Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В плоскости хгхг имеем 2.33. В системе координат хг, аг, хя имеем ОА юла ~ юла (еОА-~-2в а ягпвя) т = в асовв1 сова, и = — авгя1пв1 сова а соя в1 юла — во юла (ОА -1- аюпвя) О А = е -1- а юп вя. 2.34. и = гтв'яг т(вВ->со)г 42вя(вй-Ьео)сота, где и = иоя) Л 2.33. где Ю = воя)(2й). 2.36. и = (Втов совая — 2юояя1п — ) +воя юп оь гГ, ° гсггог 2) ю = ~В( — Еовсоявя) — шоя1пе~ +(2юоя1п — +Вв тоя1пвя), г о1 где е = ео я1пв1 — — . 2й ' г г г г г г 237.
и =. (вгаг -~-вгаг-'т2вгвга~аг совр)) юп Е. 2.38. е'=с [ г ( ) ] 1( 4-вт) ю~ = ( г 1-в т-1-2в — ) + 4в с [ г — ( — — — ) ]. то (в~ ь вс~) г 2С рте то одвото (вг -1-в;)в»го -~-2Све)то 0 С +тово то — тово тдо то = р)(1+ с), в; =вгя1п9я!пвгй в„= вгюпясоявг1, од = юг -';вгсоя9. Вг ) а) г 2.40. оо =2ио юп(а)2), Ья = [ 14- ( — ) сЬ вЂ” 1, На — Вг 2.39. В системе координат»,П,», в которой ось О» направлена по радиус-вектору г, ось О» перпендикулярна плоскости орбиты по вг, а ось Оп направлена так, чтобы образовалась правая тройка осей, получаем 3 3.
Плоскопврвгглельное движение твердого тела 301 3 3. Плоскопараллельное движение твердого тела 3.2. Окружность (я+а~о/ (1 — й~)] + у = а~1~/(1 — 1 )з в системс координат связанной с телом так, что А(0, 0), В(о, 0). иа гй — Р 3.4. в = Я вЂ” г Р— й 1 3.6. ОА = — в х (та — тл). 3.7. 0 < ~ас~ < е/ зт(и!2). йгг — ей( — 1) гй йи гй где Л =2~с, — г . =1 . †...., ..
- ~~ ...г ( Л ис =в1й+ вйгй, ис = (вйгй) г(в1й); 2 з й где 1й =-22,' г, — гй — гй. г=й з Риз з из / %11з Рил — ав Е 1л+1в1з 3.11. ез = [.— — — ва~г+1соз -)] -~- ~ — — — 10 — Ч-ва — — — 1 2 ( 2Л ( 2 3.12. е = гасов(е)2). 3.13. Решение. Движение мгновенного центра скоростей по неподвижной центроиде мОжно представить как сложное: относительное движение — движение точки по подвижной центроиде, переносное движение — движение точки вместе с подвижной центроидой (т. е. вместе с телом). Поэтому для абсолютного ускорения мгновенного центра имеем н = в„-~-н -Р% Проецируя выражение для ускорения на направление орта касательной к центроидам т, получаем м,т = в„т -~- в, т -~- ю,т.
Из условия отсутствия скольжения следует, что и т =- в„т. Кроме того, к,т = О, таккакв, =2вх%„=2(вхт) (т, хт). Следовательно, в точке касаниям,с=О. По определению переносного движения %, в точке касания совпадает с абсолютным ускорением ив точки Р тела, Поэтому из последнего равенства вытекает, что в р направлено по нормали к центроидам. 3.6. „. =. в [1Ч- (-1)" — ' гй 3.9. вй — — в [1 Ч- ( — 1) йгй гй йей — вй (-1) гй й гй — аа( — 1) гй й ~'1 ей=с[1-1 ( — 1) гй „=,[1- (-1)— й гй гй П Кинематика и динамика 302 3.14.
»и„= — — =з — —, ~»с, = » юл — ===~- — г РА) )РА! )~ А )г 3.15. р = в — ==~ —. ~(вл РА)~ 3.16. Прямая, соединяющая мгновенные центры скоростей и ускорений. 3.17. Скорости точек в обоих случаях одинаковы; юл /юл — — 1»-Х, и>в /юв 3.18. ОА = (в (но — вл)»ах (но — ил))»(е»-в ). (в~л — юв)АВ АВ х (в'и — в'л)~ 3.19.
в =,е= (АВ)г 3.20. и = в Р-- тг, ю = ег(В»- тг) 4 (в'(4)(тг»-4В) — еоггтй — — о:а))' -[:тг й юг = й»,»((с — »ой)г — вгйи1)г»-вгйг(2и — вй)г; /4(и вй)г Ц( в»)г й — г '(2(„вй)г иг)г ~ гигйг»г. ю» = й ((и — »ой)г».вгйи1)г-~-огайо(2и — вй)г, вгй (й — т)» 3.23. юс= й т г г' а' — (К- т)' (9 ) '. 3.24. ис = и, юс = г 3.25. ю. =, ~в»-у — уй~, ю, =- (юс(в»-у ) — исв).
Кг вг» уг й,увг»»уг 3.26. Окружность радиуса К/2 с центром в середине отрезка, соединяющего центр диска и точку его касания с прямой (за исключением самой точки касания). 3.27. р=2г»вг».у 3.28. Прямая у = 0 и окружность в~ »- (у — т)4) = т (16 (за исключением точки в =О, у =0). 3.29. им = вв, юм = в и ййг»-вг, где в — расстояние от точки касания прямой — г г с окружностью до точки М. К.О ий 3.30.
ид =2и — зш —, юл = »)тг-~-4й(К вЂ” т)зш~(6/2). 2 ' тг(К вЂ” т) 3.31. ид = 2(й — т) вяп —, юл = в (й — г) 2' й т' + 4й(й — т) япг(6/2). 34. Движение твердого тела с неподвижной точкой 303 Зг . 0 г0 еор 3.32. е= ее~-Г4а(й — г)Яп- ~а(й — т)Яп — +еосоз(- Я -- — — Е)1., 2 (2 р г' г ео гее 1 2, г(й — г) юо — — совг — Г) — а (й — т)яп1р--а яп(0 -10), Р Р й г (й — т) ю =.— — яп — 1 — а (й — г)савв+в сов(0 — Е).
Р Р й (ев — ъд) 1г (ъв — ъд) 11 З.ЗЗ. а1 =,, Сов =, где 11 = А(', 12 = ВС, 11 12 вг по ' 1112 яп 1р ( вв юд) '12 + а111!2 савв аггг г1— 11 12 Б1П е г г (юв 'Яд) ' 11 "01111 — в211й СПБСР гг =— 1112яп1р а яп о11-Г. Ь сов ар 4 ° 2 4 2 г.г г г а вш а146 сов а1 е6 еа а Ь вЂ” 6 (а — 6 ) ПЬ т 6 (а — 62) (ъ о) ) ъ' "1 (ъ о)р~ г З.ЗЗ. е = во е сов (е2 — а) е соБ (е1 а) 3.39.
61 = . Фг = 11 взп (Ег — Е~) 12 01п (Е1 Е2) е сов (ег( й — 1рг) . е сов (СС,Г й — Е1) 11 Б!п (Е2 — Е1) 12яп (Е! Ег) 3.41. ед(о) =- (е/й)ъг4йг — вг, юд(в) =- его ргй'. 3 4. Движение твердого тела с неподвижной точкой. Общий случай движения твердого тела 4.2. е; = ог. 1 г — — -11 4.3. Сз = — — ((ъг ОАБ) ОА14 (ъг ОАз) ОАг!. 4.4. в= вгД-2а~вгсовОД-в~, в=агагяпв. а а 4 5. Сс = ев = — — (вг двг савв), ев = ег = = вз р 21оггогсозвд-04; ъ'2 ъ' 2 а юс = юв = = ъ'2 2 24 ю„=юв = — (в, +2агагсовОД-в,).
~2 2 — г 4.6. Сд =-О, ев = Звгт; юд =-ЪЗа(т, игв = Ъ21агт, 1. Кинематика и динамика 304 «. =Д ь е <, = Д 2и 2ч, 4.8. й = во- — 1, е = — (Ос — а1). 1' ' 1' 4.9. чо = 2ч, чв = — (а1/с)ч, чс = (1 — в1<<(2и))ч; <чл = — (4ог<<12) [ОА -, '(1 — а1<<п) ОВ 1) юв = (4е~<<1 ) ОА — а~ОВ~, нс =- — (21 ) '(2е — а1)2ОВ . 4 10. в = ч<3в, б = Ч'З(ег +а4). юд =- тч<9аг4< 21<о4 юв = 2<13та 4 11.
ю'„Р = ю',о =- (аа14т) (а+си<2) чеа~-~-2т~; юм =-О, юц' — — (ага(2т) ч<аг 4-2 2 =-з ' <я гя 1 о и .=я' <з — <я <+о з, ='~А < 4 <о1 = и<з = 1' 2 з-в, ю2 = ю4 = — Й ог '(Вг ) 4.13. в=.а,-~-в„, Б=.Б,О-е„-~-а, ха„. Ю О вЂ” 1 4.14. е=) 2 в<хво. 4.15. е= ~ оь +~ ~аг хво. =2 о=21=1 4.16. х< = т (а<<а<в -~-аг<агз -~- аз<азз) 1 аг сове 4.12. — = —, где а — )('а< а< 1 — сов аврп <р о 4.18.
а) а„=Осанн';фвпев!п<р, <оо = ОБ1пн — ОБ1пОсовя<, а, =В<ачсовО; х2 = — 1' (а<за<2 -т агзагг з- аззазг). а* = Осояоо-<ряшвяш<р, а„= — Овп<рвОя1пвсов<р, <оо = 64-Осове; б) а =Осовев-дсоввв1пу, ае =Осояхо-усоввврп<р, аз — — <Р— <Рвпй, <о„= — О вп Е 4 усов О соя Е, а, = — ОБ1пн+фсоввсовоб в< =Π— Оврпй.
4.19. Локсодромия ФО(012) =-18(во,<2)екр(й(ч — Чо)), где й = а6(<1 — с) Ь с-~-а Н 4.20. В системе координат х,у,г(ось 02 перпендикулярна плоскости, ось Оу направлена по линии касания конуса с плоскостью) имеем ч = (О, О, ха), зз = ( — ха, О, — уа Фба). 4.23.
и = ю<(х — хг)<<(х< — хг) 4-юг(х — хг)<4(хг — х<). 4.24. Если О, х, у — произвольная декартова система координат на плоскости, а ч — угол между вектором ч и осью Ох, то искомые уравнения таковы: х .= и(С) саян, у =- е(1) Брин, ф.=- а(1) Сба. Окружность радиуса и<(айба). 24. Движение твердого тела с неподвижной точкой 305 4.25. а, =- а»А- г г , с, = 6 ап)1 4.2В. 11А = 4.28. а = а ~1((гг — гз) а)гг — ((тг — тз).а)го 4((гг — тз) х гг)а), где гг и гг— радиус-векторы, проведенные из третьей точки к первой и второй соответственно, а а = гг х гг. (к — чо)(вне) (ч — чо) а г (ч — чо) е (к — чо) ° в 4.29.
а —— з г г 7 г (ахе) (ахе) (вхе) (мхе) 4.32. в =- (т г)(г/ко-Ъ,|р). где р — радиус кривизны, а к — радиус кручения траектории. 433. и1во-— -ъ'2Й 6, гоп =тг2Й Ь, игв»=0, юв =2Й б. 4.34. ю = ь»бе /В. 4.35. юм = е . в ехв 4.30. В системе координат х, у, г с единичными ортами 1= —, г = —, к= е а са еху для точки тола с координатами х, у, г гг, = х ( — »14-х1с), ч„= х А-г =( еуг г г г — — — — а ) (х1-~- гй) — гг). х 4.37.
е = а114-оЬ) 4- аз11. 4.38. юм = Яа г, юн = 7ваг. тл АВ 4.40. ев = — ==я— АВ е 4.41. В системе координата, у, г, где ось Ог направлена по оси болта, ил ио» иог ило Ог= — =, Е=иА»=ио». ув — ул хв — хл ' тл х тв =-г гл х АБ~ 4.42. а) а = = — =~; б) в = 0 АВ 4 (1 — а), б = сопев тл АВ АВ 4.43. Уравнение оси винта имеет вид у = а~а/(а~ + йг), г = (й»»а)х, угловая айа СИ»РОСтЬ РаВНа г»саг гг'-йг, ЛИНЕйНаЯ СКОРОСТЬ— ггаго-Йг' 4.44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
