Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Определить силу реакции на подшипники Р и Е рамки, обусловленную гироскопическим моментом. Массой рамки пренебречь. 11.121. Тяжелый симметричный гироскоп (см. рис. к задаче 11.118) совершает регулярную прецессию с параметрами у, ф, й. Перейдя в неинерциальную систему координат, вращающуюся с угловой скоростью прецессии ф, найти момент переносных и кориолисовых сил инерции относительно неподвижной точки.
11.122. В условиях предыдущей задачи показать, что система переносных сил инерции приводится к равнодействующей, а система кориолисовых сил инерции приводится к паре. Найти точку К приложения равнодействующей переносных сил инерции. Расстояние от центра масс гироскопа до неподвижной точки равно 1, его масса равна т.
11.123. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки. В неинерциальной системе отсчета, жестко связанной с телом, найти главный момент сил инерции относительно этой точки. 11.124. Получить закон вращения твердого тела вокруг неподвижной оси из динамических уравнений Эйлера. 11.125. Показать, что объем эллипсоида инерции твердого тела для его центра масс больше объема эллипсоида инерции в других точках тела. 2.
АНАЛИТИ'ЧЕСКАЯ МЕХАНИКА й 12. Уравнения Лагранжа 12.1. Найти число степеней свободы плоского трехзвенного механизма АВС11 (см. рисунок), у которого точки А и В могут перемещаться по прямой Ох. 12.2. Найти число степеней свободы плоского многозвенного механизма, изображенного на рисунке. О А К задаче 12.1 К задаче 12.2 К задаче 12.3 12.3. Определить число степеней свободы системы, состоящей из двух волчков, установленных один на другом, как показано на рисунке.
Точка опоры нижнего волчка неподвижна. 12.4. Показать, что если выполнены соотношения + 11 = + ~ь (г =1, и, и =1, п — 1), ддь дд„' дд, дд„ то линейная дифференциальная связь вида ч +~,Ыч1 ч )чь=О является голономной. 12.5. Круговой конус с неподвижной вершиной катится по горизонтальной плоскости без проскальзывания. Выписать уравнения связей и выяснить, является ли эта система голономной. 12.6. Выяснить, какие из следующих дифференциальных связей являются интегрируемыми; для интегрируемых связей найти соответствующее конечное уравнение: а) хй+(у — х2 — а)х+(2 — у — ху)у =О; 2.
Аналитическая механика б) (х1+ хзйх1 — хз) = (у1+уз)11 (д1 — уг); в) д — ах=О; г) х(хз+ уз+ зз) + 2(хх+ уу+ зй) = О:, д) (2х+у+з)х+(2у+я+х)у+(2з+х+у)1 = О. 12.7. Свободная материальная точка движется под действием силы Р = г (г, г, с) = Р',1+ Х'и2+ г;1с. Найти выражения для обобщен- ных сил, если в качестве обобщенных координат выбирается одна из следующих криволинейных систем координат: а) цилиндрические координаты г, ~р, з: х = г сов 1р, д = г ялмар, з = з; б) сферические координаты г, еа, О: х = гяпйсозеа, у = гяпйяпд, з = гсозй; в) параболические координаты и, е, ая х = ~(иегова, д = =,~пвз1пеа, з = (и — и)/2. 12.8. В следующих задачах движение системы определяется ла- гранжианом 1.
Найти уравнения движения системы, если и 1 и а) 1. = — ~(азЧ;+2Ч1Чзяпз) — — ~ (с1 — созс)Ч1 1=1 1=1 (а1 = СОПЗС, С1 = СОПЗс); и и б) 1,= ~~~1 2 '' созЧ,1 1=1 1=1 (ас = сопз$), в) 1 = — (х +у +у ) — тд(з+ — +— 2 2 1 х у1 2 х у х = х(Ч1, Чзч Чз), У = У(Ч1 Чз, Чз), з г з(Ч1 Чз Чз). Найти лагранжиан точки в координатах Ч;, используя коэффициенты Ламе (к =1, 2,3). 12.10. Точка массы т движется в силовом поле с потенциалом П(х, у, з).
Найти лагранжиан точки и составить ее уравнения движения в следующих системах координат: а) цилиндрические координаты г, д, я х = г север, у = г яви, з = з; б) сферические координаты г, д, О: х = гяпйсозЗ1, д = гяпйяпу, =г О; 12.9. Свободная материальная точка массы т движется в потенциальном силовом поле, причем П = П(х, у, з, с). Декартовы координаты точки х, у, з связаны с ортогональными криволинейными координатами Ч1, Чз, Чз равенствами з 12. Уравнен н Лагранжа 115 в) параболические координаты и, е, гр: х = угивсовгр, р = урии вшгр, з = (и - и) 1!2. 12.11. Для плоского движения материальной точки в силовом поле с потенциалом П(х, д) найти лагранжиан в координатах г!! и дв, связанных с декартовыми координатами равенствами х = (д! — дв) 1г2, р = угу%.
12.12. Найти функцию Лагранжа и составить уравнения движения двух материальных точек с массами т! и тт, притягивающихся одна к другой по закону Ньютона. Выписать также интегралы движения системы. Указание. За обобщенные координаты принять декартовы координаты х, у, з центра масс системы, расстояние между точками г и углы О и гр (широты и долготы), которые определяют направление прямой, соединяющей точки.
12.13. В качестве модели двухатомной молекулы можно взять систему из двух материальных точек массы т! и тз, упруго связанных между собой. Сила взаимодействия точек равна Е = — с(г — ге), где т — расстояние между точками, с = сопв1, а ге соответствует положению, в котором упругая сила равна нулю. Найти функцию Лагранжа, составить уравнения движения системы и выписать интегралы движения. 12.14.
Найти движения системы, лагранжиан которой 1 = = А(д1, дз, ..., г)„) не зависит от обобщенных координат и времени. 12.15. Найти движения системы с лагранжианом Х = 2,' г;(г).;+ 1=1 + д!), если уравнения у; = гр!(с!), где ер;(е!) = г (в,) г имеют решениями функции з! = г!г1(р,) (г = 1, и,). 12.16. Найти движения механической системы с лагранжианом 1 — а!Ь®9Ь вЂ” 2, с!(1)%, гДе агв = ам - постоЯнные величины. 2. 1,н=! г=1 12.17. Найти закон движения точки, определяемый лагранжиапом Л = еЯ+ хг.
12.18. Функция Лагранжа релятивистской частицы с массой пот коя те в поле тяготения с потенциалом П = — — (г = х~+ у~+ з') в декартовых координатах имеет вид ('2+ 2 1 2) т А = — тес г + с гтгрг ~Р' где с скорость света. Найти функцию Лагранжа частицы в сферических координатах. 2. А иалигаичааиаа маховика 12.19.
Функция Лагранжа свободной релятивистской частицы с массой покоя то имеет вид 2 1 Х1+Ха+вэ ° 2 ° а, 2 2 1= — тос 1— с где с скорость света. Составить уравнения движения частицы и найти их решение. 12.20. Найти закон движения точки, определяемый лагранжиа- 2, 2 т,з,в а,, р~х роу ном Е = (л +у )+ — (жу — ул) — — ' (а, ры рг — положи- 2 2 2 2 тельные константы). 12.21. Кинетическая и потенциальная энергии механической системы являются квадратичными формами с постоянными коэффи- 1 ",, 1 циентами; Т = — 2, ауьг)1дь, П = — 2, с;ьгьоь. Найти движения ба=1 бь=г системы, если квадратичная форма Т положительно определена, а квадратичная форма П отрицательно определена.
В начальный момент д;(0) = д о, уу(0) = 4о. 12.22. Тяжелая точка может двигаться без трения в вертикальной плоскости лг по кривой г = /(х). Составить уравнение Лагранжа и найти его первый интеграл. 12.23. Тяжелая точка может двигаться по гладкому эллиптическому параболоиду г = ах~+ йу~ (а ) О, 6 ) О, ось Оз направлена вертикально вверх). Составить уравнения Лагранжа. 12.24.
Частица массы т и заряда е движется в электромагнитном поле. Напряженности Е и Н электрического и магнитного полей могут быть выражены через скалярный <р(л, у,,1) и векторный А(л, у, о,1) потенциалы при помощи соотношений Е = — ягас1~р— 1 дА — — —, Н = го1А, где с — скорость света. Показать, что уравнения с д1 движения частицы пл = е [Е+ с з(ч х Н)] представляют собой уравнения Лагранжа, где в качестве лагранжиана взята функция 1 = = тоо/2 — еу+ (А, ч)е/с. 12.25. Две точечные массы тз и то, связанные пружиной жесткости с, могут двигаться без трения по сторонам прямого угла хлОу., сторона Оу которого вертикальна.
Длина пружины в ненапряженном состоянии равна 1о. Составить уравнения Лагранжа. 12.26. Две равные точечные массы т (см. рисунок), связанные пружиной жесткости с, могут двигаться без трения, по неподвижному кольцу радиуса 1, лежащему в горизонтальной плоскости. Длина пружины в недеформированном состоянии равна 1. Составить уравнения Лагранжа. Используя координаты 01 = (<р1+ <рз)/2, 02 = (Ч1 — Чио)/2; найти закон движения в квадратурах. з 12.
Уравнен н Лагранжа 12.27. Однородный стержень массы т и длины 2! может свободно двигаться по гладкой горизонтальной плоскости. Каждый элемент стержня притягивается неподвижной прямой этой плоскости (прямой Ох) с силой, прямо пропорциональной массе элемента и его расстоянию от притягивающей прямой (коэффициент пропорцио- К задаче 12.28 К задаче 12.26 нальности и).
Составить уравнения движения стержня в форме Лагранжа. Доказать, что центр С стержня будет двигаться по синусоиде. 12.28. Однородный гладкий тяжелый стержень длины 21 (см, рисунок), помещенный на неподвижный гладкий цилиндр радиуса й, может совершать движение в вертикальной плоскости. Составить уравнения движения стержня (до момента его отрыва от цилиндра) в форме Лагранжа.
12. 29. Два однородных стержня длины 1 каждый образуют плоский двойной маятник. Составить уравнения движения в форме Лагранжа. 12.30. Составить уравнения, Лагранжа, описывающие движение двойного плоского маятника, который состоит из двух однородных стержней массы т и длины 1 каждый (см. рисунок), если по стержню АВ перемещается точка массы М с относительной скоростью но = сопэ1; при 1 = О АМ = О. 12.31. Через блок О массы М (см, рисунок), подвешенный на вертикальной пружине жесткости с, перекинута невесомая нерастяжимая пить с двумя грузами массы т1 и т2 на концах. Нить по блоку не скользит. Составить уравнения движения системы в форме Лагранжа, пренебрегая весом пружины и считая, что блок однородный диск, а грузы движутся по вертикали.
12.32. Сохраняя условия предыдущей задачи, найти закон движения блока и грузов. 2. А налитичеенаа меховича 12. 33. Используя уравнения Лагранжа, найти движение четырех одинаковых однородных цилиндров радиуса г (см. рисунок), соединенных между собой нерастяжимыми невесомыми нитями, как пока- К задаче 12.31 К задаче 12.33 К задаче 12.30 зано на рисунке. Нити по цилиндрам не скользят, центры цилиндров 1, в, 3 перемещаются по вертикали.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
