Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Истечение жидкости происходит таким образом, что ее масса в сосуде меняется по закону т = т(е), причем функция т(с) удовлетворяет условиям т(10) = то, т(11) = О, т(10) = т,(11) = О, т. е, вся жидкость вытекает из сосуда за время ~1 — 10 без ударов в начальный и конечный моменты времени. Составить уравнения движения сосуда, считая, что находящуюся в сосуде жидкость в каждый момент времени можно рассматривать как твердое цилиндрическое тело, движущееся вместе с сосудом (иначе говоря, считая, что горизонтальная составляющая скорости частиц находящейся в сосуде жидкости относительно стенок сосуда равна нулю), а частицы вытекшей жидкости сохраняют ту горизонтальную составляющую скорости, которую они имели в момент отделения от трубки. 10.17. Решить предыдущуго задачу, считая, что ось трубки горизонтальна и направлена по касательной к стенке сосуда; площадь выходного сечения трубки равна Я и жидкость имеет плотность р.
10.18. Работу бульдозера, сталкивающего сыпучий материал в яму, можно схематически представить следующей простейшей моделью. К бруску А массы т (см. рисунок), который толкает слой сыпучего материала постоянной линейной плотности р, прикладывается постоянная сила Р. В начальный момент правая сторона бруска находится на расстоянии Л от края горизонтальной площадки В, по которой происходит движение, и скорость бруска равна нулю. Считая, что при движении толщина слоя не меняется и трение отсутствует, найти время 1 движения бруска А до края площадки В. 10.19.
Используя условия пре- 0 а дыдущей задачи, учесть силу тре- I ния между слоем сыпучего материала и площадкой, считая ее пропор- К задаче 10.18 циональной нормальному давлению материала (коэффициент трения 7" постоянен). Найти скорость и бруска в тот момент, когда он достигнет края горизонтальной площадки. 10.20. Реактивная тележка движется по прямолинейным горизонтальным направляющим; масса тележки меняется по закону М = = Мо — р1, относительная скорость и истечения газов из двигателя постоянна, начальная скорость тележки равна ио. Найти зависимость 1. Кихематиха и дихамхха скорости тележки от времени, если при движении на нее действует сила сопротивления Е = — аи — бс . Какова будет эта зависимость 2 в случаях, когда одна из констант а или 6 равна нулю? 10.21.
Камера сгорания ракеты, представляющая собой цилиндр радиуса Й и высоты Ье (см. рисунок), целиком заполнена однородным твердым топливом плотности р. Истечение газов, образующихся при сгорании топлива, происходит через х1 отверстие А радиуса г в торце цилиндра. По мере выгорания заряд продвигается специальным устройством к выходному отверстию так, что горение происходит непосредственно у отверстия А. Масса корпуса ракеты равна Л1:плотность газов, проходящих через отверстие А, можно считать постоянной величиной, равной рс.
Пренебрегая сопротивлением воздуха, составить уравнение вертикального движения ракеты, если высота заряда при его сгорании меняется по закону 6 = 6(8). 10.22. Показать, что импульс ракеты, которая движется прямолинейно при отсутствии внешних сил, К задаче достигает максимального значения в тот момент, ког- 10.21 да скорость ракеты становится равной скорости истечения газов и (и = сопэ1). 10. 23. Ракета движется прямолинейно под действием реактивной силы. В начальный момент ракета покоилась и ее масса равнялась тс; относительная скорость и истечения газов постоянна: действием внешних сил пренебречь. При каком значении массы следует выключить двигатель, чтобы импульс Р, приобретенный ракетой, был максимальным? Каков этот максимальный импульс? 10.24. Решить предыдущую задачу, считая начальную скорость ракеты ис отличной от нуля и меньшей и.
10.25. Найти значение массы, при котором кинетическая энергия ракеты из задачи 10.23 будет иметь максимальное значение. 10.26. Двухступенчатая ракета несет полезный груз то. Рабочее тело массы Л1 находится в цилиндрических баках, причем на 1 кг рабочего тела приходится х кг стенок баков. Как следует распределить массу рабочего тела между ступенями, чтобы ракета имела наибольшую скорость в конце активного участка? Скорость истечения газов считать постоянной и равной и, действием внешних сил пренебречь. Принять, что отработавшая ступень отделяется с нулевой относительной скоростью.
10.27. Цилиндрическое ведро массы ЛХ1 и радиуса Л1 (см. рисунок) поднимается грузом массы И2 с помощью невесомого нерастяжимого каната, перекинутого через блок радиуса Лэ, момент инер- 9 10. г!7инамина систем переменного состава 89 ции блока равен 7. Ведро заполнено водой, которая вытекает через отверстие площадью сечения Я в центре дна. Уровень воды в ведре все время остается горизонтальным, а скорость истечения равна и(с). Составить уравнение движения ведра. 10.28. Ось цилиндрического бака (см.
рисунок), из которого жидкость поступает в сегнерово колесо, совпадает с вертикальной осью вращения колеса. Уровень жидкости в баке меняется по закону г! = гс(!). Выходное сечение каждого из сопел А и В, расположенных симметрично относительно оси вращения, равно Я, расстояние между соплами составляет 21: момент инерции пустого бака равен,7, радиус бака равен й. Найти угловую скорость системы к моменту времени 2, считая, что находящаяся в баке жидкость вращается как твердое целое вместе с баком и колесом (это можно обеспечиттн например! за счет перегородок). г ! ! ! ! ! ! М! К задаче 10.27 К задаче 10.28 К задаче 10.29 10.29.
Для создания искусственной гравитации космический корабль, движущийся по инерции, раскручивается вокруг оси симметрии реактивными силами. Сопла всех п реактивных двигателей (см. рисунок) установлены симметрично в плоскости, перпендикулярной оси корабля, на расстоянии ге от оси, причем можно считать, что рабочее тело сосредоточено в точках 1, 2,..., п.
Истечение газов происходит с постоянной относительной скоростью и! скорость центра корабля направлена по его оси. Определить массу гдт рабочего тела, необходимую для раскручивания корабля от угловой скорости а!в до угловой скорости со1, если момент инерции корпуса корабля и оставшегося рабочего тела равен,1. 10.30. Физический маятник (см. рисунок) представляет собой тонкую трубку массы М и длины 1, заполненную вытекающей из нее жидкостью. Масса жидкости в трубке меняется по закону т(!) = = рй(2), где 6(с) -- высота столба жидкости.
Составить уравнение 1. Кинематика и динамика 00 д вижения трубки, считая, что частицы вытекшей жидкости движутся без сопротивления в однородном поле тяжести. 10.31. Используя условия предыдущей задачи, но считая, что М = О, посредством предельного перехода Ь -+ О, рЬ(1) — + т(1) получить уравнение движения соответствующего математического маятника переменной массы. ~ -р 10.32.
Физический маятник (см. рисунок) представляет собой цилиндрическую поверхность массы то и радиуса Л, которая подвешена на нерастяжимых нитях длины Л и на которую из точки подвеса сыплется песок, так что масса маятника меняется по закону т(1) = то+ 0(1). К задаче 10.30 Написать уравнение движения маятника, считая, что песок прилипает к поверхности и что толщиной слоя песка можно пренебречь.
10.33. Показать, что при малых значениях угла у момент импульса маятника из задачи 10.32 Ке(1) = т(1) Езф описывается тем же уравнением Ке+ (д/ 11) Ке = 1 6 = О, что и маятник постоянной массы в однородном поле тяжести. 10.34. Найти малые колебания маятника из р задачи 10.32, считая, что его масса меняется по линейному закону т = то+ ре1. 10. 35. Исследовать движение маятника из задачи 10.32 в линейном приближении, т. е. считая К задаче 10.32 углы отклонения ~р малыми.
Показать, что в этом случае при любом законе изменения массы т = т(1) (т(1) монотонно возрастающая функция) рр(1)( и ~ф(1)( будут малыми, если они были малы в начальный момент. 3 11. Динамика твердого тела 11.1. Показать, что моменты инерции твердого тела относительно любых двух параллельных осей и и и1 связаны соотношением ,7„„=,1 + т(г.г — 2г гс), где векторы го = ОС и г = ОО 1 лежат в плоскости П, проходящей через центр масс тела С, перпендикулярно этим осям, а О и 01 — точки пересечения плоскости П с осями и и и1 соответственно.
11.2. Показать, что в любом твердом теле можно найти такие пары параллельных осей и и и, ни одна из которых пе проходит через центр масс, что моменты инерции относительно этих осей будут э 11. Диналгина твердого тела 91 связаны равенством Штейнера о'„= .1„+ те1, где ш —. масса тела, а е? расстояние между осями. 11.3. Система Сх1лзлз представляет собой систему главных центральных осей инерции твердого тела массы гп.
Моменты инерции относительно этих осей Равны,?1, .19 и .~з соответственно. Найти выражения для осевых и центробежных моментов инерции тела в системе Ое1езез, начало которой находится в точке О с координатами а1, аг, аз, а оси параллельны главным центральным осям. 11.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
