Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 12
Текст из файла (страница 12)
«Гармошка» АВСРЕ (см. рисунок) из четырех шарнирно соединенных однородных стержней длины г каждый стоит на гладком горизонтальном полу и удерживается в равновесии стяжкой В Р. 62 !. Кинематика и динамика После разрыва стяжки гармошка начинает падать. Найти зависимость скорости точки В от ее высоты 6 над полом, если в начальный момент эта высота была равна 66. 7.31. Подъемник состоит из площадки СВ и 2п одинаковых стержней длины 21, соединенных шарнирами, как показано на рисунке. Для подъема груза концы А и В нижних стержней стяги- С ваются. В тот момсьгг, когда груз находился на высоте Но, тяга АВ разорвалась, так что концы А и В оказались свободно опертыми.
Пренебрегая трением, найти скорость груза как функцию его высоты Н, если вес площадки с грузом равен Р!, а общий вес стерж- Л В ней Р2. 7.32. Как изменятся импульс р и кинети- К задаче 7.3! ческая энергия Т плоской фигуры массы т, движущейся в своей плоскости, если в некоторый момент времени закрепить центр инерции фигуры? 7.33.
Плоская фигура движется в своей плоскости. В некоторый момент времени точку фигуры, совпадающую с мгновенным центром скоростей, закрепляют. Как изменятся импульс, момент импульса и кинетическая энергия фигуры в результате закрепления? 7.34. Однородный металлический диск вращается по инерции вокруг неподвижной оси. От внешнего источника к диску подводится некоторое количество теплоты, в результате чего диск нагревается. Объяснить, что произойдет с угловой скоростью и кинетической энергией диска. 7.35. Математический маятник массы т отклоняется на угол еро и отпускается без начальной скорости. Найти силу натяжения Де нити в зависимости от угла ер. 7.36. К однородному круговому обручу массы М (см.
рисунок), который может катиться без проскальзывания по горизонтальной плоскости, жестко прикреплена точечная масса т. В начальный момент обруч покоился и масса занимала наивысшее положение, а затем пренебрежимо малый импульс вывел систему из положения равновесия. Показать, что при движении обруч подпрыгнет только в том случае, когда отношение масс удовлетворяет неравенству т/И > 13. К задаче 7.36 7.37. Тело массы т лежит па гладком горизонтальном столе и прикреплено к концу нити, проходящей через небольшое отверстие в столе. На втором вертикально свисая>щем конце нити прикреплено тело массы !Н. В начальный момент телу т, 17. Изменение хинетичеехо7 энергии. Смешанные задачи 63 находящемуся на расстоянии а от отверстия, сообщена скорость ио в плоскости стола перпендикулярно нити.
Доказать, что скорость тела т будет снова перпендикулярна нити в тот момент, когда расстояние тела от отверстия совпадает с положительным корнем 2 2 шее шна уравнения л — л — а = О. 2Мя 2Мя 7.38. Однородный стержень длины а может свободно вращаться в пространстве вокруг своего шарнирно закрепленного конца. В начальный момент его приводят в горизонтальное положение и сообщают угловую скорость «00 относительно вертикальной оси.
Найти наименьшее значение ерина угла ер между стержнем и вертикалью во время движения, а также приближенное значение гршеа при еао » Ьгф~а. 7.39. Как изменится угол ерш;„в условиях предыдущей задачи, если в начальный момент стержень образует с вертикалью угол еро? 7.40. Неоднородный тонкий стержень ОА длины 1 и массы т может свободно вращаться в пространстве вокруг своего шарнирно закрепленного конца О. Центр масс стержня находится на расстоянии а от точки О; момент инерции стержня относительно перпендикулярной ему оси, проходящей через точку О, равен ?. Составить уравнение, которому удовлетворяет наименьшая и наиболыпая высота конца А стержня, если в начале движения известны момент импульса К стержня относительно вертикальной оси, проходящей через точку О, и его полная энергия Е.
Найти пределы изменения высоты конца А, если в начальный момент стержень был горизонтален, а вектор его угловой скорости вертикален. 7.41. Однородный круговой цилиндр массы М и радиуса Л поставлен па гладкую горизонтальную плоскость так, что его ось вертикальна. На боковой поверхности цилиндра вырезан гладкий винтовой желоб с углом подъема а. В желоб вкладывается шарик массы т. Найти угловую скорость цилиндра в зависимости от вертикального смещения шарика, считая, что в начальный момент цилиндр и шарик покоились. Размерами шарика пренебречь. 7.42.
1Пар радиуса г (см. рисунок) катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости АВ,переходя с этой плоскости на плоскость г В О, образующую угол а с горизонтом. А С" и Достигнув угловой точки В, шар начинает поворачиваться вокруг нее. В начальный момент скорость центра С шара равна ие. Найти наибольшее зна- К задаче 7.42 чение угла а, при котором шар, переходя на наклонную плоскость, не будет делать скачка. (Отрыв шара происходит в тот момент, когда проекция силы реакции опоры К Кинематика и динамика в угловой точке па нормаль к траектории центра шара обращается в нуль.) 7.43.
Решить предыдущую задачу при дополнительном предположении, что плоскость АВ образует угол (~ ( а с горизонтом, причем в начальный момент точка касания шара с плоскостью находилась на расстоянии 1 от точки В и скорость центра шара равнялась ио. 7.44. Однородный цилиндр радиуса г и массы т (см, рисунок) свободно скатывается с неподвижного цилиндра радиуса Л. Пилиндр начинает движение из состояния покоя в ре- У зультате малого импульса. Коэффициент трения скольжения равен г. Найти все значения угла еа, при которых качение происходит без проскальзывания.
Для этих значений угла у найти скорости точек оси цилиндра и(ер), нормальную силу реакции Ю(ер) и силу трения г'(у), если сро = О. 7.45. Используя условия предыдущей за- дачи, доказать, что катящийся без проскальзы- К задаче 7.44 вания цилиндр не может оторваться от неподвижного цилиндра при конечном значении у раныпе, чем начнется кюеение с проскальзыванием. Указание. Найти значение угла, которое соответствовало бы отрыву при качении без проскальзывания, и показать, что при всех конечных значениях у оно превьппает значение угла, при котором начинается проскальзывание.
7.46. Однородный стержень длины 21 начинает движение из состояния покоя, свободно опираясь на гладкис стороны прямого угла. В начальный момент стержень составлял угол ао с горизонтальной стороной угла. Найти скорость иЕ7 центра стержня в тот момент, когда стержень займет горизонтальное положение. 7.47. Однородная эллиптическая пластина с полуосями а и б (а > б) может катиться в вертикальной плоскости без проскальзывания по горизонтальной прямой.
В начальный момент большая полуось горизонтальна. Какую угловую скорость еао нужно сообщить пластине в начальном положении, чтобы в момент, когда большая полуось образует с горизонтом угол я/4, угловая скорость пластины равнялась азо/2? 7.48. Однородный шар массы т поднят на высоту 6 над гладким горизонтальным столом и отпущен без начальной скорости. Считая удар шара о стол абсолютно упругим, найти среднее значение кинетической энергии. 7.49. При помощи теоремы о вириале найти среднее значение кинетической энергии одномерного движения точки массы т, на ко- Э 7. Изменение иинетичеентз энергии.
Смешанные задачи торую действует гармоническая сила Е = Асоваз1, если в начальный момент скорость точки равнялась нулю. 7.50. Непосредственным вычислением показать, что в соответствии с теоремой о вириале средние за период значения кинетической и потенциальной энергии гармонического осциллятора равны. 7.51. Используя теорему о вириале, показать, что при финитном движении материальной точки в поле всемирного тяготения полная энергия всегда отрицательна. 7.52. Система, состоящая из % материальных точек, совершает движение в конечной области пространства с конечными скоростями.
ПотенЦиальнаЯ энеРгиЯ системы П(хм...,хИгУЫ...,УИ,зм... ..., зяг) является однородной функцией степени Й: П(ХХЫ...,'ЛХИ, ХУЫ ...,ХУкг, 1ЗЫ...,Хакг) = й =Х П(хы.,.,хи, ды...,Уы, ы...,згч). Используя теорему о вириале и закон сохранения полной энергии, показать, что средние значения кинетической и потенциальной энергии имеют вид Т = Ей/(й+ 2), П = 2Е/(й+ 2), где Е . - полная энергия системы.
Рассмотреть случаи й = 2 (осциллятор) и й = — 1 (ньютоновское взаимодействие). 7.53. Материальная точка массы т движется по гладкой горизонтальной кривой под действием постоянной силы, направленной по касательной к траектории движения. Найти среднее (за время движения т) значение кинетической энергии как функцию начальной и конечной скоростей ио = и(г;о) и щ = р(ее +т). Сравнить это значепиеТ со значениями кинетической энергии в момент времени тгг2 и в момент времени г', когда точка находится на полпути между начальным и конечным положениями.
7.54. Используя условия предыдущей задачи и считая, что действующая на точку сила равна Е, найти момент времени 1ы в который значение кинетической энергии совпадает с ее средним значением Т. 7.55. Грузы массы ты тэ,,..., т„(см. рисунок) лежат на гладком горизонтальном полу и связаны между собой и с неподвижными К задаче 7.ца стенками пружинами жесткости сы сз,..., с„ть Используя теорему о вириале, показатгч что средние значения кинетической Т и потенциальной П энергий связаны соотношением Т = П. З В.С.
Пятницкий и др. К Кинематика и динамика 7.56. В уг.човиях предыдущей задачи па каждый груз действует сила сопротивления, пропорциональная его скорости. Показать, что среднее значение кинетической и потенциальной энергий равно нулю. 7.57. Три одинаковых груза массы т (см. рисунок) соединены между собой и со стенками одинаковыми пружинами жесткости с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
