Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Найти также первый интеграл системы. 2. Ан литичеенаа лееханина 132 12.101. Материальная точка В массы т соединена с неподвижной точкой О двумя невесомыми стержнями ОА и АВ длины 1 каждый. Точка может совершать движение в вертикальной плоскости. К задаче 12.99 К задаче 12.101 Плоскость равномерно вращается с угловой скоростью ее вокруг вертикальной оси, проходящей через точку подвеса О. В точке соединения стержней А имеется пружина жесткости кручения с. Пружина нс напряжена, если стержни образуют прямую линию (<р = у). Составить уравнения Лагранжа. 12.102.
Материальная точка массы т может двигаться по гладкой горизонтальной плоскости П, вращающейся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью, изменяющейся по заданному закону еа = = се11). Составить уравнения Лагранжа для движения точки относительно плоскости П. 12.103. Два небесных тела Т и Я, находящиеся на постоянном расстоянии друг от друга, движутся по круговым орбитам радиусов г~ и гз в одной плоскости вокруг общего ценз тра масс.
Угловая скорость вращения прямой, м ЯР' соединяющей тела, постоянна и равна ее. Со- , ' 3 р(з,шз)етаВИтЬ В фОрМЕ ЛаГраНжа ураВНЕНИя дВИжвния космического аппарата Р массы т относительно этих небесных тел, считая, что влияние аппарата на движение тел пренебрежимо мало. Ж Массы тел равны т1 и т2 (т1 » т, тз » т). 10граниченная задача трех тел.) К задаче 12.103 12.104. В задаче 12.27 составить уравнения Лагранжа при наличии трения скольжения между брусом и плоскостью скольжения (коэффициент трения равен 1).
12.105. Кривошип, несущий две шестеренки одинакового радиуса, может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через центр О первой шестеренки. Шестеренки находятся в зацеплении друг с другом. Первая шестеренка вращается я 12. Урввненгга Ангра жа 133 с постоянным угловым ускорением. Показать, что движение системы эквивалентно движению маятника с потенциалом П = — Асоягр — Вгр, где А =сопя1, В =сопя1. К задаче 12.105 К задаче 12.106 12.106.
Составить уравнения Лагранжа системы, состоящей из двух одинаковых масс, соединенных между собой невесомым стержнем А В длины 1 . Расстояние от точки А стержня до точки подвеса 0 изменяется по закону 1 = 1(1). 12.107. Составить уравнения движения плоского математического маятника, длина которого меняется по закону 1 = 1(1), в форме уравнений Лагранжа. 12.108.
Как нужно менять длину маятника 1 = 1(1) в условиях задачи 12.107, чтобы угол ~р менялся по закону гр = гр(1) (ф ) О). 12.109. Длина 1 плоского математического маятника меняется в зависимости от угла гр отклонения маятника от вертикали по закону 1 = 1(~р). Составить уравнение Лагранжа и найти его первый интеграл. 12.110.
Маятник массы т переменной длины 1, где 1 = 1(1)-- заданная функция времени, совершает движение в среде с сопротивлением. Найти обобщенную силу Щ соответствующую координате гр, если сила сопротивления Г = -"ргг, где ч абсолютная скорость точки т. 12.111.
Показать, что система с лагранжианом Ь= агс18 — — 1п[(х+ух) +ее х ] х+тх х+тх 1 ° 2 2 2 ОЭХ егх 2 (у и ев размерные коэффициенты) эквивалентна линейному осциллятору с вязким трепнем, движение которого описывается уравнением х+2ух+(72+аз~)х = О. 2. Ан литииеенал ллеханина 12.112. Рассмотрим диссипативпую механическую систему с кит 1. петической энергией Т = — д'Ад, функцией Рэлея В = — д'Вд, по- 2 2 т теициэльной энергией П = — д'Сд, где А, В, С - постоянные сим- метрические матрицы. Матрицы А и В связаны равенством В = лА, где Х постоянная.
Показать, что при надлежащем выборе функции д дЛ Лагранжа Ь уравнения движения можно записать в форме — —, <Й дд; дб — =0 (г=1, п). дд, 12.113. Механическая система описывается функциями Т = т ° 1 т ° 1 т =- — д'Ад, П = — д'Сд, В = — дтВд, Показать, что если симметри- ческие матрицы А и В коммутируют, т.е. АВ = ВА, и ВА эС = = СА 'В, то существует функция Лагранжа 1,(д д е) дт'( цйл ВА)д (еетзА ВС)д 3 13. Электромеханические аналогии 13.1. Как определяется число степеней свободы в системе связанных электрических контуров? 13.2. Обсудить аналогию между законом Кирхгофа для замкнутой электрической цепи и принципом Даламбера в механике.
13.3. Выяснить, что может служить механическим аналогом электрического трансформатора. 13.4. Пользуясь электромеханическими аналогиями, составить уравнения состояния изображенных иа рисунках контуров. 13.5. Три пластины образуют последовательное соедииение двух конденсаторов перемеипой емкости. Средняя пластина неподвижная, верхняя массы ты подвешенная иа пружине жесткости йы и нижняя массы пе2, подпертая пружиной жесткости Й2, соединены иепроводящей пружиной жесткости Йз и могут перемещаться по вертикали.
Конденсаторы включены в электрический контур, содержащий кроме иих элементы е(~), В, В и Со. Составить уравнение состояния системы, если в положении равновесия верхпяя пружина растянута, а средняя и нижняя сжаты (их деформации равны Ьм Ь2 и елз соответствеиио), расстояния между пластинами в этом положении составляют а1 и а2, а емкости конденсаторов равны С1 и С2.
13.6. Точка 01 подвеса математического маятника длины е совершает горизонтальные колебания с частотой еа и амплитудой А. 3 13. Элеитдолгеханичееиие аналогии 135 Построить электрический контур, моделирующий малые колебания маятника. 13.7. Два одинаковых математических маятника связаны между собой пружиной жесткости к.
Маятники подвегпены на стержне А В, б йз К задаче 13.4 который совершает горизонтальные колебания с частотой из и амплитудой А. Построить электрический контур, моделирующий малые колебания маятников. Рассмотреть также систему из п маятников. 13.8. Цилиндр массы М (см. рисунок) может скользить без трения по горизонтальной направляющей.
В цилиндре может скользить поршень массы т. ПространМ— ство между стенками цилиндра т и поршнем заполнено вязкой жидкостью (коэффициент вязкости равен р). Цилиндр и поршень соединены с неподвижными стешсами пружинами жесткости 1е. Построить электрическую цепь, моделирующую движение системы. 2.
Ан литичеенаа.иеханина 13.9. В электрической цепи, изображенной на рисунке, подобрать емкость Сш и взаимную индукцию аХ так, чтобы емкостная и индуктивная связи между контурами взаимно компенсировались, т.е. чтобы в форме, разрешенной относительно старших производных, уравнения состояния системы представляли собой два независимых уравнения. К задаче 13АО К задаче 13.9 13.10.
Пользуясь электромеханическими аналогиями, составить уравнения состояния электрической цепи, изображенной на рисунке. Показать, что для этой цепи можно так ввести функцию Лагранжа Е = Е(д, д, 1), что уравнения состояния можно записать как уравнения Лагранжа вида иааф Ы вЂ” — — — = О. еИ д9з д9; 13.11. Механическая система, у которой координата 92 является циклической, имеет функцию Лагранжа Е = (т1/2)д1~+(т2/2)д2~— — (й/2)д2. Составить электрический контур, моделирующий движение этой системы. 13.12.
Построить электрический контур, моделирующий падение парашютиста по вертикали в однородном поле тяжести. Силу сопротивления считать пропорциональной первой степени скорости. 13.13. Найти электрический контур, моделирующий изменение угловой скорости ез турбины, если управляющее устройство создает момент ЛХ = — а(ез — изо), где се текущее значение угловой скорости, езо заданное (в соответствии с целью регулирования) значение угловой скорости, а -- постоянная величина. Момент инерции турбины относительно оси вращения равен Х. Силами сопротивления пренебречь. 13.14. Установка Зоммерфельда (см.
рисунок) для изучения вынужденных колебаний состоит из платформы, подвешенной на одинаковых упругих нитях общей жесткости и, и мотора, закрепленного на платформе (общая масса мотора и платформы равна ЛХ). На вращающийся с постоянной угловой скоростью се вал мотора насажен невесомый стержень длины l, свободный конец которого несет 3 13. Электрогаеканичеекие аналогии 137 точечную массу т. Построить электрический контур, моделирующий работу установки. К задаче 13.15 К задаче 13.14 13.15. На груз А массы т1 (см. рисунок), подвешенный к неподвижной точке О на пружине жесткости й~ действует вертикальная сила Р' = г'(1).
К грузу А на пружине жесткости кз подвешен груз В массы тэ, испытывающий сопротивление жидкости, пропорциональное первой степени скорости (коэффициент пропорциональности 6). Построить электрический контур, моделирующий движение этой механической системы. 13.16. Доска массы И (см. рисунок) скользит вдоль горизонтальных направляющих под действием силы г'(е), испытывая сопротивление, пропорциональное первой степени скорости (коэффициент К задаче 13.16 пропорциональности 6).
По доске катится без проскальзывания однородный цилиндр радиуса г и массы т. Построить электрическую цепь, моделирующую движение этой механической системы. 13.17. Построить электрическую цепь, моделирующую малые колебания двойного математического маятника. 13. 18. Два плоских математических маятника массы т и длины / каждый (см. рисунок) соединены невесомой пружиной жесткости 1е прикрепленной концами к стержням маятников на расстоянии а от точек их подвеса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
