Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 27
Текст из файла (страница 27)
14.13. Однородный стержень АВ = 1 может двигаться в вертикальной плоскости лу так, что конец А скользит по прямой Оу, а конец В по кривой у = 2 (л). Плоскость ту вращается с постоянной угловой скоростью еа вокруг вертикальной оси Ор.
Трение в системе отсутствует. Какой должна быть функция ~(л), чтобы любое положение стержня было положением относительного равновесия, если 1" (О) = О? 14.14. Массы т; (4 = 1, и ), связанные между собой и с неподвижными стенками пружинами (см. рисунок), могут скользить по К задаче 14.14 гладкой горизонтальной направляющей.
Известно, что одна из крайних масс (т1 или т,„) покоится. Показать, что в этом случае покоятся и все остальные массы, т.е. система находится д'4 в в равновесии. 14.15. Система подвешенных на пружинах грузов (см. рис. к задаче 14.5) может совершать движение по вертикали. Показать, что если верх1 Аз ний груз находится в состоянии покоя, то в состо! янин покоя находятся и все остальные грузы. 14.16.
Система из 2п одинаковых стержней Ал '- Вз ! массы т и длины 1 каждый (см, рисунок) может вращаться вокруг вертикальной оси 1и1 Гч'. Стержни соединены между собой шарнирами ! ~з1 — и' -'в точках В1, Вз,..., В2„1 и с невесомыми муфАз тами в точках Ао, А2, А4,..., А2„. Трение в системе отсутствует. Найти положение относительного равновесия системы. 14.17. При переходе через препятствие вер- К задаче 14.16 шины двух мачт линии высокого напряжения оказались на высотах Н1 и Н2 над уровнем моря (см. рисунок). Найти форму равновесия провода длины 1, считая его однородным, гибким и нерастяжимым, если расстояние между опорами равно В. 2 14.
Условия равновесия 145 14.18. Система координат х02 (см. рисунок) движется поступательно относительно неподвижной системы х О~а~ с постоянным ускорением тес. Концы нити неподвижно закреплены в системе х02 О' К задаче 14.18 К задаче 14.17 в точках А(х1, 21) и В(х2, -2); вектор ускорения зго образует постоянный угол а с горизонтом. Найти форму равновесия тяжелой однородной нити в движущейся системе координат. 14.19.
Космическая станция вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси Оу, сохраняющей неизменное направление в пространстве. Найти форму равновесия однородной нерастяжимой нити, которая расположена в неподвижной относительно станции плоскости ху, если концы нити закреплены в точках А(хы у1) и В(х2, у2). 14.20. Точка О подвеса неоднородной нити движется с постоянным ускорением згс.
Найти положение относительного равновесия нити в системс координат, поступательно движущейся вместе с точкой О. 14.21. Используя принцип возможных пе- с ~е ремещений и считая поле тяжести однородным, найти уравнение з(х, у) свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости в цилиндрическом сосуде, равномерно врап1ающсмся с угловой скоростью ы (см. рисунок). 14.22. Показать, что плотность р однородной изотермической равновесной атмосфе- з ры изменяется с высотой по барометрическому К задаче 14.21 ЗаКОНУ Р = Рее ка' Нт, ГДЕ Ро — ПЛОтНОСтЬ Па поверхности Земли, Т температура, Л универсальная газовая постоянная. 14.23. Потенциальная энергия консервативной системы П = = П(д,в1,..., ди) не зависит от обобщенных координат д1, у2, о, Найти положения равновесия системы.
2. Аналитическая механика 146 с!х, дП(х;) Ж дх, (г,в=1,п) и решают ее па ЭВМ, перебийпая по некоторому правилу возможные начальные условия х,(0) = х,. Показать, что если процесс в системе (е) для иекоторого х, (я = 1, п) сходится, т.е. если существуют пределы !пп х,(х;, !) = 7, (г, я = 1, п), то положение х, =у, (я = с-эса = 1, п) является положеиием равновесия системы. 14.26. Показать, что в условиях предыдущей задачи вместо системы (*) можно рассматривать систему вида , ! дП(х,) дП(х;) дП(х,) ! ( 'х~ ха ' хе ) где функции Р;(г1,..., ги) таковы, что система алгебраических уравпеиий Р;(21) = 0 (г, я = 1, п) имеет только пулевое решение (г1 = = г2 =... = з„= 0). 14.27.
Материальная точка может скользить без трения по поверхности 1(х, у, г) = 0 в силовом поле с потенциалом П(х, у, 2). Используя метод неопределенных множителей Лагранжа, показать, что всем стационарным точкам функции Ф = П(х, р, г) + а г'(х, у, г) (а . неопределенный множитель Лагранжа), удовлетворяющим уравнению поверхности, соответствуют положения равновесия точки,и обратно. 14.28. П!арик может скользить без трения по проволоке, изогиутой в форме плоской кривой 2-го порядка ах + 6ху+од +ссх+!1д+ + р = О, 4ас — 62 ф О.
Найти положения равновесия шарика, если ось Ор направлена вертикальпо вверх. 14.24. Сформулировать необходимые и достаточные условия того, что положение с!1 = а, (! = 1, п) натуральной системы с идеальиыми связями является положением равновесия, если уравиеиия Лагранжа имеют единственное решеиие при заданных иачальиых условиях. Кииетическу1о энергию системы Т = Т2+ Т1 + То = и и ~, а1ь(с!1, !)д' с!ь+ ~,'6,(с!1, !)1)1+То(с!1, !) и обобщенные силы ць=! 1=1 ссс = ссс(с!1, ду, с) считать известными функциями.
Из полученных условий вывести принцип возможных перемещений для случая склероиомпой системы. 14.25. Лля отыскания положений равновесия сложных механических систем используют различиыс численные методы. В частности, для консервативной системы с потенциалом П(х;), ! = 1, и, составляют систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка вида 114. Условия равновесия 14.29.
Материальная точка в силовом поле г = (гя(х, у, з), Гз(х, у, г), д;(х, у, г)) может двигаться без трения по поверхности 1 (х, у, х) = О. Показать, что любое решение системы Е„+1 —, =О, ау дх Ез+1 —, =О, Р;+1 — =О, г(х, у, г) =О д~ д~ ду ' ' де (относительно переменных х, у, г, 1) определяет положение равновесия (х, у, г) точки и, обратно, любому положению равновесия (х, у, Ц соответствует решение системы (х, у, в,1). У 14.30. Гибкая нерастяжимая нить А АВ (см. рисунок), концы которой закреплены, находится в равновесии под дей- в (в) ствием распределенной силы г' = Р(в) = = (Х(з), У(в)), где з — длина дуги.
Показать, что функции х = х(в), у = у(в), определяющие равновесную форму нити и натяжение Т = Т(з), являются решением системы диффеРенциальных уравнений — ~Т вЂ” ~ +Х(в) =О, — ~Т вЂ” ~ +У(з) = О, — + — „— = 1. Из каких условий можно определить произвольныс постоянныс, входящие в это решение? 14.31. На склерономную систему наложены удерживающие связи 1,(х;, у;, в;) = О (в = 1, т: г' = 1, п ) и неудсрживающие связи д„(х;, у;, г;) < О (т = 1, й). В некотором положении из всех неудерживающих напряжены только связи ды..., ю (е ( ь). Каким условиям удовлетворяют возможные перемещения в этом положении? 14.32.
Шарик массы т подвешен па гибкой нерастяжимой нити длины 1 (неудерживающая связь). Показать, что в положении равновесия шарика для любых возможных перемещений, допускаемых связью, выполняется неравенство ЬП > О, где П потенциал сил, и что справедливо также обратное утверждение. 14.33. На систему материальных точек с массами тытз,... ...,т„, которая может двигаться в силовом поле с потенциалом П(гыгз,...,г„), наложены идеальные удерживающие и нсудерживающие стационарные связи. Доказать, что в положении равновесия 2. А налет ичеенаа механика системы дП > 0 на любых возможных в этом положении перемещениях и, обратно, что все точки, где дП > 0 на л1обых возможных перемещениях, будут положениями равновесия.
и 14.34. Система движется в потенциальном поле П = ~ аьщ 1=1 ~, аь > О), причем на нее наложена неудерживающая идеальная ( 2 а=1 связь ~,' д~ — 1 < О. Найти положение равновесия системы. е=1 14.35. Доказать справедливость следующего утверждения: для того чтобы некоторое положение склерономной системы, на которую наложены удерживающие и неудерживающие связи, было положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении работа сил, действующих на точки системы, на любом возможном (допускаемом связями) перемещении была неположительна. 14.36.
Проволочная окружность радиуса г (см. рисунок) вращается с постоянной угловой скоростью ез вокруг своего вертикального диаметра. Найти положения относительного равновесия колечка, которое может скользить по окружности без трения. 14.37. Два стержня АВ = 1 и ВС = 1 массы т1 и т2 соответственно (см. рисунок) вращаются с постоянной угловой скоростью ез вокруг вертикальной оси. Найти угол д, который стержень АВ образует с вертикалью в положении относительного равновесия. с!~~) К задаче 14.36 К задаче 14.33 К задаче 14.37 14.38.
Найти зависимость между угловой скоростью ез вращения вала и углом ~р отклонения стержней ОА в ОВ от вертикали в положении относительного равновесия центробежного регулятора, схема которого показана па рисунке. Шарики регулятора А и В имеют массу т каждый, муфта С имеет массу М = изп; жесткость пружины, соединяющей точки О и С, равна к, а ее длина в недеформированном 115. Упновчивость равновесие нонсервативннес систем 149 состоянии равна 21, АО = ВО = 21, ОЛ4 = ОДе = СМ = СЖ = В Массой стержней пренебречь.
14.39. Материальные точки Ао, А1, Аг, ..., А„(см. рис. к задаче 14.6.) последовательно соединены одна с другой невесомыми стержнями одинаковой длины В Вся система, расположенная в вертикальной плоскости, вращается с угловой скоростью ев вокруг вертикали, проходящей через неподвижную точку Ао. Составить уравнения, определяющие все положения равновесия системы. 14.40. Маятник составлен из и одинаковых стержней массы т и длины 1 каждый, последовательно, соединенных друг с другом шарнирами (и-звенный маятник). Маятник может совершать движение в вертикальной плоскости П, которая вращается с постоянной угловой скоростью ю вокруг вертикали, проходящей через точку Ао закрепления конца первого стержня.
Составить уравнения, определяеощие положения относительного равновосия системы. (См. рис. к задаче 14.6.) 14.41. Материальная точка может двигаться по линии пересе- чениЯ ДвУх плоскостей — 2л1+хг+лз — 1 = О, л1 — 2лг+хг+1 = О. 2 Найти систему бесконечно малых возможных перемещений точки. 14.42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
