Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 49
Текст из файла (страница 49)
д= )1)г)ад(г)пг,)д )дд,дг ) — -Л)д)дп. 2. Ан лнтннеенан механики 2ТО 24 89 Я = — ~„де/!® — ~ а,д; — ~ ~(Л(й)+а!)~ей. !=1 е=! е=!! 24.90. Функция Я(д;, 1, и;) является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби —,, +Н(де,—,~) =О. дЯ дЯ Построить уравнение Гамильтона Якоби АН О!. ~ .~ =О, полным интегралом которого будет функция Я! (О;, и,, 1) = Я(/(0е,1), а,, 1), если преобразование д, = /!(0э, 1) (е, у = д, п) является взаимно обратимым. 24.91. Используя решение предыдущей задачи, показать, что вычисленная в задаче функция Н!(О, ре, ~) будет гамильтопиапом системы, в которук! переходит исходная система после канонического преобразования 24.92.
Гамильтопиап Н(д;, р,, ~) является однородной функцией первой степени относительно обобщенных импульсов р;. Показать, что если Я(д,, а,, 8) — полный интеграл соответствующего уравнения Гамильтона — Якоби, то д!(Я(де, а;, ~)) тоже будет полным интегралом, где <р(Я) —. произвольная функция, производная которой пе обращается в нуль. 24.93. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона. Якоби системы с гамильтонианом ер(Н(д;, р;)), если функция Я = — /(и!)г+ + г'(дь, а;) (е, Й = 1, п) является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби системы с гамильтонианом Н(д,, р;). 24.94. Механическая система имеет лагранжиан Ь(де, д„1).
Показать, что в' — Я(де(н а, О.), а;, ~) = Ь(д!(~, а, 0 ), д,(~, и, 0 ), 1) (г,у = 1, и), где Я(д„и;, 1) полный интеграл уравнения Гамильтона -Якоби этой системы, а зависимости д; = де(е, а, !1 ) определяются из соотношений дЯ/да! = О! (! = 1 и ). 24.95. Гамильтониан канонической системы имеет вид Н = Н!(дб Р') + Нз(ды р ), причем известен полный интеграл Я(д;, а,, ~) уравнения Гамильтона Якоби дЯ/д~+ Н!(д;, дЯ/дд,) = = О. Исходная система подвергается унивалентному каноническому 124. Уравнение Гаееиаътона-Якоби 271 преобразованию с производящей функцией 8'(у„уы 1). Найти функцию Гамильтона и выписать канонические уравпепия в новых переменных у,, р .
Используя схему решения, описанную в задаче 24.95 (проводя каноническое преобразование, составляя капонические уравнения в новых переменных, интегрируя и переходя к старым переменным), найти в задачах 24.96 — 24.98 движение у(~), р(~) систем со следующими гамильтояиаиами. 24.96. Н = ру~ф+рЧ(е). 24.97. Н = ру~Я+ у"рц~(1). 24.98. Н = р у ~(1) + у" р(С). 24.99. Задан полный интеграл 8'(у;, а;, ~) уравнения Гамильтона-Якоби некоторой системы. Из соотношений д,у/ду, (1 = 1, п ) определяются первые интегралы ~,(уб, р:, 1) = сй канонических уравнений, соответствующих этой системе.
Показать, что эти п, первых интегралов находятся в ипволюции, т. е. что скобки Пуассона от них (~~, гь) = 0 (2, Й = 1, и ). 24.100. Канонические уравпения гамильтоновой системы с п степенями свободы имеют первые интегралы ~;(у., р, ~) = а, (г, ) = = 1, п ) . Эта система интегралов одиозна шо разрешима относительно обобщенных импульсов р; = Р',(у., и., ~). Показать, что равенства ЕЕ(уб, аб, 1) = дБ(у, аб, 'е) (ду;, где Ь' = 'о'(уб а;, 1) некоторая функция, имеют место в том и только в том случае, когда первые интегралы 1д, 1з,..., 1„иаходятся в инволюции друг с другом, т. е. когда ~,(уь, рь, 1), ~.(ур, рь, 1) = 0 (г, ) = 1, п ), где ф, 1" ) скобка Пуассона функций г, и ~ ..
24.101. Для канонических уравнений некоторой гамильтоиовой системы заданы п первых интегралов ~,(уб, р, 1) = сй (г, ) = 1, п ), (дЛ1" находящихся в инволюции, (~;, Д) = О, причем дел ~з — ~ ф О. Каким образом яа основании этих данных получить гамильтопиан системы? Найти главную функцию Гамильтона И' для систем, описанных в задачах 24.102-24.105. 24.102. Система материальных точек при отсутствии силового поля. 24.103. Материальная точка в однородном поле тяжести.
24.104. Одномерный линейный осциллятор. 24.105. Материальная точка, движущаяся по гладкой горизонтальной прямой, которая равномерно вращается вокруг вертикальной оси. 2. А налит ическал механика 272 24.106. Непосредственным вычислением убедиться, что главные функции Гамильтона, полученные в задачах 24.102 -24.10б, являются полными интегралами соответствующих уравнений Гамильтона.
Якоби. Переменные дейстпвие — угол Исследование консервативных систем, совершающих колебательные движения, часто проводят в специальным образом построенных канонических переменных (Пои) (г = 1, п), называемых переменными действие — угол. При этом, помимо всего прочего, предполагают, что переменные разделяются, т. е. что полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби можно искать в виде д =- до(ц а,) -~- -'г 2 Ьь(ую аь аю, и ). В этом случае переход к новым каноническим перев=г мениым, разумеется, не дает никаких преимуществ.
Однако если рассматривается система, в которой учитываются малые возмущения, то переменные действие— угол невозмущенной системы являются адиабатическими инвариантами, т.е. остаются инвариантами при медленном изменении параметров системы. Кроме того, в этих переменных проще всего формулируются ушювия квантования в квантовой меканике. В шзучае, когда (а,(1), р,(1)) являются периодическими функциями (либрация) или импульс р, является периодической функцией координаты а, (вращение), переменные действия вводятся равенствами 1 ф р,бо„ 2х~ где интегрирование ведется по полному периоду изменения импульса р„определяемому соответствующей координатой а,.
Если полный интеграл системы известен, то р, = дд/дд, и б = и;(ам ам..., а„) (1 =-1, и). Из этих соотношений находятся а, .=. Г,(ро Е, ..,, 1„) и функция (укороченное действие) У = = 2 дь(оь, У~(1г),..., Г„(1„)) берется в качестве производящей функции сваг=1 бодного унивалентного канонического преобразования от переменных (чь р,) к переменным действие — угол (б, с,): ~У ~У р,= —, ч,= — — (1=1,п). * 24.107.
Функция Е(д;, а1,..., а„1, Е) (укороченное действие) является полным интегралом уравнения Гамильтона -5! хоби Н (д1, дЕ/до1) = Е обобщенно-консервативной системы. От постоянных (а1, а2,..., аи 1, Е) делается переход к постоянным (11,12, ..., а„) с помощью преобразования ов = Г,(11,..., Х„), Е = = Л~(11 ., 1и) (з = 1, п — 1). После подстановки этих соотношений в функцию о' получается функция Я(д;, Х1, 12,..., «.„). Рассматривая У(д,,ас) как производящую функцию свободного унивалентного канонического преобразования (с),р) — э (Х, р1, найти гамильтониан системы в новых переменных (а, р) и проинтегрировать соответствующие им канонические уравнения. "З 2б.
Методы оптимального управления о задачах механики 273 24.108. Показать, что если переменная д, является циклической, то переменной действие будет 1; = р,. 24.109. Найти переменные действие -угол гармонического осциллятора, для которого Н = рз/(2т) + сдз(2. 24.110. Найти выражение гамильтониана кеплеровой задачи в переменных действие — угол для случая финитного движения точки. 24.111.
Функция Лагранжа 1 (д, с), 1) является строго выпуклой функцией обобщенных скоростей. Функция 5(д, ~) является решением уравнения Гамильтона -Якоби. Показать, что вектор-функция д(~) будет движением системы, если при всех ~ выполняется соотношение 45(д(~), 1) (а = Цд(~), д(~), ~). 24.112. Показать, что главная функция Гамильтона Иг(г, а, 2а, аа) выражается через полный интеграл 5'(г, д, и) соответствующего уравнения Гамильтона- Якоби следующим образом: И'(~, д, ба, аа) = 5(~а, да, п) — 5'(г, а, сс), где параметры а могут быть исключены при помощи соотношения д5(~а, аа, а) /да, = = д5(~, д, и)/дпь 24.113. Доказать, что главная функция Гамильтона И'(~, а, ~а, да) существует при всех а ~ аа и 1 ~ 1а в том и только том 4дЬ 01 случае, если краевая задача для уравнений движения — —, = 9 %(га) = %а, чг(г1) = дп имеет единственное решение при лгобых Ча, аз и ~1 т= ~а.
8 25. Методы оптимального управления в задачах механики Задачи настоящего параграфа составлены в расчете нв читателя, владеющего аппаратом оптимального управления, в частности, процедурой и идеями принципа максимума 20 С. Понтрягина и методом динамического программирования Р.
Беллмена. Помимо решения задач механики методами оптимального управления, цель раздела состоит и в том,чтобы продемонстрировать роль методов аналитической механики в теории оптимального управления. 25.1. Показать, что ограниченным управлением, т. е. моментом вида М = и(1)К, где К кинетический момент, а ~и(г)~ ( а, нельзя за конечное время остановить твердое тело (А ф В ~ С), которое вращается по инерции вокруг неподвижного центра масс.
25.2. Твердое тело вращается по инерции с угловой скоростью ша вокруг неподвижной оси; момент инерции тела относительно оси вращения равен г'. В некоторый момент включается двигатель, развиваюьций относительно оси вращения управляющий момент М(г) (~М(1)~ ( Ма). Указать на плоскости ш1 область, в которой могут находиться значения угловой скорости при всевозможных законах изменения управляющего момента (область достижимости). 274 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
