Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Найти малые колебания системы. Указание. Угловые перемещения точек искать в виде сря> = а ябп [г >31 + (г — 1)]31] я>п (в>1 + а), ср>и = Ь я>п (ф> + г >39) гйп (ю1 + а), >Оп [>[31 + (г' — 1) [39] = я>п [(г + и ) (31+ (г + п — 1) [31], г = 1, и,. 16. 91. Система из п, одинаковых математических маятников массы т и длины 1 (см. рисунок), связанных пружинами жесткости с, может совершать колебания в вертикальной плоскости. Пружины прикреплены к маятникам на расстоянии /г от точек подвеса; при вертикальном положении маятников пружины ненапряжены. Найти малые колебания системы.
К задаче 16.91 Указание. Решение искать в виде >р> = асов((2г — 1)>3>>2) я>п(е>1+ + а), г = О, п+ 1, >р„г 1 = ср„. 16.92. Решить предыдущую задачу в предположении. что левый маятник соединен пружиной с неподвижной стенкой. Указание. Решение искать в виде >р> = ая>п(г>3) я>п(а>1 + о>), г = = О, п+1, >р„е> = >р„.
16.93. Решить задачу 16.91 в предположении, что оба крайних маятника соединены пружинами с неподвижными стенками. Указание. Решение искать в виде >р> = ая>п(г>3) я>п(Ы+а), г = = О, п+ 1., >р„е> = О. 16.94. Невесомая упругая струна жесткости с и длины 1 с закрепленными концами несет и равноотстоящих одна от другой и от концов бусинок массы т каждая. Найти малые поперечные колебания системы.
Считать, что действующая па каждую бусинку возвращающая сила пропорциональна отклонению от положения равновесия. Указание. Отклонения искать в виде д; = ая>п(г9) я>пЫ, я>п(п+ +1)0 =0, г =1, п. 2. Аналитические механика 16.95. Используя решение задачи 16.94, предельным переходом и — р сю найти частоты струны линейной плотности р = ти(1 и жесткости с = Р'„(и+1)/1 (Р'„сила натяжения струны).
16.96. Упругая невесомая нить (см. рисунок), свободно подвешенная одним концом, несет и весомых равноотстоящих одна от другой бусинок массы т каждая (расстояние между соседними бусинками равно 1). Найти малые пох2 ° ая перечные колебания системы.
х1 ' 1 Указание. 2Кесткосты-го участка (отсчет от свободного конца) пропорциональна силе его натяжения в вертикальном положении равновесия нити. При решении воспользоваться рекуррентным соотношением для многочленов Чебьппева- Поссе: К задаче 16.96 (к — 1)16 2(р)+(р — 21+1)1ь 1(р)+'к1ь(р) =О, 16. 9 Т. Сохраняя условия предыдущей задачи и считая жесткость нити равной к, найти малые продольные колебания системы. р (21 — 1) ~р1 Указание. Решение искать в виде х; = х;9+ асов ~, ~ х 2 /2п+1 хяп(Ы+а), 1=0, и+1, соз~, <р) =О.
16.98. Найти малые колебания сложного математического маят- ника, состоящего из и последовательно подвешенных один к другому простых математических маятников длины 1 каждый. Указание. Угол поворота 1-го маятника (отсчет от свободного конца) равен 69 — япу, = (х,— — х, г1)/1. При определении амплитуды в решении х, = и; яп (ез1+ а) воспользоваться рекуррентным соотношением для многочленов Чсбьппева — Поссе. (См.
указание к задаче 16.96.) 16.99. Материальные точки одинаковой массы (см. рисунок), которые могут двигаться по поверхности прямого кругового цилиндра, соедине- К задаче 16.99 ны пружинами таким образом, что образуют сеть, охватывающую цилиндр и состоящую из т слоев по и точек в каждом слое. Ячейки сети представляют собой произвольные четырех- 116.
Малые колебания консервативных систем угольники; жесткости пружин в двух направлениях равны Й1 и Й2 соответственно. Найти малые колебания системы. Указание. В цилиндрических координатах решение искать в виде 21 — 1 . Аяп(в1+и) 16.100. Решить предыдущую задачу в предположении, что верхний слой материальных точек соединен пружинами жесткости Й1 с неподвижной направляющей цилиндра. 16.101. Решить задачу 16.99 в предположении, что верхний и нижний слои материальных точек соединены пружинами жесткости Й< с неподвижной направляющей цилиндра.
16.102. Неподвижный параллелепипед (см. рисунок) заполнен материальными точками, которые связаны пружинами таким образом, что образуется объемная решетка, причем в положении равновесия ячейки решетки представ- г,з,й+1 ляют собой произвольные шестигранники. Материальные точки переднего и заднего слоев (вдоль оси Ох) и левого бокового слоя 61$-1,й (вдоль оси Оу) связаны пружина- йз,ь ми с соответствующими гранями параллепипеда;материальные точ- ЦЗ,к — 1 ки верхнего и нижнего слоев (вдоль оси Ох) и правого бокового <лоя (вдоль оси Оу) со стенками пе свя- К задаче 16.102 заны. Жесткости пружин, параллельных осям Ох, Оу, Ох, равны к1, к2 и кз, число слоев вдоль осей Ох, Оу, Ох составляет п„пю и, соответственно. Найти малые колебания системы. Указание. Отклонения точек от положений равновесия искать в виде с х]; „; ~Аз|и(в1+и)] у~ =япе<ряпу<рсое ~ 0 ] ~В$<п(Ы+6)~, С яп (в1+ у) 1=0,п +1, Й=О,п,+1, — 0~ ну+ 1~ $<п((п +1)<р] = О, $<п((п, +1)<р] =$<п(пр<р), сов 2 0 = соз 2 0 2.
А налитичеекоя механика 176 16.103. Колебательная система имеет собственные частоты со!г огз,..., огн. Как изменятся собственные частоты, если на систему наложить связь, уравнение которой имеет вид аО! + 602 = О, где 0! и 02 нормальные координаты, а и 6 " постоянные числа (координатам О ! и 02 соответствуют частоты ог! и со2)? 16.104. Найти все частоты главных колебаний консервативной и системы кинетическая энергия которой 7" = — ~„а!6Ч!Чь является 2 г, Iг=! положительно определенной квадратичной формой, а потенциальная Х и энергия записывается в виде П = — ~ агьЧ,Чь+ — ~ 6,6ьЧ,Чы где 2.
' ' 2 гця=! г2к=! Х ) О, аон 6;, 6ь — постоянные величины. 16.105. Из наблюдений пад малыми колебаниями механической системы были найдены ее собс"гвенные частоты го!, гоз,..., оги !го; ф ~ ю., г, !' = 1, и) и амплитудные векторы и!, п2,..., и„. Найти вид матриц А и С, составленных из коэффициентов в выражениях кинетической и потенциальной энергпйг т. е. решить задачу идентификации системы по результатам наблюдений. 1 16.106.
Кинетическая 7' = — 2 , 'аггЧ!Чь, и потенциальная П = г1ь=! н ! п агьЧгЧь+ — ~ 6гсьЧ2Чь энергии консервативной системы 2 ' 2. ,,ь=! г,а=! являются положительно определенными квадратичными формами с постоянными коэффициентами. Доказать, что эта система имеет собственные частоты со!, со2 г соз =... = ог„= 1, гДе со! и со2 опРеДелЯ- ются из соотношений ю~!ю~~=й~-"бе! Е+-А-~ВС'+-А-~СВ' 2 2 со2!+со2 2—— 2Й~+.-!г(А !ВС'+А !СВ'), 1 В и С .- векторы-столбцы с компонентами 6, и с, соответственно, а 1~0 = 2. г?2!. г=! 16.107. Кинетическая энергия гироскопической системы представляет собой положительно определенную квадратичную форму 1 2. — а,ьЧ;Чь с постоянными коэффициентами а;ы а обобщенные г,!г=! 116. Малне колебания конеервативннх систем и силы определяются соотношениями (~, = 2 б,ьдю где Ь,ь = — бы в=1 постоянные величины.
Найти движение системы. Указание. При решении учесть, что всякая кососимметрическая матрица В с помощью ортогонального преобразования с матрицей (и,ь),"ь г может быть приведена к виду в в, з1 где Ву = ~ 0~ ), причем и действительные числа. ~ гу 16.108. При исследовании малых колебаний вблизи устойчивого положения, равновесия консервативной системы с кинетической и энергией Т = — 2 а;ьд,дь были найдены собственные частоты еве 2.
ць=1 (ви ~ ю", г, 1 = 1, п ) и соответствующие им амплитудные векторы п~, пе,..., и". Найти произвольные постоянные В и С в общем решении задачи о малых колебаниях «1= ~ Вупбзш(ев.~)+ ~ Супе сов(евф по заданным начальным условиям о;(О) = ф, д;(О) = ~);, 1 = 1, и. 16.109. Материальная точка массы т подвешена на упругой нити жесткости с. В положении равновесия точке сообщается скорость ио в вертикальном направлении.
Учитывая, что нить работает на растяжение, найти период кпаебаний точки. 16.110. Стержень ИЮ массы 2т и длины 21 (см. рисунок) может поворачиваться вокруг своего неподвижного центра. Конец И стержня соединен с неподвижной стенкой АВ пружиной жесткости 2с. Масса т, которая может двигаться в направлении, перпендикулярном к А В, соединена с концом Ю стержня и стенкой А В одинаковыми пружинами жесткости с каждая. Решить задачу о малых колебаниях системы, если опа расположена в горизонтальной плоскости.
2. А налитичеекал механика 178 16.111. Найти малые колебания двойного математического маятника, изображенного на рисунке. К задаче 16Л11 К задаче 16.110 16.112. Найти малые колебания двойного маятника, состоящего из двух однородных стержней массы т и длины ! каждый (см. рис. к задаче 16.111.). й 17. Движение диссипативных систем 17.1.
Внутри горизонтальной шероховатой трубки (см. рисунок), вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью из, может перемещаться шарик массы т, скрепленный пружиной жесткости с с концом трубки О, Лрн недеформированной К задаче 17.2 К задаче 17.1 пружине центр шарика находится на оси вращения. Пренебрегая действием силы тяжести, найти условия, при которых положение относительного равновесия шарика будет асимптотически устойчиво.
з 17. Дв жение диссииативния систем 179 17.2. Грузы массы т1 и тз (см. рисунок), связанные между собой и с неподвижными опорами пружинами, как показано на рисунке, могут перемещаться по вертикали, причем на один из грузов действует сила вязкого трения г" = — би ф > 0). Используя критерий Рауса — Гурвица, показать, что положение равновесия этой системы будет асимптотически устойчивым при любых с; и т;. 17.3. Можно ли решить предыдущую задачу, опираясь на теорему об асимптотической устойчивости определенно диссипативных систем? 17.4.
Прн каких значениях параметров с, и т, положение равновесия диссипативной системы, изображенной на рисунке, не будет асимптотически устойчивым, если трение между массами и направляющей отсутствует? К задаче 17.5 К задаче 17.4 17.5. При каких соотношениях между параметрами электрической цепи, изображенной на рисунке, в системе возможны незатухающие колебания, несмотря па наличие в среднем контуре омического сопротивления Л? 17.6. В системе, изображенной на рисунке, трение между грузами и направляющей АВ отсутствует и сила сопротивления, действующая на второй груз, равна — Ди, где и скорость этого груза. При каких значениях параметров с1, сво т1 и гпв положение равновесия системы не будет асимптотически устойчивым? К задаче 17.9 17.7. В системе, изображенной на рисунке, трение между грузами и направляющей АВ отсутствует и сила сопротивления, действующая на первый груз, равна — би, где и -- скорость этого груза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
