Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 47
Текст из файла (страница 47)
для любых преобразований 89 дз Е С* найдется такое преобразование яо й Се, что выполняется равенство в1 ЙО'в2' 23.188. Доказать, что множество М всех унивалентных канонических преобразований есть нормальный делитель группы С канонических преобразований.
Каковы элементы факторгруппы С?'М? 23.189. Записать в явной форме суперпозицию канонических преобразований г 1уг, где через г обозначено каноническое преобразование $ = р,, р, = а; (1 = 1, п), через г 1 преобразование, обратное к преобразованию г, а через я каноническое преобразование г?,* = ~~/3, р*; = р,/д; (1 = 1, и ). Найти также валентность с и производящую функцию Р преобразования г 18т.
23. 190. Являются ли подгруппы С1 и Со из задач 23.184 и 23.185 нормальными делителями в группе всех канонических преобразований? 23.191. Найти такие условия, которым должна удовлетворять правая часть системы дифференциальных уравнений 44„4р, 4а аа — "=(~,($,р,1), — '=Р,(г?у,р,1) (г,)=1,п) для того, чтобы регпснис этой системы с начальными данными а;(0) = = д;, р;(0) = р,, определяло группу канонических преобразований (не обязательно униввлснтных) . 23.192. Функции $(д., р., ~, а), р;(у,, р, ~, а) (г, ? = 1, п, ), зависящие от параметра а, удовлетворяют системе дифференциальных 9 23.
Канонинеение преобразование 259 уравнений дЧ, дК(Ч„Р,, ~) дре дК(Чб, Рб, 2) да др, ' Иа д4 определяемой некоторой функцией К($, Р, 1). Показать, что если преобразование Ч» = Ч»(ЧЧ, рб, 2, а), Р, = Р;(Ч, ру, б, о) является каноническим при некотором а, то оно каноническое при любом а. 23.193. Семейство преобразований пространства (Ч, Р, б): Ч» = = Че(Ч., Р, 2, а), Р, = Ре(Че, р, 1, а), 2 = 2 является однопараметрической (с параметром а) группой преобразований, т.е. функции Ч»(Чо'; Ру 1 о) Р (Чб, Ро, е, а) дают рерление системы уравнений аЧ пр; = Ю»(ЧЧ~ Рб~ ~)~ — = Р»(Чу, РЧ, б), да да причем при а = 0 имеют место равенства Ч» = Ч,, Р, = р,.
Показать, что при каждом значении параметра и преобразования являются унивалентными каноническими преобразованиями (гамильтонова группа) в том и только в том случае, когда существует такая функция К(ЧЧ, Ру, б), что выполняются равенства еее = дК/др;, Р, = = — дК/дЧе (г =1, п). 23.194. Группа преобразований Ч; = Ч;(Ч, 2, и), б = 2, и лагранжиан ЦЧ, Ч, ~) удовлетворяют условиям теоремы Нбтер. Показать, что при каноническом преобразовании Че = Ч»(Ч, 2, а), Р = (дЧ/дЧ) р уравнения Гамильтона системы пе изменяются, т.е. уравнения Гамильтона инвариантны относительно предложенных канонических преобразований.
23.195. Задано преобразование Ч, = Ч;(Ч, Р, 2), Р; = р;(Ч, р,б), для которого существует число с ~ 0 и функция Р' = Н(Ч, р,2) такие, что выполнено тождество ) Р»ЬЧ» — с )' Р»бЧ» = — ог (Ч~ Р~ е). Доказать, что это преобразование будет невырожденным, т.е. что д(Ч, Р)/д(Ч, Р) ф О. 23.196. Найти общий вид функций ер, = Ф;(Ч, Р, 2), при которых преобразование Ч; = Ч;, р; = Ф;(Ч, Р, б) является каноническим. 23.197. Унивалентное каноническое преобразование с производящей функцией Ф(Ч, р, б) переводит систему с функцией Гамильтона Н(Ч, р, б) в систему с функцией Н = О. Показать, что функция Ф удовлетворяет уравнению дФ ~~- дН дФ ~~- дН дФ ~- дН де др, дЧ; дч, дре 'др, 2.
А налитинеекал механика 200 8 24. Уравнение Гамильтона — Якоби 24.1. Составить уравнение Гамильтона — Якоби, определить его полный интеграл и найти закон движения материальной точки массы т в однородном поле тяжести; а) в декартовых; б) в цилиндрических координатах.
24.2. Составить уравнение Гамильтона — Якоби, определить его полный интеграл и найти закон движения свободной (при отсутствии сил) точки массы т при следующих начальных условиях: х(0) = хе, у(0) = уо, х(0) = хо, ра(0) = тиоа, ри(0) = тиою р (О) = пегою. 24.3. Методом Якоби найти в квадратурах закон движения математического маятника массы т и длины ю. 24.4. Составить уравнение Гамильтона.
Якоби для одномерного линейного осциллятора (плоский маятник при малых отклонениях, колебания груза на пружине, 1 С-контур). Определить его полный интеграл и найти закон движения. 24.5. Лагранжиан двумерного осциллятора имеет вид рпр Др + пнуа ср Др + еауа а 2 2 Составить уравнение Гамильтона-Якоби осциллятора. Определить его полный интеграл и найти закон движения, если заданы начальные координаты и скорости. 24.6.
Материальная точка массы т движется в поле центральной „„ю .„,р„,ю и = -р р... = ррРю р ю Р р р ю (ньютоновское или кулоновское взаимодействие). Методом Якоби найти в квадратурах закон движения точки. Использовать сферическиекоординаты. 24.7. Используя условия предыдущей задачи, найти уравнение траектории движения точки.
24.8. Частица массы т движется в потенциальном поле и=- .р,юр...=юеююр'юе, (суперпозиция центрального кулоновского и однородного полей). Найти полный интеграл уравнения Гамильтона Якоби частицы. (Эффект Штарка.) 24.9. Материальная точка массы т движется в центральном поле с потенциальной энергией П(г) = — р|(г+ уэ(гз. Составить уравнение Гамильтона Якоби для этой точки, найти его полный интеграл и получить из пего уравнение траектории точки. 12 1 Уравнение Гамильтона-Якоби 24.10. Материальная точка массы т движется в потенциальном поле О(е) Ф(р) П(г~й~9) =%г)+ 2 + а г гв1пэ где г, й и <р — сферические координаты, а Гь(г), 0(й) и Ф(<р)-- заданные функции.
Найти полный интеграл уравнения Гамильтона— Якоби для точки. 24.11. Материальная точка массы т, движущаяся в плоскости, взаимодействует с двумя неподвижными центрами А и В, расстояние между которыми равно 2П Потенциальная энергия взаимо- и и. р„„, и= -(п~„-~ь/„),,и. „= Ь:~Г+и', „= и "н" и'и и ки, а 11 и 12 постоянные. Найти потный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. Указание. При решении использовать эллиптические координаты Р„д, связанные с декартовыми координатами х, р равенствами х = = 1сй ссоэд, у = )эЬРэ1пд.
24.12. Точка массы т движется по гладкой сфере радиуса г в однородном поле тяжести (сферический маятник). Составить уравнение Гамильтона — Якоби, найти его полный интеграл и получить закон движения точки в квадратурах. 24.13. В наивысшей точке гладкой сферы радиуса г проделано малое отверстие, через которое пропущена гибкая нерастяжимая нить.
К концам нити присоединены две материальные точки массы т1 и т2. Первая точка остается во время движения на поверхности сферы, а вторая движется по вертикали. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона †Яко для этой системы (см. рис. к задаче 12.51). 24.14.
Две материальные точки массы т и М связаны гибкой нерастяжимой нитью. Точка массы т может двигаться по гладкому горизонтальному столу, а точка массы М находится на свисающем конце нити, которая пропущена через небольшое отверстие в столе. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для этой системы, если точка массы М может двигаться только по вертикали. 24.15. Модель двухатомпой молекулы может быть представлена в виде двух материальных точек одинаковой массы т, соединенных пружиной жесткости с (в пепапряженном состоянии длина пружины равна 1о). Найти закон движения молекулы при помощи уравнения Гамильтона — Якоби.
Указание. Использовать следуюп1ие обобщенные координаты: хм х2, хз —. координаты центра масс молекулы, О, ~р —. углы широты 2. А налитическал механика 262 и долготы, определяющие положение оси молекулы в пространстве, и г — расстояние между атомами. 24.16. Сила взаимодействия двух точек массы т~ и тз обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (ньютоновское или кулоповское взаимодействие).
(Задача двух тел.) Найти движение системы методом Якоби. Указание. В качестве обобщенных координат взять координаты центра масс системы л, у, г, расстояние г между точками, а также углы широты и долготы 0 и у, определяющие в пространстве положение прямой, соединяющей точки. 24.17. Составить уравнение Гамильтона — Якоби, определить его полный интеграл и найти закон движения однородного стержня массы т и длины 21 в однородном поле тяжести. 24.18.
Однородный стержень массы т и длины 1 движется по гладкой вертикальной плоскости Осд. Плоскость вращается с постоянной угловой скоростью ы вокруг неподвижной вертикальной осн Оц. Найти относительное движение стержня методом Якоби. 24.19. Симметричное твердое тело, имеющее неподвижную точку, движется по инерции (случай Эйлера). Методом Якоби найти движение тела в квадратурах. 24.20.
Симметричный волчок массы т движется так, что его точка М, лежащая на оси симметрии, во все время движения касается гладкой горизонтальной плоскости. Расстояние от центра масс С до точки И равно 1. Методом Якоби найти движение волчка в квадратурах. 24.21. Тяжелое однородное тело вращения массы т движется без трения, касаясь неподвижной горизонтальной плоскости. В сечении тела плоскостью, проходящей через ось симметрии, получается гладкая строго выпуклая кривая с непрерывно меняющейся кривизной.
Расстояние О М от центра инерции тела до горизонтальной плоскости равно л(0), где 0 угол между вертикалью и осью симметрии тела. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, если главные центральные моменты инерции тела А = В ф С. 24.22. Методом Якоби найти движение системы, лагранжиап которой в сферических координатах имеет вид 3 — — (у ~ + г~0з + фзг~ зш~ 0) — фЛсоа0 где Х постоянная величина. (Заряженная частица в поле магнитного монополя.) З 24.
Уравнение Гамильтона-Якоби 263 24.23. Составить уравнение Гамильтона" Якоби, определить его полный интеграл и найти закон движения системы, лагранжиан которой в сферических координатах имеет вид А = — (г'+г 0'+г 4у з1п О) — а,14(0)ьу — 612(0) — —,.6(0) — 14(г). 24.24. Многомерному возмущенному осциллятору соответствует гамильтониап 1 " 1 Н = — ~ анб(1)рер + — ~ с41(1)д;д + ~ А;(1)р;+ ~ С,(1)д;. Найти уравнения, которым должны удовлетворять функции ере (ам...,а„,1), ~рь(ам...,ан,1), Г(аз,...,а„,1) для того, чтобы функция 1 94УЧЯ1 + ~%Ч4+ 4 2,, Ц1=1 1=1 была полным интегралом уравнения Гамильтона Якоби этой системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
