Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Предполагая функцию Л(х) достаточно гладкой, показать, что равновесие х = а будет устойчиво в том и только в том случае, если па фвзовой 2 16. Малые колебания консервативных систем 155 плоскости (ш, т) существует замкнутая траектория, содержащая точку (а, О) внутри себя. 16.24. В условиях задачи 14.36 исследовать устойчивость положений относительного равновесия колечка. 3 16.
Малые колебания консервативных систем 16.1. Зависят ли собственные частоты малых колебаний консервативной системы вблизи устойчивого положения равновесия от выбора обобщенных координат (переход от одних координат к другим осуществляется при помощи стационарного преобразования)? 16.2. Объяснить, почему в консервативной системе с двумя степенями свободы, у которой 'Г = (д1~+ д22) 72 и П = (у~4+ у~4) 74, лишена смысла задача о малых колебаниях и необходимо исследовать нелинейные колебания.
1 16.3. В выражениях кинетической Т = — ~ аеодедв и потенци- 2 1,к=1 и альной П = —, ~ сена,с15 энергий консервативной системы коэффи- 2 е,а=1 циенты постоянны и связаны равенствами сев = Хаев (2, Й = 1, и ), где Х вЂ” положительное число. Показать, что в этой системе возможны колебания лишь с одной частотой о7 = з/Х.
16.4. Механическая система с п степенями свободы совершает малые колебания. Определить собственную частоту о7н, если известны собственные частоты са1, саз,..., о2„1 и определители 71Ы А и с!еФ С матриц коэффициентов кинетической и потенциальной энергий. 16.6. Вековое уравнение асан+ а11н 1+... + а„11+ а„= О (Х = = о22) малых колебаний некоторой консервативной системы имеет два различных корня 11 и 12 кратности Й и п — Й соответственно.
Показать, что Х1 и 12 удовлетворяют уравнениям а1Й+ (и — Й) — 1 = — -, а2(71 — й) + й !а„! !а1! ! а, ! ! а.1 ! ~(! „!7.," !ао!Х2 !ао! 16.6. Показать, что амплитудные векторы и . и па, соответствующие различным собственным частотам малых колебаний консервативной системы, линейно независимы. 16.7.
Собственным частотам малых колебаний консервативной системы о7 ~ та соответствУют амплитУДныс вектоРы и и пы Показать, что векторы и и па ортогонвльны, если скалярное произ- !56 2. А налигиичеекал механика ведение определить следующим образом: (х, у) = 2, 'а;йх,уй, где г,й=! А = (пей),", - матрица кинетической энергии системы. и 16.8. Кинетическая Т = — 2 пейг)ег!й и потенциальная П = 2 г,й=! и 2, еейгьпй энергии некоторой консервативной системы пред- 2 г,й=! ставляют собой положительно определенные квадратичные формы с постоянными коэффициентами. Свойства симметрии этой систе- МЫ ПОЗВОЛЯЮТ НайтИ аМПЛИтУДНЫЕ ВЕКТОРЫ П!, П2,..., П,и (т ( П).
Найти соответствующие собственные частоты системы, не решая векового уравнения. 16.9. Консервативная система, у которой кинетическая Т = гг и — пгйг),г)й и потенциальная П = — 2 сейдедй энергии пред- 2. г,й=! г г,й=! ставляют собой положительно определенные квадратичные формы с постоянными коэффициентами, имеет собственные частоты р!г Рз ....., Ри н амплнтУдные вектоРы пй, пз,..., пи.
Найти собственные частоты ю! и амплитудные векторы гг! консервативной системы с кии , а и нетической Т = — 2, а!йе)ег)й и потенциальной П = — 2 аейд,уй+ 2. г,й=! 2 г,й=! ~г и + — 2, с, й г1; дй энергиями. г,й=! 16.10. Материальная точка А массы т, которая может скользить по гладкой горизонтальной направляющей у = а, притягивается к началу координат О силой с потенциалом П = П(г), где г = ОА. Найти период малых колебаний точки в окрестности устойчивого положения равновесия х = О, у = а. 16.11. В Земле прорыта прямолинейная сквозная шахта, в которой движется без сопротивления материальная точка.
Доказать, что период Т колебаний точки, опущенной с поверхности Земли с нулевой начальной скоростью, равен периоду маятника Шулера, т.е. Т вЂ” 84 мип. (Маятником 1Пулера называют такой математический маятник, длина которого равна радиусу Земли.) 16.12. Неоднородный диск радиуса Л и массы И (см. рисунок), центр масс С которого расположен на расстоянии а от его геометрического центра О, может катиться без проскальзывания по горизонтальной направляющей.
Момент инерции диска относительно осиг перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр 5 16. Малые колебания консервативных систем 157 масс, равен 1. Найти малые колебания системы около устойчивого положения равновесия. К задаче 16.13 К задаче 16.12 16.13. Обруч массы М и радиуса Л (см, рисунок) может качаться в вертикальной плоскости, опираясь на неподвижный цилиндр радиуса г; проскальзывание между цилиндром и обручем отсутствует. Показать, что период малых колебаний обруча будет совпадать с периодом колебаний математического маятника длины 2(Л вЂ” г).
16.14. Точка подвеса математического маятника длины 1 движется по горизонтальной прямой по закону з = а12/2. Найти малые колебания маятника в системе отсчета, поступательно движущейся вместе с точкой подвеса. 16.15. Тяжелое колечко массы т может скользить по неподвиж- , 2 ному гладкому проволочному эллипсу, задаваемому уравнением з + а + —, = 1, ось Оу которого вертикальна. Найти малые колебания У Ь колечка около устойчивого положения равновесия.
16.16. Тяжелое колечко массы т может скользить по гладкому У, Д проволочному эллипсу —., + — = 1, вращающемуся с постоянной угловой скоростью св вокруг вертикальной оси Ой. Найти малые колебания колечка около устойчивого положения относительного равновесия. 16.17. Тяжелое колечко массы т может скользить по гладкой проволочной параболе й = х~,1(2)) (ось Од направлена вертикально вверх). Показать, что период малых колебаний колечка вблизи положения равновесия совпадает с периодом математического маятника длины 1.
16.18. В гладкой горизонтальной трубке (см. рисунок), вращающейся с постоянной угловой скоростью св вокруг вертикальной оси Ох, находится шарик массы т, связанный с осью невесомой 9 16. Малые колебания консервативных систем 159 расстояние до точки О.
Найти частоту малых колебаний гантели вблизи ее устойчивого положения равновесия. 16.23. Бусинка массы т, которая может двигаться по гладкой проволочной прямой А В, притягивается точками бесконечно тонкой однородной окружности радиуса В и массы ЛХ. Центр окружности лежит на прямой АВ, а ее плоскость перпендикулярна этой прямой. Силы притяжения подчиняются закону Ньютона: Г, = — 'врет(т, 2 где р, масса элемента окружности. Найти частоту малых колебаний бусинки.
16.24. Внешняя ось рамки деклинометрического гироскопа (А = = В ф С, С11 = Н), установленного на географической широте ср, направлена по вертикали (см. рисунок). Момент инерции рамки относительно внешней оси равен 1. Найти малые колебания оси ротора гироскопа около направления на север. Угловая скорость вращения Земли равна вз. ызз|ве Восток созе ер ыз сов т Север К задаче 16.24 К задаче 16.25 16.25. Внешняя ось рамки инклинометрического гироскопа (А = = В ф С, Сй = Н), изображенного на рисунке, установлена горизонтально в направлении «восток-запад» на географической широте ср. Момент инерции рамки относительно внешней оси равен /.
Найти малые колебания оси ротора гироскопа относительно положения равновесия. Угловая скорость вращения Земли равна гоз. 16.26. Шарик массы т (см. рисунок), подвешенный на пружине жесткости с, во время движения может ударяться о преграду, как показано на рисунке. Расстояние от преграды до положения равновесия шарика равно Ь. Считая удар абсолютно упругим, найти частоту колебаний шарика. Рассмотреть картину движения шарика на фазовой плоскости (х,х). 2.
Аналитическая механика 160 16.27. Решить предыдущую задачу в предположении, что шарик может двигаться между двумя преградами, как показано на рисунке. Расстояния от положения равновесия шарика до преград равны )с1 и )с2. 16.28. Груз массы т (см, рису- вяга п~ нок) может двигаться по гладкой гори— с зонталыюй направляющей. Две пру- жины жесткости с1 и с2, прикреплен- т т ные к стенкам в точках А и В, имеют в недсформированном состоянии длины 11 и 12 соответственно, 11+ 12 < Л В = с. С ° с .г.
,.ск ° К задаче 16.26 К задаче 16.27 груза с пружинами определяется при- веденным графиком. Пренебрегая размерами груза, найти период его колебаний и изобразить траекторию движения на фазовой плоскости. 16.29. Обращенный математический маятник массы пз и длины 1 (см. рисунок) может совершать колебания между преградами, образующими с вертикалью Оз малый угол а.
Считая удар о преграду абсолютно упругим, найти приближенное значение периода колебаний маятника. Г) К задаче 16.28 К задаче 16.29 16.30. Математический маятник массы т и длины 1 1см. рисунок) может совершать колебания между двумя вертикальными стенками, причем расстояния Л1 и Ь2 между точкой подвеса маятника и стенками удовлетворяют неравенству В1+ Л2 « В Считая удары абсолютно упругими, найти такое значение ср(0), чтобы при ~р(0) = 0 частота са = 10~ з) дД. 16.31. Однородный горизонтальный диск может поворачиваться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр О; момент инерции диска относительно этой оси равен ). В круговом 316.
вгалые колебания консервативных систем 161 желобе радиуса г с центром в точке О совершает малые колебания точка массы т, которая связана с диском лежащей в желобе пружиной жесткости с. Найти частоту колебаний точки и сравнить ее с частотой колебаний в случае неподвижно закрепленного диска. (Эффект ухода вперед карманных часов, помещенных на гладкий горизонтальный стол.) К задаче 16.32 К задаче 16.30 16.32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
