Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Найти гамильтониан системы с функцией Лагранжа Ь = = г 2+11+19, ГДЕ 1 12 = — ~' а11(д,1)деда (аеь = ам), 61=1 110. Ууаапениа Гамильтона, Рауеа, Уиттенера и Якоби 201 19.38. Составить канонические уравнения малых колебаний консервативной системы с и степенями свободы, для которой кинетическая и потенциальная энергии представляют собой положительно определенные квадратичные формы с постоянными коэффициентами: 1 ", 1 Т = — У аей010й, П = — У' сейц10й (аей = айе,.сей = сы). Ой=1 1,й=1 19.39. Найти гамильтониан системы, лагранжиан которой равен 1 2 г,й=1 1=1 где аей = а1ч постоянные величины. Составить канонические уравнения движения и найти их реп1епие.
19.40. Показать, что в консервативной системе с лагранжианом и 1 и 1, = — ~ а, 0101 — — ~ ~с; 0101, 14=1 14=1 н н где асб = сопэ1, с; = сопэ1, ~ аейсйу =,1 сейайу 1г,,2 = 1, и), каор й=1 й=1 динаты и импульсы удовлетворяют одним и тем же уравнениям: '> (а1101+с1101) =О, Э (абр +се.р ) =О (1=1, и). 19.41. Натуральной механической системе соответствует функция Лагранжа Х !. = — 2 тес~ — П(г1,..., та, 1).
1=1 С помощью невырожденного точечного преобразования 01 = ~;(91, 1) (1, у = 1, и ) осуществляется переход от лагранжевых переменных ~01, 01, 1) к новым лагранжевым переменным 19., 9, Х). Найти соответствующую этому переходу связь обобщенных импульсов реу и р а. 19.42. Найти закон преобразования обобщенных импульсов, о котором говорилось в предыдущей задаче, при переходе от декартовых координат к координатам: а) цилиндрическим т, 1у, с: х = г сов д, у = = г яп 1р, с = г; б) сферическим г, ер, 9; х = тяп 9 сез ар, д = тяп 9 яп ер, г = гсоэ9. 2. Ан аитинеекаа механика 202 19.43.
Гамильтониан трехмерного апизотроппого осциллятора в декартовых координатах имеет вид Н = — (р +р„+р,)+ — (ах +69 +ух ). Используя решение задачи 19.41, найти гамильтопиан осциллятора в цилиндрических и сферических координатах. 19.44. Составить канонические уравнения Гамильтона для системы, представленной в задаче 16.37.
19.45. Показать, что движение консервативной системы с двумя степенями свободы и одной циклической координатой может быть найдено в квадратурах. 19.46. Составить канонические уравнения Гамильтона для системы, представленной в задаче 16.38. 19.47. Составить канонические уравнения Гамильтона для системы, представленной в задаче 16.40. 19.48. Составить канонические уравнения Гамильтона для системы, представленной в задаче 16.41. 19.49. Система имеет функцию Гамильтона Н(у,, р,, 1), причем матрица [О~Н((др;дрь))" ь, является матрицей положительно определенной квадратичной формы при любых д, р., ~. Показать, что функция у(д;, д,, 1), определенная в соответствии с равенством у(д;, д„2) = шах[Яхт; — Н(д„х;, 1)[, совпадает с лагранжианом 1х) системы Цдг % 2).
19 50. Система имеет функцию Лагранжа Н(Ч~ Че ) ( ПРИЧЕМ МатрИца [дзц(дд,дда)]а.„, яВЛяЕтея Матрнцсй ПОЛОжнтЕЛЬ- но определенной квадратичной формы. Показать, что обобщенные импульсы р, = р,(да, ф, 1) можно определить, рассматривая задачу на экстремум ер(д„р;, ~) = шах[~ р;д, — А(д;, д;, е)) по всем перемен- 148 ным е); (1 = 1, п). Показать также, что функция ~р(д;, р;, 1) является гамильтонианом системы. 19.51. Доказать следующий критерий устойчивости состояния равновесия систем в канонической форме: если в состоянии равновесия (д*, р*) функция Гамильтона Н (д, р) имеет строгий минимум (по всем переменным о;, р, (г = 1, п)), то это состояние будет устойчивым по Ляпунову. 19.52.
Для обобщенно консервативной системы с гамильтонианом Н(дь, Рь) найДена такаЯ фУнкЦиЯ Я(ды д2,..., 9„), что выРажение Н(уь, дЯ/дды..., дЯ!дд„), в которое переходит гамильтониан при замене импульсов рь на 2"ь = дЯ/дав (Й = 1, п ), оказывается не зависящим от координат рл (г = 1, п ). Показать, что в этом случае 119.
Уравнен н Гамиаътона, Раааа, Уиттекера и Якоби 203 на движениях системы (д;(1),р;(1)) при всех 1 будут выполняться соотношения рь(г) = Гь(д(г)), если они выполняются в начальный МОМЕНТ ВРЕМЕНИ, т. С. ЕСЛИ реа — — ГЬ(де) (а, й = 1г И). 19.53. Функции д; = ср (де, регб), р; = цц(дегре,б) (ег 2 = 1, и) задают закон движения системы с гамильтонианом Н(ди р,). Найти закон движения системы с гамильтопианом 1 (Н(д;, р;)). 19.54.
Функции дг,(пу, бб, 2), гуе(аа, Ц,1), (а, б = 1, и), где ин и2,, ., г о„, бг г (32,..., б„— произвольные постоянные., задают общее решение д; = еи(иб, ба, 1)г р; = гуг(аа, 8 ч б) (1, 2 = 1, и) гамильтоновой системы с функцией Но(д, р;, 1). Найти закон движения гамильтоновой системы с функцией Н(д, р, 1) = Не(д р+ягаг3~(д, 2), б)+д2(д,1)(дб, где 1(д, 2) -- заданная функция. 19.55. Функции д, = гр;(и., бч г), р, = гае(и., 8., 2) (1, 2' = 1, и) представляют собой уравнения движения системы с гамильтонианом Не(д;, р;). Найти движение системы с гамильтониапом Н1 = = 'г(г)НО(дгг Рг) 19.56.
Натуральной механической системе соответствует функция Лагранжа лг 1= — ~ тгР;. — Н(гы ...,ггу,б) и функция Гамильтона Н(дг ра, 1). В исходном лагранжевом описании системы совершается переход от обобщенных координат д; (ъ = 1, и) к обобщенным координатам О, (1 = 1, и) в соответствии с формулами неособенного преобразования д, = (';(О, 1) (1 = 1г и). Найти гамильтониан Н(В, рв, 1), ссютветствующий описанию системы в новых переменных (см. задачу 19.41). 19.57.
Системе с лагранжианом Цд, д, 1) соответствует гамильтониан Н(д, р, 1). Найти гамильтониан Н(д, р, 1) системы, лагранжиан которой равен Цд, д, 1) = 1 (д, д, 1) + ее1Г(д, 1) / гй, где 41'"( й, = = дГ(д2+ (ягае3 г, д). 19.58. Система с гамильтонианом Не(д, р, 1) имеет лагранжиан 10(д, д, 1). Найти лагранжиан 1 (д, д, 1) системы с гамильтонианом р — ягаг3Ф(д,1) ~ дФ(д,г) Н(д,р,б) = у(1)Н0 ~д, 2. А налитинеекаа механика 204 19.59.
В канонических переменных движение системы определяется гамильтонианом Н(д, р, С) = Ф(д, р — йгаг1 Р'(д, С), С) — дЕ'(«С, С) /дС, где ~даФ(г! е С) гСеС ~ дег даь Показать, что уравнения Лагранжа этой системы не зависят от выбора функции Р'(д,, С). 19.60. В системе с лагранжианом 1 (д, г1, С) переменные Р; определяются в соответствии с равенствами Показать, что для любой функции Е(г1, С) найдется такая функция Н(д, Р, С), что в переменных (дг Р, С) уравнения движения системы записываются в канонической форме дН(г!, Р, С) . дН(г!, Р, С) г)г г.
(! = 1, и). 19. 61. Уравнения движения системы материальных точек в обобщенных координатах гСС, д2,..., г!и заданы в форме уравнений Лагранжа 2-го рода гС дТ дТ вЂ” — — — = Щ (С = 1г и). СС дб! д~, Записать уравнения движения этой системы в «полуканоническойа форме, определяя обобщенныс импульсы равенствами рь —— = дТ(дг!ь (к = 1, и ), из которых скорости гСг могут быть выражены через !!;, р; и С с помощью соотношений г)ь = г!гь(д, р, С) (Й = 1, п). 19.62. Из «полуканонических» уравнений, полученных в предыдущей задаче, вывести канонические уравнения движения системы в потенциальном поле с потенциалом П(д, С).
19.63. При выводе теоремы о вириале для финитных движений системы материальных точек в декартовых координатах рассматривают функциго С = 2, р,г;, где г, - - радиус-вектор г-й материальной «=! точки, а р, = т,т; -- ее импульс. Используя функцию я = 2 ргг!ь ь=! (рь = д1 /дуси Ь = 'Р— П = Ц«С, г1)), получить аналог теоремы о вириале в обобщенных координатах.
019. Уравнен н Гамильтона, Радев, Уиттекера и Якоби 205 б + —, г Ь = — гпос 2 где гпо — масса покоя частицы, а с скорость света. Построить функцию Рауса частицы. 19.71. Найти функцию Рауса системы, гамнльтонианом которой является функция О(г1,, р;, 1), выбирая в качестве переменных г11,...
г г1нг р1г г ртг г1тт1г г е)н 19.72. Найти функцию Уиттекера К и составить уравнения Уиттекера системы с лагранжианом Е = (г)~~+ г)2~+ г1~~г)з~) /2 — (г1~~+ г12)/2. 19.73. Найти функцию Уиттекера К частицы массы т в однородном поле тяжести. 19. 64. Показать, что среднее значение гамильтониапа Н( д;, р; ) = 1 пкь(1)р;рь + П(ч) на финитных движениях системы имеет г гдв=1 — 1" дН вид О = — 2' г1; г=1 дуг 19.65. На груз массы т, подвешенный на пружине жесткости с, действуют возмущающая сила Г(1) и сила сопротивления среды б„1 = = — ри.
Показать, что если ввести координату д = хехр[61/(2т)), где л — смещение груза из положения равновесия, то уравнения движения груза могут быть записаны в форме уравнений Гамильтона. Найти соответствующие координате д лагранжиан Ь и гамильтопиан О; выписать канонические уравнения движения. 19.66. Частица массы т движется в плоскости лд под действием силы к' = -1(г), г = Ьгглз 1-д2. Составить уравнения движения г частицы в форме уравнений Рауса. 19.67. Составить уравнения движения спутника массы т в поле тяготения планеты массы И в форме уравнений Рауса.
19.68. ДВС ТОЧКИ С МаССаМИ тг И т2 ВЗаИМОдЕйСтВуЮт ПО ЗаКО- ну всемирного тяготения. Составить уравнения движения системы в форме уравнений Рауса. За обобщенные координаты принять координаты центра масс системы л, д, с, расстояние между точками г и углы гр и гу (широты и долготы), которые определяют направление прямой, соединяющей точки. 19.69. Тяжелое колечко массы т (см. рис. к задаче 19.19) скользит по гладкой проволочной окружности массы Лг и радиуса г, которая может вращаться вокруг своего вертикального диаметра. Составить уравнения движения системы в форме уравнений Рауса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
