Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Главные центральные моменты инерции тела в некоторой системе единиц равны 3, 4, 5, а масса тела равна 2. В системе Сс1сзсз, совпадающей с главными центральными осями инерции тела, точка А имеет координаты (1, 2, О). Найти тензор инерции тела для точки А в системе координат, оси которой параллельны осям системы Се1е вез. 11.5. Доказать, что для любой плоской фигуры в системе Охуз, оси которой От, и Од лежат в плоскости фигуры, тензор инерции имеет вид Как изменится соотношение между диагональными элементами этого тензора, если учитывать толщину фигуры'? 11.6. Заданы три произвольных положительных числа о, Ь и с.
Всегда ли можно еподобрать» такое твердое тело, чтобы эти числа в некоторой системе единиц совпадали со значениями его главных моментов инерции? 11.7. Какому условию должны удовлетворять главные центральные моменты инерции твердого тела, чтобы существовали точки, для которых эллипсоид инерции представляет собой сферу? Где находятся эти точки, если главные центральные моменты инерции тела равны А, В, С? 11.8.
Найти компоненты тензора инерции в главных центральных осях для следующих однородных тел массы М: 1) куба с ребром 2о; 2) прямоугольного параллелепипеда с ребрами 2о, 2Ь, 2с; 3) тонкой прямоугольной пластинки со сторонами 2а и 2Ь; 4) тонкого диска радиуса Л; 5) прямого кругового цилиндра с радиусом основания Л и высотой Н: 6) полого цилиндра с внешним радиусом Лз и внутренним радиусом Л11 ?) шара радиуса Л; 8) кругового конуса с высотой Ь и радиусом основания Л. 1. Кинематика и динамика 92 11.9. Определить главные центральные моменты инерции для следующих моделей молекул (систем частиц, расположенных на неизменных расстояниях друг от друга): а) молекулы из трех атомов, расположенных на одной прямой; б) молекулы из трех атомов, расположеных в вершинах равнобедренного треугольника; в) молекулы из четырех атомов, расположенных в вершинах тетраэдра.
Размеры указаны на рисунках. Молекулы состоят из одинаковых атомов массы т. а 1 Ь 1 т т а т т т а К задаче 11.9 11.10. Какие параметры твердого тела следует включать в справочные таблицы, чтобы полностью описать геометрию масс твердого тела? 11.11. Найти главные оси инерции в точке А однородного кругового цилиндра массы т (см, рисунок), Высота цилиндра равна и', радиус его основания равен й. Для случая В = игйй выписать тензор инерции цилиндра в главных осях для точки А. 11.12. Тензор инерции твердого тела в точке О в системе координат Олзхзтз имеет вид Π — Р, Рфй.
К задаче 11.11 Найти главные оси инерции тела и моменты инерции А1, В1, С1 относительно этих осей. 11.13. Тензор инерции твердого тела для точки О в системе координат От1т2хз имеет вид 311. Диналгина твердого тела Показать, что величины: 1) А+В+С; 2) ВС вЂ” Ф+АС вЂ” Е3+АВ— — Ез; 3) АВС вЂ” А03 — ВЕ3 — Сг г — 2ВЕГ будут одинаковыми в любых ортогональных осях, т.е.
являются инвариантами тензора инерции относительно выбора ортогональных осей. 11.14. Кинетическая энергия твердого тела с неподвижной точ- 3 кой выРажаетсЯ Равенством Т = — ~,11ьевгвзы гДе 1;ь (г, й = 1, 3) з,1=1 компоненты тензора инерции в системе координат х1, хз, тз, связанной с телом, а ев; проекции угловой скорости на эти оси. Аналогично, для других осей х1ы т~з, х!3 по той же формуле будем иметь 3 г Т = — ~ ' 11ьвз;взы Из условия независимости энергии Т от выбора г,а=1 системы координат получить закон преобразования компонент тензора инерции при переходе от системы л1, л3, лз к х1ы л~з, яз!, если ЗаДаНа МатРИЦа НаПРаВЛЯЮЩИХ КОСИНУСОВ (агв); Ь 1, ОСЕЙ СнетЕМЫ х1, хз, хз относительно х1, хз, хз. I I I 11.15.
Прямой однородный круговой цилиндр (см. рисунок), имеющий массу т, высоту 6 и радиус основания В, вращается с постоянной угловой скоростью ев вокруг оси А В, проходящей через его центр масс С и образующей угол и с осью симметрии. Найти величину и направление момента импульса цилиндра относительно точки С. К задаче 11.16 К задаче 11.15 11.16.
Однородный диск радиуса Л и массы т (см, рисунок), насаженный на ось с эксцентриситетом ОС = е, вращается с угловой скоростью ез. Ось образует с плоскостью диска угол и. Найти величину и направление момента импульса диска относительно точки О. 11.17. Прямой однородный круговой цилиндр массы М, радиуса Л и высоты Ь (см. рисунок) вращается с угловой скоростью ю вокруг оси, направленной по касательной к основанию цилиндра в точке О.
Найти момент импульса цилиндра относительно точки О. 1. Кинематика и динамика 11.18. Однородный параллелепипед массы т (см. рисунок) с ребрамн а, 6 и с вращается с угловой скоростью се относительно своей диагонали ОВ. Найти момент импульса параллелепипеда относительно произвольной точки А пространства. 11.19. Тонкий однородный диск массы т катится без скольжения по неподвижной горизонтальной плоскости, образуя с нею угол а. Центр диска С описывает горизонтальную окружность с постоянной линейной скоростью н. Точка О пересечения оси симметрии диска с горизонтальной плоскостью неподвижна.
Найти кинетическую энергию диска. К задаче 11.20 К задаче 11Л8 К задаче 11.17 11.20. Квадратная рама АВСВ со стороной и (см. рисунок) вращается вокруг стороны АВ с угловой скоростью ез1. Вокруг диагонали АС рамы вращается с угловой скоростью ез2 однородный диск радиуса г и массы т, плоскость которого перпендикулярна диагонали АС, а центр совпадает с серединой этой диагонали. Найти кинетическую энергию диска при ез1 = ез2 = ез, а также динамические силы реакции в точках А и В, пренебрегая массой рамы и расстояниями точек А и В от опор. 11.21.
Однородный круговой цилиндр массы т, радиуса Л и высоты Ь (см. рисунок) вращается с угловой скоростью аз вокруг оси АС, проходящей через центр масс О цилиндра и образующей угол а с его осью. Ось АС совпадает с диагональю прямоугольной рамы АВСВ, которая вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью й.
Найти кинетическую энергию цилиндра, если АВ = а, 2'АСС = 8, АО = ОС. 11.22. Куб массы тз ребро которого равно а, вращается вокруг одной из своих диагоналей с угловой скоростью и. Вершины куба, соединенные этой диагональю, движутся в пространстве с одинаковой скоростью и. Найти кинетическую энергию куба. 111. Диналгииа твердого тела 95 11.23. Однородная квадратная пластина массы тп (см. рисунок) вращается с угловой скоростью оз вокруг диагонали АС прямоугольной рамы АВСР.
Диагональ рамы АС проходит через центр с ~а С В В А К задаче 11.21 К задаче 11.23 масс пластины О и лежит в ее плоскости. Рама вращается вокруг неподвижной оси А В с угловой скоростью П, А В = 6. Найти кинетическую энергиюпластипы,еслиеесторонаравнаа, АО = ОС, КВАС = а. 11.24. Решить предыдущую задачу для однородной треугольной пластины со сторонами а.
11.25. Подсчитать кинетическую энергию однородного тонкого диска массы т и радиуса г (см. рис. к задаче 11.16), насаженного на горизонтальный вал с эксцентриситетом ОС = е под углом а к оси вала, если угловая скорость вращения диска вокруг оси вала равна оь 11.26. Однородный куб массы т (см. рисунок) укреплен в прямоугольной раме А В С Р. Ребро куба равно 2а, сторона рамы А Р = 6, угол ВАС = 60', центр куба совпадает с серединой диагонали АС. Куб вращается вокруг диагонали рамы АС с угловой скоростью со1, а рама вокруг неподвижной оси А В с угловой скоростью озз.
Найти кинетическую энергию куба. 11.27. Двухосная гироплатформа (см. рисунок) несет на себе два одинаковых гироскопа, врап1ающихся с постоянной угловой скоростью со. Специальное устройство удерживает ось первого гироскопа в плоскости платформы, а второго перпендикулярно к ней. Центры инерции гироскопов С1 и Св расположены в плоскости платформы на расстоянии и от ее центра С. Считая гироскопы тонкими однородными дисками массы гп и радиуса г, найти их кинетическую энергию в случаях, когда 1) платформа вращается с угловой скоростью ео1 вокруг оси Сь, перпендикулярной плоскости платформы; 2) платформа вращается с угловой скоростью со2 вокруг оси Сц, параллельной оси первого гироскопа. 1. Кинематика и динамика 96 11.28. Центрифуга для тренировки космонавтов (см.
рисунок) состоит из кабины, помещенной в раму, противовеса и горизонтальной штанги, соединяющей раму и противовес. Штанга вращается К задаче 11.27 К задаче 11.26 с угловой скоростью ез вокруг вертикальной оси АВ. Цилиндрическая кабина (высота цилиндра Н, радиус основания Л) совершает колебания вокруг вертикальной оси СВ по закону <р = ~ро гйп з е1. Расстояние между осями АВ и СР равно Л, расстояние 1 между осью АВ и центром масс противовеса выбирается из условия отсутствия динамических реакций.
Массы кабины и противовеса равны М1 и ЛХ2 соответственно. Определить кинетическую энергик1 системы, считая кабину однородным тонкостенным цилиндром с одинаковой поверхностной плотностью оснований и боковой поверхности. Весом штанги и рамы пренебречь. К задаче РК28 К задаче 11.29 11.29. Двигатель ветряной мельницы (см. рисунок) снабжен приспособлением, автоматически устанавливающим его горизонтальную ось АВ по направлению ветра.
Определить кинетическую энергию й 11. Диналгииа твердого квела лопастей двигателя, если известна зависимость от времени угла поворота лопастей вокруг оси АВ: п = п(е) и угла поворота оси А В вокруг вертикали АС: 6 = 6(1). Лопасти считать однородными прямоугольными пластинами массы т; расстояние внутреннего края лопасти от точки В равно 1г; угол атаки лопастей принять равным нулю. 11.30. Однородный цилиндр (см. рисунок), имеющий массу т, высоту 1г и радиус основания г1, вращается вокруг неподвижной точки О, лежащей на оси цилиндра па расстоянии 1г' от его центра масс С. Скорость точки С равна и, мгиовснпая ось вращения цилиндра О и образует угол и с осью ОС. Найти момент импульса цилиндра относительно неподвижной точки и его кинетическую энергию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
