Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 26
Текст из файла (страница 26)
В положении равновесия пружина ненапряжена. На один из маятников действует внешний момент сил М(е), а на другой сила сопротивления, прогюрциональная скорости маятника (6 коэффициент пропорциональности). Построить электрическую цепь, моделирующую малые колебания системы. 2. А налитичеекал механика 13.19. Обращенный физический маятник ОА (см. рисунок), представляющий собой однородный стержень массы М и длины Г1, прикреплен Ор1к неподвижным стенкам пружинами жесткости и. К задаче 13.19 К задаче 13.18 В точке А подвешен математический маятник АВ массы гн и длины Г2, на который действует сила сопротивления — От, где ч — абсолютная скорость точки В.
ГГостроить электрическую цепь, моделируюшую малые колебания системы, считая, что ее движение происходит только в вертикальной плоскости вблизи положения у = у = О. 13.20. Составить электрический контур, моделирующий движение изображенной на рисунке механической системы, приняв в качестве обобщенных координат д1 = (х1+ х2) /2 и 02 = (х1 — х2) /2.
хз К задаче 13.21 К задаче 13.20 13.21. Составить электрический контур, моделирующий крутильные колебания изображенной на рисунке механической системы, приняв в качестве обобщенных координат д1 = (~91+ д2)/2 и д2 = = (91 - 9 )!2 К задаче 13.22 13.22. Система из п одинаковых масс т (см.
рисунок), соединенных пружинами жесткости Й, представляет собой механический 3 13. Элентролгеханичеение аналогии 13Э фильтр продольных колебаний. Построить электрический аналог этого фильтра. 13.23. Пользуясь электромеханическими аналогиями, построить контур, моделируюгпий движение линейной модели четырехатомной тз т4 1гг йг йг К задаче 13.23 молекулы (см. рисунок). Модель представляет собой систему четырех точечных масс тп1, тз, тз, те (т1 = т4 = т, т2 = тз = рт), насаженных на гладкий горизонтальный стержень и соединен- ных пружинами жесткости 1г1, йз, Йз (й1 = йз = й, йг = г7й). 13.24.
Четыре одинаковые точечй ные массы т (см. рисунок), связанные одинаковыми пружинами жесткости й каждая, могут скользить по гладкому т т неподвижному горизонтальному кольцу. Построить электрическую цепь, моделирующую движение системы. 13.25. Решить предыдущую зада- 1г 1г чу для случая п одинаковых масс, связанных п одинаковыми пружинами. 13.26.
Построить электрический К задаче 13.24 аналог пружины, состоящей из двух последовательно соединенных участков с жесткостями к1 и 1е2. Ис- пользуя выражение для эквивалентной жесткости пружины (см. за- дачу 7.11), получить выражение для емкости эквивалентного конден- сатора. Рассмотреть аналогичную задачу для случая параллельно соединенных пружин. 13.27. Используя электромеханические аналогии, построить кон- тур, моделирующий малые поперечные колебания упругой нити, а а а а несущей п одинаковых точечных масс (см.
рисунок). 13.28. Используя электромеханические аналогии, построить кон- К задаче 13.27 тур, моделирующий движение системы из пяти одинаковых цилиндров массы т и радиуса т (см. рису- нок). Центры цилиндров движутся по вертикали: нити по цилиндрам пе скользят. 2.
А налитичеекал механики 130 13.29. Точка А переменной массы т = гп(1) (см. рисунок) движется вдоль оси Ох под действием силы г", направленной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию до центра с коэффициентом пропорциональности к. Относительная скорость т(1) К задаче 13.20 К задаче 13.28 отсоединяющихся масс постоянна и равна и, причем отсоединяющиеся частицы вылетают в направлении, противоположном положительному направлению оси Ох. Используя злектромеканические аналогии, найти такие законы изменения расстояния д = е1(г) между пластинами конденсатора и электродвижущей силы Е = Е(3), чтобы контур, изображенный на рисунке, моделировал указанное движение точки переменной массы.
Площадь пластин конденсатора равна зо. 13.30. Составить уравнения движения электромеханической системы, изображенной на рисунке. Длина пружины в недеформированном состоянии равна 1, ее жесткость равна к, масса подвижной пластины равна т. Когда пружина недеформирована, расстояние между подвижной и неподвижной пластинами конденсатора равно а, а его емкость равна С1. с, а+1 т К задаче 13.30 К задаче 13.31 13.31. В униполярном генераторе (см. рисунок), предложенном в 1831 г. фарадеем, при приложении аксиального магнитного поля Н между центром и наружным краем вращающегося металлического 3 13. Электролгсяаничесние аналогии диска возникает напряжение 1' = п1ш, пропорциональное току г и угловой скорости диска сь Составить уравнения динамики генератора.
Момент инерции диска равен г, омическое сопротивление генератора равно Л, индуктивность 1,. 13.32. Доказать теорему Эйлера: число независимых контуров линейной электрической цепи равно п = гт' — М + 1, где М вЂ” число узлов схемы (узлом называется точка схемы, при вырезании которой приходится разрывать не менее трех проводников), а Ю общее число соединений между узлами ) .
13.33. Найти число степеней свободы электрической схемы (см. рисунок), проводники которой образуют пространственное соединение в форме куба и тетраэдра. К задаче 13.33 13.34. Пользуясь электромеханическими аналогиями, составить уравнения состояния электрической схемы, узлы которой находятся в вершинах: а) тетраэдра, б) куба.
Каждый участок цепи между вершинами содержит одинаковые индуктивности Л, емкости С и сопротивления Й. 13.35. Дана электрическая схема, состоящая из п независимых контуров, в каждом из которых может содержаться индуктивность Ь;, емкость С„омическое сопротивление й; и источник переменного напряжения бе(1) (г = 1, п).
Если у г-го и 1-го контуров имеется общий участок цени, то он может содержать индуктивность Ьг. = 1 г;, емкость С, . = С ч и омическое сопротивление йе = йгч При наличии взаимной индукции между г-м и 3-м контурами соответствующий коэффициент равен М11 = М 1, Пользуясь электромеханическими аналогиями, выписать выражения для функции Лагранжа ь, функции Релея гс и для непотенциальных обобщенных О,*. ~) Строгое определение получается ори использовании теории графов, когда каждой схеме ставится в соответствие ее граф соединений.
В этом случае М— число вершин графа и Х вЂ” число его ребер. 2. А налитичеенаа .иеханина 142 й 14. Условия равновесия 14.1. Существует ли положение равновесия системы из Ю материальных точек, взаимодействующих по закону всемирного тяготения? 14.2. Материальная точка может двигаться без трения по поверхности ~(х, р, з) = 0 под действием силы т' = ( — на, — ну, — нг1.
Какой должна быть функция ('(т, у, з) для того, чтобы каждая точка поверхности могла быть положением равновесия? 14.3. Приспособление для экспериментального определения коэффициента трения состоит из обруча (см. рисунок), расположенного в вертикальной плоскости, и шайбы, насаженной на обруч. Найти связь между коэффициентом трения 1' и паиболыпим углом у, при котором отпущенная без начальной скорости шайба остается в равновесии. 14.4. Найти положение равновесия тяжелой точки массы т, которая может двигаться без трения по винтовой линии на круговом цилиндре с вертикальной осью Ою Точка притягивается одной из точек оси Оз силой, пропорциональной расстоянию между ними. Коэффициент пропорциональности равен и.
К задаче 14.3 К задаче 14.5 14.5. Найти деформации пружин в положении равновесия системы масс, изображенной на рисунке. 14.6. Материальные точки Ао, Ап А2,..., А„массы т каждая (см. рисунок) последовательно соединены одна с другой невесомыми стержнями одинаковой длины.
Вся система расположена в вертикальной плоскости. Первая точка Ао неподвижно закреплена и занимает наивысшее положение, а на последшою точку А„действует з 14. Условия равновесия постоянная горизонтальная сила Я. Найти углы <р1, днз,..., <р„, которые образуют стержни с вертикалью в положении равновесия. 14.7. Цепь, состоящая из п одинаковых однородных стержней массы ш каждый, подвешена в вертикальной плоскости. Стержни соединены друг с другом с помощью шарниров. Один конец Ае этой системы неподвижно закреплен, а на второй действует по- еч А~ стоянная горизонтальная сила 1,) А, (см. рис.
к задаче 14.6). Найти углы тз ~91, <рв,..., ун, которые образуют стержни с вертикалью в положении равновесия. 14.8. Две одинаковые тяжелые К задаче 14.6 пластины массы т каждая (см. рисунок) заряжены зарядами д и — д соответственно. Пластины прикреплены к неподвижным опорам с помощью одинаковых непроводящих пружин жесткости Й каждая и могут совершать движение по вертикали.
В положении, когда пружины ненапряжены, расстояние между пластинами равно д, а емкость образованного ими конденсатора в этот момент равна С. Найти положение равновесия системы. Аз а К задаче 14.8 К задаче 14.9 14.9. Одинаковые гладкие пластины длины а (см. рисунок) укладываются одна на другую, как показано на рисунке. Найти максимальную длину «пролетав 1 (как функцию числа пластин п), при которой система остается в положении равновесия. 14.10. Используя принцип возможных перемещений, доказать, что равенство нулю главного вектора 1ь и главного момента Мо сил, действующих на твердое тело, является необходимым и достаточным условием равновесия свободного твердого тела.
14.11. Балка несет распределенную нагрузку д(л). Из принципа виртуальных перемещений получить дифференциальные соотношения, связывающие изгибающий момент ЛХ(в), перерезывающую силу фл) и нагрузку в каждом сечении балки. 2. А иааитичееааа зчехаиииа 144 14.12. На изготовление фермы идет наименьшее количество материала в том случае, если в каждом сечении изгибающий момент фермы равен нулю. Найти наивыгоднейшую в этом смысле форму фермы, если распределенная нагрузка, отнесенная к единице длины горизонтальной проекции фермы, постоянна. Длина фермы равна 21, ее высота и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
