Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Конус с неподвижной вершиной О (см. рисунок) и углом при вершине а = х/ 2 катится без скольжения по горизонтальной плос- П Кинематика и динамика кости так, что ось симметрии ОС = ее вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью П. Найти вращательное и осестрг- мительное, а также касательное 8 и нормальное ускорения точки В. 4.34. Круговой конус с прямым углом при вершине и радиусом основания, равным й (см. рис. к задаче 4.33), катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что скорость центра основания посто- К задаче 4.33 янна и равна о. Вдоль прямолинейного канала, проведенного из вершины О конуса в центр С его основания, равномерно движется точка со скоростью, также равной и. Определить ускорение этой точки в момент, когда она попадет в центр основания. 4.35.
Круговой конус с прямым углом при вершине и радиусом основания В (см. рис. к задаче 4.33) катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Вершина конуса неподвижно закреплена. Центр основания конуса С движется равпоускореппо со скоростью и = ш~. По желобу, совпадающему с диаметром основания, по закону СМ = Всйпв~ движется точка М. Найти ускорение точки М в момент времени ~ = л/ео, если в этот момент желоб лежит в плоскости ОСА. 4.36.
При движении твердого тела с неподвижной точкой О известны его угловая скорость го и угловое ускорение в, причем ~ш~ = = сопв1. Найти касательное зо, и нормальное ве„ускорения произвольной точки тела. 4.37. Угловая скорость го твердого тела с неподвижной точкой задана проекциями оз1(е), озг(1), озз(е) на оси, жестко связанные г телом.
Найти угловое ускорение е тела. 4.38. При движении твердого тела, имеющего неподвижную точку О, углы Эйлера меняются по закону ~у = ол, 0 = л/3, ео = 2ео~. Определить ускорение точек М и % тела, если ОМ ~~ ш, а ОЖ ~~ е, где оз . — угловая скорость, в .- угловое ускорение тела. Расстояния ОМ = Ой =г.
4.39. При движении твердого тела орты ем еа, ез подвижной системы координат, жестко связанной с телом, выражаются через ор- 3 ты тм та, та неподвижной системы отсчета равенствами е; = ~ а;дт, 4 =1 3 4. Движение твердого тела с неиодвижной точкой 33 з 11 — — ~, аВез, где а11 — заданные функции времени. Показать, что 1=1 мгновенная угловая скорость ео твердого тела может быть представлена в форме з з 3 ео = х' а311 21е!+ ~~ а11азее2+ х' а21а11ез 4.40. При движении твердого тела известны скорость тл точки А тела и направление вектора скорости точки В этого тела, задаваемое единичным ортом е. Найти модуль скорости точки В, если 3 4 х е ф О.
4.41. Гайка накручивается на неподвижный болт. Известны скорости ил и чн (зг 4 ф зги) двух точек гайки и направление оси болта. Найти угловую скорость со гайки и скорость и ее геометрического центра. 4.42. При движении тела с одной неподвижной точкой известны скорости тд и згн двух точек А и В тела. Найти угловую скорость оз, осли скорости точек А и В удовлетворяют одному из условий: а) 34 х ип ф 0; б) тп = ачд (а произвольная константа).
4.43. Испытательная платформа (см. рисунок) вращается вокруг оси Оз, перпендикулярной ее плоскости, с угловой скоростью П. На платформе укреплен гироскоп, ротор которого вращается с угловой скоростью ео вокруг оси, лежащей в плоскости платформы и параллельной оси Ох. Найти кинематический винт гироскопа, если расстояние между осью Оз и осью ротора равно а. К задаче 4.44 К задаче 4.43 4.44.
Точка 01 стержня 01А (см. рисунок) скользит с постоянной скоростью ио вдоль стержня Ох, вращающегося с постоянной угловой скоростью со около центра О (ось вращения перпендикулярна плоскости рисунка). Стержень 01А вращается вокруг стержня Ох К Кинематика и динамика 4О с постоянной относительной угловой скоростью еао.
Найти кипематический винт стержня 01А. 4.45. Тело участвует одновременно в трех винтовых движениях, оси которых расположены по диагоналям граней куба, как показано иа рисунке. Найти результирующее движение тела, если ~а,~ = из, ~т, ~ = ш Ребро куба равно а. К задаче 4.46 К задаче 4.45 4.46.
В момент метаиия диска радиуса г (см, рисунок) его плоскость горизонтальна, а три его точки А, В, С имеют скорости ид = О, ив = в, ис = ~I2и, причем вектор скорости ч в лежит в плоскости диска. Показать, что скорости точек диска в этот момент распределены так, как если бы происходило вращение вокруг некоторой оси. Найти угловую скорость еа и направление оси вращения.
4.47. Координаты точек тела и их скоростей заданы в некоторой системе координат. Точки А (а, О, О), В(а, о, а), С(0, О, а) тела имеют в рассматриваемый момент скорости чд(и, — и, 2и), гп(в,О, с) и гг. (с,0,2и). Найти кииематический винт тела. 4.48. П некоторой системе координат точки А(а,0,0), В(О,а,О), С(0,0, а) твердого тела имеют в рассматриваемый момеит скорости к,4 (О, с, и), гв (О, и, и), гс ( — и, О, 0). Найти кииематический винт тела. 4.49. Известно, что скорости точек А, В и С твердого тела в некоторый момент удовлетворяют соотношению ид = ип фгс. При каком условии, наложенном иа векторы хд и гс, скорости точек тела будут распределены так, как если бы происходило вращение вокруг некоторой оси? Найти также модуль и направление угловой скорости вращения. 4.50. Доказать, что при любом движении угловая скорость вз твердого тела связана с распределением скоростей его точек равенством вз = (1/2)го1ч.
14. Движение твердого тела с ненодвижной точкой 4.51. Поле скоростей р; = р,(хы хз, хз) (4 = 1,3) твердого тела задано в некоторой системе отсчета. Каким условиям должны удовлетворять функции и;(хы хо, хз) (4 = 1,3), чтобы в теле существовала прямая, скорости точек которой равны нулю. 4.52. Поле скоростей и, = и,(хы хо, хз, 1) твердого тела задано в системе Ох1хзхз. Показать, что равенство ч го1 ч = 0 выполняется тождественно по хм хо и хз, если оно выполняется хотя бы в одной точке.
4.53. В постоянном магнитном поле электрон движется по винтовой линии х = асовЫ, у = ав1п61, з = с1. Найти кинсматический винт натурального триэдра точки. 4.54. Водило Р1.0 (см. рисунок), несущее оси трех колес, вращается с ускорением ев. В рассматриваемый момент его угловая скорость равна газ. Колеса находятся в зацеплении, как показано на рисунке. Радиусы колес равны ач'2. Первое колесо вращается относительно водила с угловым ускорением ем имея в данный момент угловую скорость взь Методом сложного движения найти скорость и ускорение точек А, В, С, Р третьего колеса, используя в качестве подвижной системы координат систему Охуз с началом в центре третьего коле- К задаче 4.54 са, которая: а) вращается вместе с водилам, б) движется поступательно, и в рассматриваемый момент ось О- параллельна плечу Р1,.
Точки имеют координаты А(аз а,0), В(а, — а,0), С( — а, — а,0), О( — а,а,0). Длина плеча Рй = 4.55. Прямой круговой конус с образующей длины 1 и неподвижной вершиной О (см. рис. к задаче 4.33) катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Вдоль образующей конуса вырезан желоб. По желобу движется точка М по закону 034 = г'(4). Найти ускорение точки И в тот момент, когда желоб занимает вертикальное положение, если скорость центра основания конуса равна ре(е). 4.56.
Ориентация осей Ос, Оц и О~, жестко связанных с твердым телом, относительно поступательно движущейся системы отсчета Охуз может быть задана таблицей направляющих косинусов, т.е. ортогональной матрицей А(1). Показать, что угловое перемещение твердого тела в системе Охуз из начального положения в конечное может быть осуществлено одним поворотом (теорема Эйлера).
К Кинематика и динамика Указание. При решении воспользоваться тем фактом, что орт и оси конечного поворота должен удовлетворять уравнению Ап = и. 4.57. Из начального положения в конечное тело переводят последовательными поворотами вокруг осей, связанных с телом (скь рису- нок). Сравнить результирующие пово- 3 ез роты двух последовательностей АеАч иА Ае,где сову в1пзр О ) А„= — япзр совзр О ~, О О 1 Р1 О О А = ~ 0 сове япе 1. о —.'пе ..е ) 4.58.
Две неподвижные пересекаю- К задаче 4.57 щиеся оси 1з и 1з заданы ортами ц и зя Рассматриваются два движения твердого тела. В первом движении тело поворачивают на малый угол д вокруг оси 10 затем из нового положения на такой же угол ер вокруг оси 1з. Во втором движении перемещения тела отличаются порядком поворотов: сначала на угол ер вокруг оси 1я затем — на угол ер вокруг оси 1и Показать, что перевод тела из конечного положения в первом случае в конечное положение во втором можно осуществить (с точностью до о(ер )) поворотом тела на угол ~р вокруг оси 1в, заданной ортом 1з = 17 х 1ы 4.59.
Показать, что для скалярной и векторной частей кватернионного произведения п, векторов справедливы соотношения ве1а1 (Рз орет о... о ра) = ( — 1)" вца1 (1а о ра з о,, о Рм ), чей(1з оказ о...о1а) = ( — 1)"+1 иес1 (енот 1о...оРез). 4.60. Показать, что кватерпиопное уравнение Л о Х вЂ” Х оЛ = 1 не имеет решений ни при каких значениях Л. 4.61. Найти все решения следующих кватернионных уравнений: а) Х + аХ+ о = О, где а и 1з скаляры; б) Л о Хз = Х оЛ, где Л вЂ” известный кватернион; в) Ло Х = Х оЛ~, где Л вЂ” известный ненулевой кватернион. 4.62.
Пусть й = те+ т некоторый кватерпион. Показать, что преобразование Л о Л оЛ ~ = Л', задаваемое кватернионом Л, не изменяет скалярную часть кватерниона Й, т.е. Л' = те+ т', где Т' определяется соотношением т' = Лот оЛ ~. 14. Движение твердого тена с ненодвижной точкой 43 4.63. Показать, что преобразование Л о г о Л, задаваемое вектором Л с ~Ц = 1, представляет собой зеркальное отражение вектора г относительно плоскости, перпендикулярной Л. 4.64. Показать, что последовательность двух преобразований г' = Лог оЛ и гн = рог'оп (~Л~ = 1, ~р~ = 1), представляющих собой зеркальное отражение векторов г и г' относительно плоскостей, перпендикулярных Л и р соответственно, эквивалентна вращению вектора г вокруг линии пересечения этих плоскостей на двойной угол между ними.
4.65. Поворот твердого тела задается двумя последовательными вращениями вокруг осей Ос1 и О~ш заданных в неподвижной системе координат. Показать, что результирующее преобразование будет тем же самым, если вначале выполнить второй поворот вокруг оси Осз, а затем первый вокруг оси 0~1ы преобразованной вторым поворотом. 4.66. Поворот твердого тела задается углами Эйлера у, 0 и ер. Найти угол и ось конечного поворота тела с помощью кватернионов.
4.67. С твердым телом связана прямоугольная система координат еп ез, еа. Вращение тела задается тремя последовательными поворотами вокруг оси Ое1 на угол 60', вокруг оси Оев на угол 90' и вокруг оси Оеа на угол 60'. Найти ось и угол результирующего поворота тела. 4.68.
В условиях предыдущей задачи определить положение радиуса-вектора г точки тела в неподвижной системе координат после поворота, если в связанной системе координаты этой точки равны (1, О, 1). В начальном положении тела подвижная и неподвижная системы совпадали. 4.69. Последовательными поворотами вокруг собственных осей тело повернули на угол 180' вокруг оси Ое1 и на угол 90' вокруг оси Оеш Другое такое же тело из того же начального положения повернули на угол 90' вокруг оси Оео и на угол 180' вокруг оси Оеь Найти параметры Родрига — Гамильтона относительного положения тел. 4.70. Тонкий однородный диск (см. рис. к задаче 11.84), центр О которого неподвижен, обкатывает без скольжения неподвижный конус с углом 90' при вершине.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
