Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 33
Текст из файла (страница 33)
2. А накитичсскаа механика 180 Показать, что положение равновесия системы асимптотически устойчиво при любых значениях параметров сз ф О, т; ~ О, 6 > О. Показать также, что если сила сопротивления — Ое действует не на первый, а на Й-й груз (Й ф 1, Й ф п,), то при некотором подборе параметров с; ф О, тз ф О, 8 > 0 х положение равновесия пе будет асимптоти- с~ чески устойчивым. 17.8.
Система состоит нз и грузов с2 (см. рисунок), которые связаны между собой и с неподвижной опорой пружинами ! ! с с„ А К задаче 17.8 К задаче 17.7 жЕСтКОСтИ С4 И МОГУТ ПЕРЕМЕЩатЬСЯ ПО ВЕРтИКаЛИ. На ГРУЗ тн ДЕйствует сила вязкого трения Р' = — От Показать,что положение равновесия системы асимптотически устойчиво. 17.9. Годограф Михайлова многочлена 1(Л) степени п не проходит через нулевую точку, и Ь„":ес агя7(зсе) = йк/2, )Л) < и. 11айтн число корней этого многочлена с отрицательной вещественной частью. 17.10.
В следующих уравнениях при помощи годографа Михайлова найти число корней с отрицательной и с положительной действительной частью: а) Л4+ 6Лз+ 26Л2+ 46Л+ 65 0 б) Л4+6Л8+18Л2+ 24Л+16 = 0; в) Л4+Лв — 2Л2+4Л+2=0; г) Л4 + ЗЛ2 + 5Л2 + 12Л+ 4 = 0; д) Ле+5Л4+10Лз+11Л2+7Л+2 О. е) Ле+ ЗЛ4+ 6Лв+ 7Л2+ 5Л+ 2 = 0; ж) Ли+ 5Л4+12Лз+6Л2 8Л 16 0 з) Ль+2Л4 278 — Л2+6Л+2 =0; и) Ли+ 2Л4+2Лв+7Л2 44Л 4 О 17.11. В следующих задачах определить область устойчивости, т. е.
найти все значения параметров а и 8, при которых положение равновесия асимптотически устойчиво; а) х+х+х-ау=О, у+у — Ох+у=О; б) х+х+х-ау=О, у+Оу — х+у= О; е 17. Дв жение диссипативных систем в) х+х+х-ар=О, бр+у-х+у=О; г) х+х+х-ау = О, у-Ох+у =0: д) х+х+х-ад=О, бу — х+у=О. 17.12. В следующих задачах выяснить, является ли положение равновесия системы асимптотически устойчивым: а) х+х+х — у =О, у+2у — х =0; б) х+2х+Зх — д =О, д+2у — 2х = 0; в) Зх+4х+бх — бу=О, 2у+у — бх+бу=О; г) Зх+4х+бх — бу = О, 2д+у — бх+7у = 0; д)х+х-д=О,х+у+х=О.
17.13. Характеристическое уравнение линеаризованной системы па+ аз + 4а~+ 21+ 3+ й = 0 содержит параметр к. Используя годограф Михайлова, разбить ось значений параметра й на интервалы, в пределах которых число в корней уравнения с отрицательной действигельной частью не меняется. 17.14. Характеристическое уравнение линеаризованной системы г'(1) = 0(1) — ОК(7с) = 0 содержит параметр б. Многочлены 0(1) и К(а) имеют степени п и т ( п соответственно.
При б = 0 все п корней многочлена г(а) лежат слева от мнимой оси. При каких условиях многочлен г" (1) будет гурвицевым для б = — 1? (Критерий Найквиста.) 17.15. Массы ш, (г = 1, и) связаны между собой и с неподвижной опорой пружинами жесткости с, (см. рис. к задаче 17.8). На последнюю массу действует сила вязкого трения Г = — би (О > 0). Показать.
что те значения са, при которых годограф Михайлова 1 (есо) характеристического полинома системы д (а) пересекает мнимую ось, являются собственными частотами консервативной системы, в которую рассматриваемая система переходит в пределе при б — 1 О. 17.16. Уравнения Лагранжа механической системы имеют вид Ас3+Вс3+Сс3 = О, где А, В и С постоянные матрицы, причем А и С -- симметрические матрицы, отвечающие положительно определенным квадратичным формам, а  — диагональная матрица с элементами )311 = б > О, бп = 0 (г ф 1). Показать, что те значения св, при которых годограф Михайлова г(гса) характеристического полинома системы ?'(1) пересекает мнимую ось, являются собственными частотами консервативной системы, в которую рассматриваемая система переходит в пределе при б — 1 О.
17.17. Характеристическое уравнение линеаризованной системы 0(а) — ОК(1) = 0 с действительными коэффициентами содержит параметр б. Степень многочлена 0(а) вылив степени многочлена К(а). Какой смысл имеют граничные точки б* интервалов на оси (3, в пределах которых число корней уравнения с отрицательной действительной частью не меняется? 2. А налитииеекал механика 182 ~ (а йдй+6 йдй+сйдй) = О (г =1, п), й=1 где а;й = ай;, 6;й = 6й;, с,й = сй; постоянные величины. Показать, что положение равновесия д = О асимптотически устойчиво, если матрицы А=(а й)"й ы В = (6 й),"й „С = (с й),"й, являются матрицами положительно определенных квадратичных форм.
1 17.21. Кинетическая энергия системы Т = — ~ п,йд;дй, Ой=1 и потенциальная энергия П = — ~ сййд;дй и функция Релея Л = 2. г,й=1 п — 6;йд,дй являются положительно определенными квад- 2. Ой=1 ратичными формами (указанных переменных) с постоянными коэффициентами. Показать, что среднее значение кинетической Т и потенциальной П энергий равно нулю. 17.22.
Собственная частота линейного осциллятора равна еао. Найти частоту затухающих колебаний этого же осциллятора в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, если за п колебаний его амплитуда уменьшается в й раз. 17.23. Груз массы т (см. рисунок), прикрепленный пружиной жесткости с к стенке, может скользить по шероховатой направляющей Ох, причем коэффициент трения скольжения равен 1.
Диск радиуса Л и той же массы, центр которого прикреплен к стенке пружиной жесткости сы может катиться без проскальзывания по направляющей Огхь Коэффициент трения качения (плечо пары 17.18. Характеристическое уравнение линеаризованной системы Р(й) — рК(й) = О содержит параметр 8; Р(а) и К(а) заданные многочлены степени п и гп ( п соответственно, причем у полинома Р(1) коэффициент при 1" равен 1.
Как разбить ось 8 на интервалы, в пределах которых число корней характеристического уравнения с отрицательной действительной частью не меняется? 17.19. Считая число О предыдущей задаче комплексным, найти разбиение плоскости 8 на области, в пределах которых число корней уравнения с отрицательной действительной частью не меняется (Р- разбиение) . 17.20. В линейном приближении система уравнений движения некоторой механической системы имеет вид 3 17.
~[висесеиие диссипативиих систем 183 трения качения) диска равен а. Найти такие соотношения между параметрами с, с1, 1,?е и Л, чтобы центр инерции груза и центр инерции диска при одинаковых начальных условиях совершали одинаковые движения. К задаче 17.23 17.24. Однородный диск радиуса Л и массы т, центр которого прикреплен к стенке пружиной жесткости с, может катиться без проскальзывания по неподвижной направляющей, причем коэффициент трения качения (плечо пары трения качения) равен к. В начальный момент диск покоится и деформация пружины равна хо. Какой будет деформация пружины спустя время 11 = пяз,4т/с (и = 1, 2,...)? 17.25.
Движение осциллятора, помещенного в вязкую жидкость, описывается уравнением тх+ 6х+ сх = О. Найти такую положительно определенную функцию Ъ" (х, т) (функцию Ляпунова), чтобы на движениях осциллятора выполнялось равенство еЛ (х,х.) 1,2 2 = — — (тх +ох ) = — Е. ей 2 Указание. Функцию $' искать в классе квадратичных форм от х, х с неопределенными коэффициентами.
17.26. Цилиндр массы И может скользить без трения по горизонтальной направляющей Ох так, что образующая цилиндра во время движения совпадает с Ох. В цилиндре может двигаться поршень массы т. Пространство между стенками цилиндра и поршнем заполнено вязкой жидкостью (коэффициент вязкости равен 6). Цилиндр и поршень соединены с неподвижным стержнем пружинами жесткости с, как показано па рисунке к задаче 13.8.
Показать, что положение равновесия системы асимптотически устойчиво. 17.27. В соревнованиях по ориентированию на местности каждый участник ориентирует свой вектор скорости по направлению на заранее заданного участника. Значение скорости выбирается пропорциональным расстоянию между ними. В результате движение спортсменов будет описываться системой дифференциальных уравнений Г1 = сел(Г2 — Г1), Г2 = 12(Г3 — Г2),...,Г„= Хи(Г1 — Г„), ГДЕ КОНСГаитЫ 11 > О, г; радиус-векторы участников. Доказать, что действуя по такому алгоритму, участники за конечное время соберутся в круге 2. А налитичеекал механика 184 радиусаге)Осцентромвточкег= ',гдег, — радиус-вектор1- !~.ь' го участника в начальной позиции. 17.28. Динамическая система описывается уравнениями х1 = = п1(х2 х1) х2 = п2(хз х2) ° хп = пп,(х1 хп) где 111 л 0 постоянные действительные величины.
Показать, что всякое решение системы при 1 — + оо сходится к одному из положений равновесия вида х1 — — х2 —— ... — — х*„= а, где величина а зависит от начальных условий. (Алгоритм встречи в задаче на ориентирование.) 17.29. Используя критерий Михайлова, показать, что многочлен 1(Х) = П(Х+ае) — Па, при действительных положительных а, (з = 1 1 = 1, и) имеет один нулевой корень и (и — 1)-корень с отрицательной действительной частью. 17.30.
Движение склерономной системы в линейном приближении описывается уравнениями Ас1+ В11+ Сс1 = О, где матрицы А и С положительно определены, а симметрическая матрица В отвечает знакопостоянной квадратичной форме. Доказать, что равновесие системы 11 = 0 асимптотически устойчиво в том и только в том случае, если Вп, ~ О, з = 1, п, где п1, п2,..., и„-. совокупность амплитудных векторов, определяющих малые колебания консервативной системы Ас)+СО = О. 8 18.
Вынужденные колебания. Частотные характеристики 18.1. Перо сейсмографа (см. рисунок), регистрирующего колебания почвы (которые происходят по закону 1 81пр2), вычерчивает синусоиду с амплитудой Н и периодом 2л1р (см. рисунок). Длина стержня АВ = 1, расстояние АО = 6, масса т головки сейсмографа В, где находится перо, и жесткость с пружины известны. Пренебрегая массой стержня, определить амплитуду Л истинных колебаний почвы. 18.2. Решить предыдущую задачу, К задаче 18Л считая дополнительно, что сейсмограф работает под воздействием демпфирующего устройства, создающего сопротивление движению стержня А В, пропорциональное его угловой скорости. Момент сил сопротивления относительно точки А равен — Оса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
