Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Точка движется по плоской кривой. В каждый момент времени известны скорость с(е) и кривизна траектории к(е). Показать, что система дифференциальных уравнений х = исовле, у = ийоне, ф = сй определяет закон движения точки х = х(е), у = д(е). 1.16. Используя условия предыдущей задачи, найти закон движения точки х = х(е), у = у(е), если с = аХ, к = Й ', а = сопву и если в начальный момент Ь = 0 известны координаты точки хс и до, а также угол 0, который ее скорость составляет с осью Ох. 1.17. Самолет движется в вертикальной плоскости Оху.
С помощью приборов найдены скорость центра масс самолета с(Ь) и нормальная перегрузка п(е). (Норм линой перегрузкой называется отношение нормального ускорения ш„центра масс к ускорению свободного падения я.) Используя результаты, приведенные в задаче 1.15, найти закон движения центра масс этого самолета х = х(е), д = у(е), =ИТ+РЕН', = Е'/Р» т- РРР~,це Ь постоянные. 1.18. Движение точки в плоскости задано в полярных координатах г = г(е) и ел = ер(е). Показать, что в случае постоянства сскториальпой скорости (г ~р = сопят) вектор ускорения точки коллинеарен ее радиусу-вектору. 1.19.
Планета движется по эллиптической орбите, уравнение которой в полярных координатах имеет вид: г = . Найти р 1+ е сова 11. Движенссе точки зависимость радиальной и, и трансверсальной ьо компонент ускорения планеты от т, используя закон площадей т сР = с = сопз1. 1.20. В некотором приближении орбиту Меркурия можно представить плоской розеткой, уравнение которой в полярных координатах имеет вид т = р , где со = сопев ~ 1. Используя закон 1+ е сов со ср площадей т сР = с = сопев, найти зависимость ускорения и планеты от т.
1.21. Движение точки в плоскости задается в полярной системе координат компонентами скорости и„= 1(т и о„= 1(ат, а = сопев. 2 Найти уравнение траектории точки т = т(ср), а также радиальную и„ и трансверсальную ю„компоненты ее ускорения, если в начальный момент т(0) = то; сР(0) = сро. 1.22. Используя условия предыдущей задачи, найти тангенциальпое и нормальное ускорения точки. 1.23. Точка движется в плоскости с постоянной радиальной скоРостью о„= с > 0 и Радиальным УскоРением и„= — а~ест~, а = сопев. Найти уравнение траектории точки, если в начальный момент т(0) = = то и сР(0) = сро 1.24. Найти радиус кривизны р траектории точки, если известны ее скоросты и ускорение зи.
1.25. При движении точки ее радиус-вектор г, скорость и и ускорение ксс связаны соотношением от = а(ч х г), а = сопво > О. Найти радиус кривизны траектории точки как функцию г и и. 1.26. Движение точки в плоскости задано в полярных координатах т = т(1), сР = сР(с). Найти радиус кривизны траектории.
1.27. Доказать, что если ускорение точки имеет постоянное направление, то оно равно ш = по,с р, где а — постоянная, о — скорость зс точки, а р — радиус кривизны ее траектории. 1.28. Точка движется в пространстве с постоянным ускорением ск. В начальный момент 1 = 0 она имеет скорость ио, образующую с ускорением угол и. Определить радиус кривизны траектории точки как функцию времени.
1.29. Самолет, изображенный на рисунке точкой А, движется горизонтально на высоте Н с постоянной скоростью зсс = зс. В момент, когда самолет пролетает над ракетной установкой, пускают самонаводящуюся ракету В, имеющую скорость из и все время направленную к точке А, (тсз~ = 2)и). Найти уравнение траектории ракеты АВ = = т(сР) в системе отсчета Аец, движущейся с самолетом. Найти также время полета ракеты с момента вылета до поражения самолета и ее ускорение как функцию угла ср.
1. Кинематика и динамика 12 1.30. Точки А и В (см. рисунок) движутся в плоскости с постояиными скоростями и1 и ч2 таким образом, что компоненты их скоростей, перпендикулярные соединяющей их прямой, равны: и1япу1 = К задаче 1.29 К задаче 1.30 = и2 яви (параллельпое сближение в задаче преследования). Найти уравнение траектории точки В, закон сближения АВ =- г(1) и время движения точек до встречи, если точка А движется по прямой. 1.31. В задаче преследования убегающий А движется по прямой с постоянной скоростью и1. Догоняющий В движется с постоянной скоростью 92, направлепиой по АВ.
Найти уравнение траектории сближения АВ = г(р) в системе отсчета, связанной с убегающим, если ~ро ф О. (См. рисунок к задаче 1.29.) 1.32. Используя условия предыдущей задачи, найти ускорение догоняющего В и радиус кривизны его траектории в зависимости от г = АВ и угла у между АВ и прямой, по которой движется убегающий. (См.
рисунок к задаче 1.29.) 1.33. В задаче преследоваиия скорость и2 догоняющего постоянка и все время направлена па цель. Удаляющаяся цель движется с постоянной скоростью и1 и ускорением и = (и~~/1) яви, где 1 = сопв1, а у угол между скоростью цели и скоростьк> догоняющего. Найти траекторию догоняющего г(е9) в системе отсчета, связаииой с целью (см. рисунок к задаче 1.29.). 1.34. В задаче преследования с упреждением догоняющий движется с постоянной по модулю скоростью чз так, что угол б между направлением его скорости и направлением на цель остается постояииым. Найти время, через которое догоняющий настигнет цель, движущуюся по прямой с постоявпой скоростью и1.
1.35. В задаче преследования цель движется прямолинейно с постоя~ной скоростью иь Скоросты 2 догоняющего постоянна по модулю и все время иаправлеиа на цель. Определить нормальное ускореиие догоняющего в момент совмещения его с целью в следующих случаях: а) 1 < и2/01 < 2; б) в2,1и1 = 2; в) и2/я1 ) 2.
Рассмотреть случаи удаляющейся и приближающейся цели (см. рисунок к зада ~е 1.29.). 11. Движение тонни 1.36. Движение точки задано в криволинейных ортогональных координатах Ч1, Чя Чз соотношениями Ч; = Ч;(1) (1 = 1, 3). Связь между этими криволинейными и декартовыми координатами выражается зависимостями о = д1(Ч1, Чя Чз); д = 9з(Ч1, Чя Чз) с = Чз(Ч1 Чьн Чз). Показать, что проекции ускорения на касательные к координатным линиям криволинейной системы определяются выражениями где о = р р ~ ) Ч.. (Коордииатпной линией называется кри1=1 1=1 ~ дЧ;) вая в пространстве тдс, вдоль которой изменяется только одна из координат Ч;, 1=1, 3.) 1.37.
Используя решение задачи 1.36, найти скорость точки и проекции ее ускорения на касательные к координатным линиям для следующих криволинейных ортогональных координат: а) цилиндрические координаты г, у, ю х = г сезар, у = тяпа, г = г; б) сферические координаты г, В, ес е = гяпВсоад, д = гяпВяпеь г = гсоьВ; в) координаты параболического цилиндра о, т, ю е = ос, у = =(с — о )/2, с=с.
г) координаты эллиптического цилиндра и, о, ю е = а си и сов о, д = аапияпо, е = г; д) параболические координаты о, т, д; т = от сезар, у = ат впар, г = (тд — пз)/2 е) координаты вытянутого эллипсоида вращения и, о, Чс е = = аавиаппосоыа, у = аапияпояп<р, з = асписоао; ж) координаты сплюснутого эллипсоида вращения и, о, ес о = = асйияпосоау, д = асбиа1поз1пд, г = аанисоао.
1.38. Положение точки определяется зависимостью радиуса-вектоРа от кРиволинейных оРтогональных кооРДинат: г = 1(Ч1, Чьь Чз). Найти радиус кривизны траектории, считая, что Ч;(1), г = 1,3, известны. 1.39. При движении точки со скоростью о(1) ее цилиндрические координаты изменяются во времени по линейному закону. Найти компоненты кривизны траектории. 1.40. Точка движется по координатной поверхности Ч1 = сопаФ ортогональной системы криволинейных координат с постоянной по модулю скоростью о.
Говорят, что точка движется по геодезической, 1. Кинематика и динамика если вектор кривизны траектории направлен по нормали к поверхности «11 = сопз1. Найти уравнение геодезической. 1.41. Точка движется по поверхности сферы вдоль координатной линии «р (г = сопз1,9 = сопз1) сферической системы координат с постоянной скоростью ч. Найти вектор кривизны траектории н указать условия, при которых траектория точки являк' ется геодезической. 1.42. Точка (см, рисунок) движется в плос«к кости так, что угол между вектором скорости и вектором ускорения постоянен.
Угол «р между направлением вектора скорости ъ и неподвижв ной осью изменяется по заданному закону «р(1). Найти скорость и ускорение точки как функции К зал ««е 1 4ч Угла Р, если в начальный, ~омент 1 = О заДаны и(О) ге««р(О) «ре 1.43. При движении точки проекция ее скорости т на ось От имеет постоянную величину и. Доказать, что ускорение точки выражается соотногпением «г = и /ир (р радиус кривизны траектории) в том и только в том случае, если траектория точки -- плоская кривая. 1.44. Годограф вектора скорости точки задан в сферических координатах и, «р„9„(см. рисунок) зависимостями и = и(1), «р„= = «ре(г), 9„= 9„(«).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
