.50 12.52. К концам однородной весомой нити массы М и длины 1 (см. рис. к задаче 12.51), пропущенной через малое отверстие в наивысшей точке гладкой сферы радиуса й, присоединены точечные массы т1 и тв. Масса т1 движется по сфере, масса т2 движется по вертикали. Найти функцию Лагранжа и выписать уравнения движения системы. 112. Урввненов Легре жа 123 12.53. Система состоит из п одинаковых материальных точек массы т каждая 1см. рисунок). Точки связаны одинаковыми пружинами жесткости с и могут скользить без трения по круговому кольцу, расположенному в горизонтальной плоскости.
Найти функцию Лагранжа и составить уравнения движения. 12.54. В динамические уравнения Эйлера вместо р, о и г подставляют их выражения из кинематических уравнений Эйлера. Являются ли полученные таким образом уравнения уравнениями Лагранжа в эйлеровых углах? 12.55. Получить из динамических и кинематических уравнений Эйлера уравнения Лагранжа в эйлеровых К задаче 12.53 углах. 12.56. Найти функцию Лагранжа и составить уравнения движения симметричного волчка (А = В ф С) массы гп в однородном поле тяжести, если центр масс волчка находится на его оси динамической симметрии на расстоянии 1 от неподвижной точки.
12.57. Найти функцию Лагранжа и составить уравнения движения однородного стержня массы т и длины 21 в однородном поле тяжести. Найти движение стержня. 12.58. Цилиндрический болт радиуса Л, высоты В и массы М (см. рисунок) закреп.лен в центре О основания. На болт надета гайка, которую можно считать полым цилиндром с внешним радиусом аВ (и > 1), высотой 1 и массой т, 111аг винтовой нарезки равен й. Составить функцию Лагранжа системы. 12.59. Однородный диск радиуса В и массы ги (см.
рисунок), насаженный в центре под прямым углом на невесомый гладкий стержень, конец О которого закреплен сферическим шарниром, может поступательно двигаться вдоль этого стержня. Центр диска соединен с точкой О пружиной жесткости с, длина которой в недеформированном состоянии равна 1е. Составить уравнения движения диска в форме Лагранжа. 12.60. Симметричное твердое тело (А = В ~ С) массы ЛХ (см. рисунок) может вращаться вокруг неподвижной точки О, лежащей па оси симметрии тела на расстоянии 1 от его центра масс.
В теле имеется узкая цилиндрическая полость, ось которой совпадает с осью симметрии тела. Вдоль полости может перемещаться материальная точка О массы т, соединенная с неподвижной точкой О пружиной жесткости с. Длина пружины в недеформированном состоянии 2. А налитичеенаа механика 124 равна 16. Пренебрегая трением, составить уравнения движения системы в форме Лагранжа. К задаче 12.60 К задаче 12.59 К задаче 12.58 12.61. Однородный стержень (гм.
рисунок) может двигаться в вертикальной плоскости ху, которая вращается с угловой скоростью и = ез(1) вокруг вертикальной оси Ор. Составить уравнения относительного движения стержня в фора ме Лагранжа. О) 12.62. Найти лагранжиан и составить уравнения движения замкнутой системы материальных точек относительно подвижной системы отсчета 01У1У2Уз. Движение системы 01У1У2Уз по отношению к исходной иперциальной системе от( ,я) счета ОХ1Х2Хз задано радиус-вектором го1е) точки 01 и угловой скоростью враще- О ния й(1). Взаимодействие между частицац ми полностью определяется потенциалом П = П(~гь — г,~) (й,ч =1,%).
12.63. Точка массы т притягивает- К задаче 12.61 ся к неподвижному центру О силой 1' = = — утл1)г2. Методом Лагранжа составить уравнения движения частицы во вращазощейся системе отсчета хз,хз,хз, переход к которой осуществляется при помощи преобразования х = х1совЫ вЂ” у161пЫ, у = х1гйпЫ+ у1совЫ, з = 21, где х, у и з - координаты в неподвижной системе отсчета. 12.64. Гладкая проволочная окружность радиуса Л (см. рисунок) вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью ее.
На окружность насажено колечко массы т, соединенное с точкой О окружности пружиной жесткости с; длина З 12. Увивненгга Ангра жа 125 пружины в недеформированном состоянии равна 11гре. Составить уравнения относительного движения колечка в форме Лагранжа. К задаче 12.64 К задаче 12.65 12.65. Колечко массы пг (см. рисунок) может скользить вдоль гладкого стержня А В = 2l, концы которого в точках А и В жестко соединены со сторонами прямого угла г'А О В, вращающегося вокруг своей вертикальной стороны АО с постоянной угловой скоростью оь Колечко соединено с точками А и В двумя одинаковыми пружинами жесткости с.
Длина каждой пружины в недеформированном состоянии равна 1, з'ОАВ = а. Найти относительное движение колечка, используя уравнения Лагранжа. 12.66. Однородный стержень АВ массы т . )з гв и длины 1 (см. рисунок) может скользить без трения по сторонам прямого угла з' РОВ, сторона ОР которого вертикальна. Точка А стержня соединена с неподвижной точкой Р пружиной жесткости с.
Угол г'РОВ вращается вокруг стороны ОР с постояшюй угловой скоростью ез. Составить уравнения относительного движения стержня в форме Лагранжа, если при ее = гре пружина недеформирована. 12.67. Гладкое проволочное кольцо радиуса Л (см, рисунок) вращается с постоянной угловой ско- © ростью ге вокруг своего вертикального диаметра. К задаче 12.66 На кольцо надета бусинка массы т, соединенная с паивыспгей точкой окружности пружиной жесткости с. Составить уравнения относительного движения бусинки, если длина пружины в непапряженном состоянии равна 16.
2. Ан литичеекаа механика 126 12.68. Точка может двигаться без трения в вертикальной плоскости ух по кривой х = 1(у). Плоскость ух вращается вокруг оси Ох с постоянной угловой скоростью еь Сз х Составить уравнения движения точки во вращающейся системе координат в форме Лагранжа. Найти движение точки в случае г = ау+ 6, считая, что в начальный момент ось Ох была направлена вертикально вверх и точка начала двигаться из положеиия (О, 6) с нулевой относительной т скоростью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
