Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 53
Текст из файла (страница 53)
д. Необходимо заметить, что анализ этих вопросов имеет большое значение для механики. Это связано с тем, что предельные теоремы о равномерной сходимости ломаных Эйлера к решению дифференциальных уравнений движения имеют чисто теоретическое значение, зак как при использовании ЭВМ этого предельного перехода не производится, а в качестве приближенного решения рассматривается соответствующая «ломаная» с достаточно малым, но не равным нулю шагом интегрирования 6. Одним из возможных методов получения дискретных моделей служит вариационный принцип и Гамильтона, в котором действие И' = ( Ь(е, а, 0) Ж заменяется конечной еа 128.
Дискретные модели мехаиичесиих систем 2щ которые можно интерпретировать как дискретный аналог уравнений Лагранжа. При построении дискретного аналога уравнений Гамильтона обобщенный импульс на такте е вводится в соответствии с равенством дд где 1, определено в (1). 28.1.
При численном интегрировании канонических уравнений движения одномерного осциллятора Ч = дН(др, р = — дН~дд, Н = = (99+ рв)/2 используется дискретная схема Эйлера: ое.г1 = ос+ 6р„ре.г1 = р, — 6д„е = О, 1, 2,..., (*) где 6 -- шаг интегрирования. Найти закон изменения полной энергии Нл = Н(де, Р') в силУ РгкУРРентных гоотно1пений (е). 28.2. Найти закон изменения фазового объема г', в дискретной схеме численного интегрирования по методу Эйлера уравнений движения осциллятора де г1 = д + 6Р, Р г1 = Ре — 6Ч .
28.3. Дискретная схема Эйлера интегрирования уравнений осциллятора, описанная в задаче 28.1, является частным случаем схем вида (пел 1 — г1е) ~6 = пр,г1 + (1 — а)р„О < и < 1; (регг — р,)/6 = = — (Хдеа1+ (1 — Х)де], 0 < Х < 1, зависящих от двух параметров и и Х. Найти условия, при которых в этой схеме сохраняется фазовый объем. 28.4.
В условиях предыдущей задачи найти соотношения между параметрами и и Х, при которых в дискретной схеме Эйлера интегрирования уравнений движения сохраняется полная энергия осциллятора. 28.5. Используя дискретное действие (1) и условие его стационар- ности (2), выписать соответствующую модель механической системы с и степенями свободы, функция Лагранжа которой 1 = 6(1, о, д).
28.6. Используя дискретное действие (1) и условие его стационарпости (2), построить дискретнусо модель осциллятора, считая шаг интегрирования 6„постоянным (6, = 6). 28.7. Показать, что в дискретной модели осциллятора, описанной в предыдущей задаче, сохраняется фазовый объем. 28.8. Проверить, сохраняется ли полная механическая энергия в дискретной модели одномерного осциллятора, построенной в задаче 28.6. 28.9. Материальная точка массы т движется в плоскости хй в поле центральной силы. Потенциал поля П = а,с ъ/Р+ уз. Построить дискретную модель этой системы в координатах х, у, используя дискретное действие (1) и условие его стационарностн (2). ш* 292 2. А на.литинеекаа механика 28.10.
Составить дискретную модель системы, описанной в задаче 28.9, в полярных координатах г, ~р. 28.11. Известно, что для системы с функцией Лагранжа Ц$, 9, д) время можно включить в число обобщешп~к координат, если в выражении действия по Гамильтону И~ сделать переход к новому времени "с так, как это описано в задаче 21.29. Исходя из новой функции Лагранжа 1(1, д, д'(И)~и = 1(1, ч, 1', д') (штрих-- производная по т), выписать уравнения в конечных разностях по методу, описанному в задаче 28.5.
28.12. Используя уравнения в конечных разностях, полученные в предыдущей задаче, составить аналогичные уравнения для одномерного осциллятора (1 = (д~ — д~),12). 28.13. Показать, что в дискретной модели, полученной в задаче 28.12, сохраняется полная механическая энергия осциллятора. 28.14.
Показать, что положение равновесия д = р = 0 дискретной юге осциллятора 9,л1 = 9. + "р„р.е1 = р — 59 построенной по схеме Эйлера, неустойчиво по Ляпунову. Указание. Найти расположение корней характеристического уравнения относительно единичной окружности. 28.15. Обсудить утверждение предыдущей задачи в связи с задачей 28.1 и методом функций Ляпунова. ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 1.
Кинематика и динамика 2. Аналитическая механика 1. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА 3 1. Движение точки 1.2. ю, = О, в„= ах~, р = от 6~/(ав'), 1.3. Если Ь = ар — 81 ф О, то (рх — Оу) — (ау — тх) = Ь~, (ау — тх)г — (рх — Оу) = Ь~в~. Если г1 = ар — Оу= О, то рх — Оу = О, рх — Оу = О. 1.4. ю„= в~т, юо .= О. 2а 1.5. ю = е 1.6. В точке сопряжения х = а должны выполняться условия 7(а) = О, ~'(а) = О, 1'о(а) = О. 1 7 т=тоехр((Π— до)сойа).
1.8. Винтовая линия на круговом цилиндре, ось которого параллельна вектору а. и — 1 й 1.10. о =- п еоссба г г 1.11. х т ( у — — ) = —, в = аи. а) а 1 12 юо 86еоо/а~ 1.13. ю =со, ю,=е,т=т/е. 1 совр 1. 16. х (Е) = — соя (по + О) + С ягп (ай + О) -~- хо— а а 1 я!и О у(с) = — я|в (ас -~- О) — ясов(ас -ь О) о уо— а а 1.17. Парабола у — уо = а(х — хо) /2 в системе координат, повернутой на угол ' [ у — уо ] [ я!па сова ] [ а6~6~/2 ]' 1.19. ю = — сс/(рг ),во — — О. 1.20.
ю = — с~(хат+(1 — в )р~/(т~р), 1.21. т =-то-Ра(в — Во),в,.= — т ~(2/т~-Р1/а ),в„=- О. т т2а т -~-2а 1.22. ю.= --я — — —. в = — — — — —. от ь'аг-ттг а г Ы-'ггг 1 1 с 1.23. — = — — — (Р— то). 'т то а г 1.24. р = )тхъ~ г 1.25. р = а)т х г( 1. Кинематика и динамика 296 2 2 ° 2)312 !г(2гбр Ч- гй) — ти(г'. — ти~) ! 2 2 2 3)2 1.28. р =- (ю ! Ч-2еою!сояаяео) ЮЕОЯ)на я!п)р 2 Н 2О 1.29.
г =- Н,, ! =- — —, ю =- — (1 (1-Бсово) 3 е Н 1.30. В системе отсчета, связанной с точкой ч- соя)р), А прямая )о т = го+ (01 соя)р) — егсояог)1, Т =- — Е) СОЯЕ1 ) П2СОЯЕ2 г япоа [ 33(О,)2) 1"')"' 1.31. — = —.— ' ~ — ' — — -~ то в!пе [!В(ео))2)! и1О2 . 02 1.32. ю = — -япе, р =т —,—. т ' О) в!не 1! 2 1.33. ге " [33 — ) в!по =сопяС. 2) то [02 ) ег -!- сов (ЕО -)- б)) — т [ег ) 61 -)- сав (Е -!- 6)) 134 1 — 10— ; гб Е то, )ро — текущие 01 [(ег))е1) 1) сОБ6 и начальные значения полярных координат в системе отсчета, движущейся с целью.
1.35. В случае удаляющейся цели: 40)егяпбра а) Ип) ю„= О; б) !пню„= ; в) !пню„= -Есо. т-)0 о-)0 то(1+сояфа) ю ба В случае приближающейся цели; 40)пг(1 + сова)о) а) !ппю =О; б) !ппю = — — — — 3 -, в) !ппю„=оо. о-)б ГоЯП )Ро 2 1 б! 2. 1 32. а) е = у)гг-Ртгиг >32, ю — Р то2,гв (тгй) ю 1' )й б) — тбкй Г 3., — "— В ' )'), 2' 2 1 б! 2. 2 юа = — — (г е) — тй в!песове,... юг =, — (г 33!п е). 1' )й гае др ')' — )е е))б* г) = .2 —,тг,,й .) = аг(БЬ' и+в!пге)(112+ег)+" — ! — )).б ° .' .)')- б. ).а °; )!.
.2 2 'е — — ))б' ° )б)-б и) б), .=б. 2 2 ,„'„„„.*. 11) я 1. Дяожеиие таочии 297 о'ав+вв 14Р отав -р св ( 4Р 1 вор = — — (а с Ф). сгс 4Р е) о=а (яЬ и.вяРп о)(ивв-дв)-Р~рвяЬ пап~о; ('р,в'. яг.)е-.я-~.('* т~,*яг.)), г„ .= — ---'- — — -( — рг ~яр 3я- ' а' т ' я' >), во„= — (ояЬ ивп о). яЬия~по ~й ж) о=а (яЬви+спяво)(ивв-дв)Я-~рвсЬвия!пво; (,— 'р.г.~..т.>я-в.а.уг~.*от.;.*с), г„т Й вЂ” (-'рв* -* х~ ° - -х" т-'* я'с), оряЬв и -г сояв о а ср вя„= (осЬ ияРп о).
сЬияпо сРР 1.39. Й,= —,йр= в,й,=— то~(оч -рг') т4(2о — т 4 ) 1ттов о Н д(о~/2) д(ов/2) 1.40. — =О, у=2,3, гдео =~~ Н,д,, юг=сопри д9, дй сс90 1.41. Ь = — е,— — ее т о ао(р) 1.42. о = оссхр(сФКа(Π— Ос)), и~ = ярпа сй 1.44. и = е 0~ -Ревя яРп 0 . о вр — (вч о)о о х и г 1.45. в = —, и =- , Ь=- о' о(охот! ' (охвр( 1.47. р.= у~ос х г) 1. Кинематика и динамика 298 9 2. Сложное движение точки 2.1. ! = оя!п(к/и) =й аа ° р, .о= ° ° ~ 2.3. шд = йгвад-аггяая!п йя-с2айвгйгярпй!яров!. 2.4. о = [оа таг! +! вгсоя а] в = [(ша — !а, — !оЬ)сояа — 2човгяпа] т [(юо — !в,)я!па+2иовгсояа] +[2вг(вг!арпа — сосояа)] .
г °, г г 2.5. ог =из= вгйгяоо от=оа= вгйгд со' юг =аз= г.в. =4~Я .,*р дад-а ]вхч] 2.7. В цилиндрических координатах т = г — (д — яг), (а в ч а ха г (в — ао); в, = ъ'РР+4ог. ог О 2.11. ог = о, иг = ю~=-й ' 2.12. с = фа!+со) -~-сотворя, в = а(((в!+2са) ясов ! . 2.13. юм = ~[(вг таг) !сояу-рагп] +аг! яп ягт4вгомг! ярп а( ( г г г/г (4а к / к г с' 2.14. од = — 4йомро~2а — — йамро) соя— ог а 2) юд = ~ (( — — охра)'йч- йва~ро~сояа1 + (!2а+йа аая|па) ) г ак тдеа= г йа 8 2.
Сложное движение точки 299 2.15. е = а ар 2.16. е = — 4~-огвгргсоягвя, 2 ю = — (2 — Е~ав~рг сояг вр) Ч-Е~ов~яг(4 савве — вр обмоя)г. а г, г 2 1 а', г, 2.17. ес = г, ео —— гй; юг = т' — тй, юо = г Р Ч-2тРР = — — (г й) .
гЖ 2.18. См. ответ к задаче 1.37,6. 2.19. ел = вР юпео, юл = ~ 2.20. ел = 2.21. ев = ив= г г 2.22. е=згео+вж; ю = — вх— гг г г г а сох (144а х ) г 2аео 2вео мо —— г (~ Ч 4агхг) ' ь'1+ 4агхг г г иеВ 4оиег(9а — 2ир) 2.23. ем — — (и+о) + - — (ае — 8аи+2и о), ю~м — — — з —.
а(4а — ир) 1(4а — ир) М~! гг г 2.24. е =, и = — е~аг т(юоа — ег) йг,где а — расстояниеточки рельса рр ' 11г от точки касания колеса; а ) О, если колесо накатывается на точку, а < О в противном случае. 2.25. е = вг, ю = в г !(РС вЂ” т). ег 2.26. ю„= ггег(т — Люпо)гтйг(еггсояо+ег(ррюпр — 2г))г. К г и я+'"'го!О~~' чч"'ЬВ 2.27. е, = 2Рсоя(а/2) + й ' 2Рсоя(а,Р2) Ч- й 4й в Ряш(а,Р2) 4й в 1 (21соя(а/2)-~-й) ' (2гсоя(а/2)Ч-й) г 2.29. т = вр, и = — с — р+ пр, р = р ' )нхт( а+ ег 2.30. т = к а — ег 2.31. г = тоехр((оо — Е) 13(я/и)). 1. Кинемапгика и динамика 300 2.32.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
