Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Скорость точки А равна нулю, а скорость 00 точки В лежит в вертикальной плоскости дОз, совпадающей с вертикальной плоскостью матери- К задаче 11.60 альной симметрии гранаты. Длина гранаты А В = Ь, расстояние между точкой А и центром масс гранаты равно Б Найти движение гранаты, пренебрегая сопротивлением воздуха. 11.61. Однородному круговому цилиндру (высота Ь, радиус основания г), центр масс которого закреплен, сообщается вращение с угловой скоростью взо вокруг оси, образующей угол а с плоскостью основания цилиндра. Определить движение цилиндра. 11.62.
Однородный параллелепипед высоты гг, основанием которого является квадрат со стороной а, может двигаться так, что его центр масс остается неподвижным. В начальный момент параллелепипеду сообщается угловая скорость его, образующая угол а с его основанием. Найти движение параллелепипеда; в частности, рассмотреть случай и=О.
11.63. В момент метания диска радиуса г плоскость диска горизонтальна и три его точки А, В и 0 (см. рисунок) име- ют скорости пА = О, пп = 00, пп = Лго причем вектор зги, лежит в плоскости диска. Найти движение диска, пренебрегая со- К задаче 11.63 противлением воздуха. 11. 64. Показать, что параметры свободной регулярной прецессии симметричного твердого тела (А = В ф С) с неподвижной точкой связаны соотношением Сф = (А — С)ф сов0, где ф --. угловая скорость 102 К Кинематика и динамика собственного вращения, ф - угловая скорость прецессии, а е —.
угол иутации. 11.65. Пренебрегая взаимодействием Земли с Солнцем и Луной и считая Землю твердым сплюснутым сфероидом с эллиптичиостью (мерой сплюсиутости) а = (С вЂ” А) /А — 17300, оценить параметры ее прецессии. 11.66. Показать, что осью регулярной прецессии тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа может быть только вертикаль. 11.67. При движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой О в случае Лагранжа (А = В ф С, центр масс Р лежит иа оси дииамической симметрии, О Р = е) в начальный момеит проекция угловой скорости иа ось динамической симметрии и проекция момепта импульса па вертикаль равны нулю. Показать, что угол нутации определяется из уравнения Е .
(тле /А) э1 по = О. 11.68. При движении твердого тела массы т с неподвижной точкой О в случае Лагранжа (А = В ф С, центр масс Р лежит на оси динамической симметрии, ОР = е) начальные данные у(0) = = ро, 'р(о) = ро, р(о) = ро, р(о) = 'ро, е(о) = ео, е(о) = о за соотношением Сф~фо+ (С вЂ” А)фадееве = тф. Показать, что в этом случае тело будет совершать регулярную прецессию. 11.69. Центр однородного диска радиуса В и массы т жестко соединен с тонким невесомым стержнем длины 1 = й/2.
Другой конец О стержня, образующего прямой угол с плоскостью диска, закреплен сферическим шарниром. Определить движение диска в одиородиом поле тяжести при следующих начальных условиях: щ = О, ро = о, ео = я74, ~о = (1 73),4~7В, до = 3,7~7В, ео = о. 11.70. Велосипедпое колесо радиуса В и массы т, равпомерио распределеипой по его ободу, жестко иасажепо в центре иа тонкий невесомый стержень длины е = В, другой конец которого сферически закреплен. Стержень образует прямой угол с плоскостью колеса.
Найти движение колеса при следующих начальных условиях: щ = = о, р, = о, ео = /3, чо = 2ь47 В 9о =,78/ В, е, = о. 11.71. Один конец тонкого невесомого стержня длины 1 закреплен сферическим шарниром, на второй конец насажена однородная квадратная пластина со стороной а = 21 и массой т. Стержень перпендикулярен плоскости пластины и проходит через ее центр. Определить движение пластины в однородном поле тяжести, если уо = О, еро = О, ео = я/3, ц~о = ьу2д/(За), сро = бьу2д/(За), ео = О. 11.72. Найти (в квадратурах) закон движения однородного тонкого стержня длины е и веса Р, один конец которого закреплен посредством сферического шарнира.
911. Динамика твердого тела 103 11.73. Чему равна работа момента сил, поддерживающего регулярную прецессию симметричного твердого тела (А = В ф С)? 11.74. Волчок, который представляет собой диск радиуса г, насаженный в центре под прямым углом на невесомый стержень длины 1, совершает регулярную прецессию вокруг вертикали с углом иутации 0 и угловой скоростью прецессии еоз. Найти угловую скорость собственного вращения волчка ео1. 11.75. Симметричное твердое тело (А = В ~ С) с иеподвижиой точкой 0 совершает регулярную прецессию. Показать, что вектор момента импульса Ко определяется выражением Ко = [С+ + (С вЂ” А) сов 0 озз /ео1 ) го1 + Аглз, где го1 и озз — векторы угловых скоростей собственного вращения и прецессии соответственно, а 0 .. угол между ними. Используя зто соотношение, получить выражение для Ко в случае движения симметричного твердого тела по инерции.
11.76. Получить выражение для момента М внешних сил, поддерживающих регулярную прецессию симметричного твердого тела (А = В ~ С) с неподвижной точкой, используя выражение для вектора момевта импульса, найденное в предыдущей задаче. 11.77. Симметричный гироскоп (А = В = 2С) совершает регуляриую прецессию, так что углы раствора неподвижного и подвижного аксоидов равны 2п.
Найти зависимость между мгповепиой угловой скоростью со гироскопа и приложенным к нему моментом сил. 11.78. Одпородный круговой конус, вершина 0 которого закреплена, может катиться без проскальзывания по горизонтальной плоскости. В начальный момент центру основания конуса ЛХ сообщается горизонтальная скорость ио. Найти движение конуса.
11.79. В качестве датчика угловой скорости рыскания самолета используется гироскоп, ротор которого (см, рисунок) вращается с постоявпой угловой скоростью 11 вокруг оси 00~, закрепленной г [~т в прямоугольной рамке АВСО. [ А Рамка, связанная с корпусом самолета пружиной жесткости кч в свою очередь может поворачиваться вокруг оси ВЯ', неподвижной отиосительно корпуса самолета и сов- О падающей с его продольной осью. й В режиме прямолинейного поле- о та рамка горизонтальна и пружи- К задаче 11.79 па иедеформироваиа. Самолет поворачивается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ео (ео « Й) твк, что угол между плоскостью рамки и горизонтальной плоскостью равен а.
Моменты инерции гироскопа относительно 1. Кинематика и динамика осей 00' и ЯУ равны С и А соответственно, момент инерции рамки пренебрежимо мал, сторона АВ равна 21. Найти угловую скорость ео, считая угол а малым. 11.80. Твердое тело массы т, обладающее динамической симметрией (А = В ф С), совершает регулярную прецессию в поле тяжести.
Центр масс тела лежит на оси симметрии на расстоянии 1 от неподвижной точки. Найти все значения угловой скорости прецессии ы2, при которых тело совершает прецессионное движение с заданным углом нутации О 19 ф О, и/2) и с заданной угловой скоростью собственного вращения ео1. В частности, найти приближенные значения оз2 при условии, что со21 » тй'1/С. 11.81. Гироскоп (см. рисунок) с двумя степенями свободы (А = = В ф С, 011 = Н) установлен на основании, вращающемся с угловой скоростью ео вокруг оси, перпендикулярной оси кожуха гироскопа. Масляный демпфер создает момент сопротивления — йа, пропорциональный угловой скорости кожуха. Показать, что на малых интервалах времени при малых скоростях со и болыпом коэффициенте К задаче 11.82 К задаче 11.81 демпфирования Й угол поворота кожуха гироскопа пропорционален углу поворота основания.
(Интегрирующий гироскоп.) 11.82. Для стабилизации по углу различных объектов применяют сервогироскопы, прикладывающне к объекту момент, который компенсирует внешнее возмущающее воздействие. Схема привода сервогироскопа представлена на рисунке. Найти такие угловые скорости й и (3 сервогироскопа (А = В ф С), при которых возмущающий момент И = ЛХо сов оз1, приложенный к внешней раме и направленный по оси 1 1, компенсируется. 8 11.
Динаиина твердого тпела 105 11.83. Центру основания однородного кругового конуса с массой т, высотой гг и углом при вершине 2а, вершина О которого закреплена и который может катиться без проскальзывания по неподвижной горизонтальной плоскости, сообщается горизонтальная скорость в. Найти равнодействующую (значение, направление и точку приложения) сил реакции плоскости и реакции в неподвижной точке, возникающих во время О „' движения конуса. 11.84. Топкий однородный диск радиуса г и массы т, центр О которого неподвижен, обкатывает без проскальзывания неподвижный ко- 2а~ нус с углом 2а при вершине О; ось конуса ОМ вертикальна. Найти модуль, направление и точку приложения равнодействующей сил реакции конуса и реакции в неподвижной точке О во время движения диска, если в начальный момент ему сообщена угловая скорость гое. К задаче 11.84 11.85.
Симметричное твердое тело (А = В = = ЗО) движется по инерции. В начальный момент времени проекции угловой скорости на связанные с телом оси равны ре, де = О, ге = Зре. Найти закон движения тела в параметрах Родрига — Гамильтона. 11.86. В коническом зацеплении подвижная шестерня (см. рисунок), радиус г, масса т и моменты инерции А = В ~ С которой заданы, обкатывает неподвижную пшстерню радиуса В так, что угловая скорость оси подвижной шестерни равна еь Найти динамические силы реакции М„рзр, Ю, в точке контакта шестерен и силу натяжения г'н, оси подвижной шестерни. К задаче 11.87 К задаче 11.86 11.87. При большой угловой скорости ео ведущего вала бегун маятниковой мельницы (см.
рисунок) прижимается изнутри к стенке 1. Кинематика и динамика 106 цилиндрической чаши радиуса Л и катится по ней без проскальзывания. Сечение бегуна, содержащее его центр масс, имеет радиус г. Вес бегуна С, его моменты инерции А = В, С относительно осей, проходящих через неподвижную точку, и угол 8 между основанием и образующей заданы. Найти силу реакции Д1 чаши. 11.88. Бегун дробильной мельницы (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
