Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 57
Текст из файла (страница 57)
')Фата(хыпт — усовд) =та Ф. (й~( ' 2 ) (Мтт) х — тасовх+2таФв!пт = (т /Яр)в1пт, (М Ф т) у — тав1п(р — 2та() сов(р.= — (т /Яр) соь(р, 10.13 10.14 10.15 10.16 10.17 — 1,/; )дата(хыпт — усове) =та 0 — — т (И~( ' 2 ) Яр 1018. 1= ь — Ф 21п (1 т — '), где Ф(2) = ( — "ехр( — х /2)(1х.
т/ в 2( о 10.19. 0 = — ° 0) (0,-„)~" где Ь =- 4(1 ни -(- а; 1. Кинематика и динамика 320 .. (- (-,) ° (--Ф"-.")"" „, '(--(:;)(";.")'-'"-("Ю "" о= (оо — — ) ( ) з- — приО=О. 10.21. (М т т(1))й-~. — г '(т(1) ~ -Ь и(1) =- — (М 4 т(1))3, где т(1) д Й(1) 4т(1) 41~ 2 Ж = РкКгй(1), и(1) = -(Рдг/Рого) Ь(1) 10.23. т .= то /е, Р,„,„=- ти. 10.24. т = тоехр(ко/и — Ц, Р,„= пгоиехр(юо(и — 1). 10.25. т.= то/е .
10.26. Масса первой ступени должна быть равной гпг = М вЂ” тг, масса второй— .— -, - а ° г' (,я1тотгы;и- -,) 10.27. ~Мг-ьМгт г -'ст(1)) г + г г — Раи (1) =. (Мг-Ьт(1))ет Л~ ~ дс дс ~2 РК,~ + Мгд, дт(до = — Раи(1). го где п = (21г — Л~) / й~, р — плотность жидкости, оо — начальная угловая скорость системы.
,У ( (еп — ао) й 10.29. Ьт = — г ехр — 1~. яг( и ~к ~,но „О-, )) ) аоо'= (1 / 6(1) '1 .= — ав1пт — М1-Ьра(1) 1 —— '12 2 10.31. 1ра(КД) о1пе = О. 10.32. Изменение угла т будет описываться интегродифференциальным уравнением е1 ~ где~ 41 [ 41~ — т(1)12 — +тоайв1пе = — (~т(г)ККо1п(т(1) — е(т)) дт. о 10.34. Решение. Так как Ко т Й/В)Ко = О (Ко = т(1)В~О), имеем Ко(1) = =- тоК тосоооо1 — то11 огоого1пмй оо = ЬУ~7В, поскольку до попадания первых г г 311.
Динамика твердого тела песчинок в чашу Ка = той~ба, Ко(О) = той~ср(О) = — той~б~еа. Поэтому 32! с то о=сро»- сросовсот — савв!осот! дт. у (т(т) т(т) а после интегрирования получаем ср = сро»- — субго +взсраз(сов (у — со — ) [Сс (ву»- )— — Сс ! — вш (у — ) [Я (саут ) — Я где у = атосов (босс уЯ+ взе~ ~), а бс (г) и С! (г) — интегральные синус и косинус.
10 35. Решессие. Так какй(4) = — (тоУт(Е)) Я+ос Еоз сов(ву-с у), где в= усйссй и у =- агссоо (босс тубиа+ваеЦ, имеем ~Ь(е)~ < уЯ+вгеог. Исследуя функцию е(е)=-еа»-с„е',»- зе',1 ' в( +у)дт, о о о можно показать, что при любом фиксированном Т функции ис(У) =- тосстс(Е) и иа(Р) = то/та(У), дающие наибольшее и наименьшее значения Е(Т), кусочно постоянны на ин 2к сс У 2яг 2и(г + 1) ! тервалах (Рс, П»- ),, ~ес»-, Ес+ ).
Отсюда следует, что при любом Т выполняется неравенство ~е(Т) — ео~ < 4уд~о~Р-ворог. 3 11. Динамика твердого тела 11.3. Ус и =,У, »-т (~ а, — а,), Уии = та,аг (с ф Ь). 114. — 4 6 0 11.7. А = В < С. 11.8. 1),У, = Уа — — /, = (2сс3)Ма~; 2) У М(Ь +ос)/3 Уа М(а +сз)У3 У М(а»Ь~)/3 3),У, = МЬ~сс3, Уа — — Ма~УЗ,,Ук = М(аа»-Ьа)сбр 4) У У Мйг,с4 У Мйг)2 5) У =- Уг — — М(й~)4+УУг(12), У„= Мйк)2: 11 К.С. Пятницкий и Лр. Если бы на чашу не сыпался песок, то т(Е) = =та, и из этого выражения получался бы обычный закон малых колебаний Е = ео сов соу -~- (боссы) яп вб При т = спо -~- ру П Кинематика и динамика 322 ,У= 0 9 0 В,.=/В с Ув — с)' ~с'вв, с,=~в с Дв:ср; с Вв, ных осей определяется векторами ев = О, ез = 1, ез = (С вЂ” Св)/УУ заданными в исходной системе координат.
з У,ва,вавв (Ь,с = 1,2,3). ив=1 11.14. 11.15 Ко = (твУ12) ; угол 6 между осью симметрии цилиндра и вектором момента импульса определяется равенством 189 = ((Зй -~-Ьз)У(6й~))18а. Ко = (та)4) ; угол О между вектором момента импульса и плоскостью диска определяется равенством 18 5 = = 2((й~ -~ 2е) у й') 18 а. Ко = т(15й 4 46 )вс/12. В системе Овух, связанной с параллелепипедом, вектор Кх имеет компоненты таа(Ь +с ) тбв(а Ес ) тсв(а жЬ ) Кл, = — — — — — —. а,~Р вчс ' ю 'етв в' ' ~и,Ф Р в' з 7' = ™ (6сгс18 а). 8 ззУ 2 52 = ~ 744Ъ2-~- — ~, Ьвх = (ъ'2(г 42а )аз Е4г аз), г ~' 8ъ2а Ьвв =.
— (ъ'2(г — 2а ) в1 +4г аз). 8ъ'2а 11.16 11.17 11.18 11.19 11.20 6) дв = У„= М((й',4-КД(4ЕН')12), д. = М(й', 1 йз)Уг; 7) дв = /„= Ув = (215)Мйз. 8),У, =- Ув —— — (3/80)М(4йз, Ьз);,У, = (Зу10)Мйз. 11.9. а) Ув = Уз = 2т(аз-~-Р-';аЦУЗ, Уз = 0; б) дв = гпа У2, Уз = 2тЬ /3, Уз = т(а У2-~-26 /3); в) Ув= Уз=Уз=таз.
11.11. Одна из главных осей перпендикулярна плоскости, проходящей через ось цилиндра и точку А, а две другие лежат в втой плоскости и составляют к 12йН с образующей цилиндра углы а и — — а, причем 18 2а = ---- — — — †. При 2 15й — 4Н Н = йъ'3 имеем 3 11. Динамика твердого !пела 323 Т = (т/2)(н .!-а м /б), г г гпЬ г г ™а г г.г.г Т= й З8 ат (м 42юйсояатй (1-~-мп аягп му)). г г тЬ г ° г ° г Т= й 18 ат [х +2шй сова+й (1тмп ая!п ху)). ?'= (тм г!8)(4е мп а г-г (1 Евгп а)). Т = (тг!24) (ЗЬг -~ За ) хг гт (тг!3) а~юг(а!+ юг).
г г )г, гз) )г 3г') з Т, =- — х -!- манат а т — ск (г.=1,2). 2 2 1 8 ) М! х Л 2Нтй й 7'= — (М! т Мг) т М! — (майегсов йз) . Мг 2 Н ай 4 11.22 11.23 11.24 11.25 11.26 11.27 11.28 г г г !гу 11.29. Т = 2т~ () .~-т ~-- — -+ (-+Ь) ~(й +2а ). (а +Ь гЬ 2 г2 Ко = (те/12й) Т = (ти 724й )(Ь + (15тбсг8 а)й ), р! — — р+т(Без — сег)г!А, ц! = ц+т(сгк — а!!я))В, г, = г, т(аез— — Ьи!))С, где (ег,ег,ез), (а,Ь,с), (р,ц,г) и (р!,цг,г!) — компоненты векторов ум, МС, и и й в системе главных осей инерции тела для точки М, а А, В и С вЂ” соответствующие моменты инерции. Мо(З) = н(З)Ко(З), где в(Б) — скалярная функция; вектор Ко(З) во все время движения перпендикулярен неподвижной плоскости.
Ар+ (С вЂ” В)цг = уздУ/дуг — у~дУ(дуз, Вц+ (А — С)р =- у дУ/дуз— — у~дУ(дуы Сг 4 ( — А)рц = угдУг!ду~ — у~дУ/дуг, где р(х,у,з)ае Л йгт2й(ау! тууг+зуз)тхгтуг4 зг' '='й а интегрирование ведется по области, ограниченной телом. Ар-~-(С вЂ” В) цг = М, — тю (псуа — усу), у = гу — цуа, Вц+ (А — С) рг = ̄— тю(ягу — ясул), у! = ру" — гу, Сг+( — А) рц = ̄— тюЦсу' — псу), уа =цу — ру', где у, у, и у — направляющие косинусы вектора зг в системе главных осей Ог„Оп, Ог, а Ьо, гго, яо — координаты центра масс. з з 3 з Кг-~-Кз ~' зг К вЂ” Кз 2 уз,К, = Мг, Кг-~-К! 2 уз К, — Кз 7 гг,К =! .=! ,=! =! = Мг; Кз т Кг 2, 1! К вЂ” К! 2,' уз К.
= Мз, гДе (й!)~а ! — матРица, =! =! обратная к матрице тензора инерции тела в системе Бгцгцз. 11.30 11.33 11.36 11.38 11.39 11.41 11.21. Т = — ~й — З8 рт — -!- — (мягпат йя!п(8-~-а)) 2~)4)~412) йг + — -(мсояатйсоя()гт а)) ~. 2 3 11. Динамика твердого тлела 325 11.51. р=-е ' Ьюп( г Ке '-Ьа), 4 =с 'Ьсов( г Ке " 'д-а), АрР (, АКР „гб т .=- Бе " ', а, Б и Ь вЂ” произвольные постоянные. 11.52. СКУ=-СКУоекР((Р бб )Е). б.бб. — ббс' , 'А'Я- Вб б, ' — бб — Об бб О = агсСК~((А (Сто) ь/м7 4) .
Збт Регулярная прецессия: Бб = мо сова 1 т г г г ВК б' (6' -~- Зт')' 6'-3 ' ( Ф= — г . г ховбпа, О=агссСК вЂ” г — — г СКа 6. ОЗг б,6 Ч-Зт 4а Регулярная прецессия: у =хосоваб,б1+ г г г СК~а, (о 46) 6 — а, ( 2а б=, шов!па, О =агссвб ОКа 6 -~-а ~а +6 Центр масс О' диска движется по параболе х = (ео/тГ2)б, у = О, г = = — Кс~бб2+ еос/2. В системе О'х'у'г', оси которой во все время движения параллельны осям неподвижной системы отсчета, диск совершает регулярную прецессию: у = тб10(2)(ео)т), д = со~(т г2), ось прецессии определяется в системе О'х'у'г' ортом е = (1/тТО, 1/~10, 2/тбтб). Период 7г Земли составляет 300 дней; наблюдаемый период нестабилен и составляет приближенно около 420 дней.
РегУлЯРнаЯ пРеЦессиЯ: У = (1/3) ЬбК/Л, 5 = 3убК7й, О = гбб4. РегУлЯРнаЯ пРеЦессиЯ: 4б = 2убЯЛ, ф = ~/Д/Л, О =к,бЗ. Регулярная прецессия: у = уб2Кб (За~, 5 = 5~2д/(За), О = г,бЗ. еи .=- (2ббхгт ) ф -Ь () — т (4) ю~г сове). 11.61 11.62 11.63 11.65 11.69 11.70 11.71 11.74 АС вЂ” АГ С вЂ” А 11.53. р= а сов ( ~ 1(Ь)дбт ) Бй+ б) /С вЂ” АБ С вЂ” А 1 1 д=авш ( ~ 1(с)дст Бб.ту), т= — ((4)+Б, где а, Б, у — произвольные постоянные, а 1(Е) = ~ Мо(Е)Ж. 11.54.
Регулярная прецессия: угловая скорость прецессии б)б = (1ббА) к «'О б б, «б = (А — С) мббА, угол вутации О = агсСК(блед/См). ~.бб..=йг/б~б),Т б-.р., ~об =бг.б!~. 11.57. бр = (А — С)то(А. 1158 ф С'тог тА'(Р~~+4) Ф= А, О=агсСК'(С„У'Ро-~Чо~ ~ст, (т ° 1. Кинематика и динамика 11.75. Ко = Ави С вЂ” А ои 11.78. М = С (, х а,) (1 я —, . Е) .
С в» 11.77. М = Сав вш а оба. -Са+ 11.79. а— 2а(С вЂ” А) -Са»1 11.80. ая 2 тя если в, зс, то 2(С вЂ” А) сове Са» с т81 (А — С)сове' ~ Св» ' с И( 11.81. а = — — я» — ) св(г) ехр(( — й/А) (1 — т)) с(т1. о 11.82. й = Мосс(Са), 0 = а. 11.83. Равнодействующая имеет вертикальную составляющую тй и составляющую по линии касания конуса с плоскостью (3»»4)те~с»(Ьсова). Равнодействующая приложена на линии касания конуса с плоскостью в точке, 3 3 е ясна 2, я отстоящей от вершины на расстояние — 6сояа-1- я (1+бсов а).
20 Ксов а 11.84. Равнодействующая равна тд, направлена вертикально вверх и приложена на линии касания диска с конусом в точке, отстоящей от вершины конуса на расстояние аог /(48сояа). 2 я 1 11.85. Хо =- сов ров сов (ро1(ьс 2) — — ясп ров я»п (ро1/ ъ 2), ъ»2 1 1 1» = — - соврав япс ров(ъс2), 1в = — — в»прея в»п (ро1(ъГ2), ъ2 ъ2 1 Кя = — сов ров всп (ров(ъ»2) т я1п ро1 сов (ро1!ъ»2) .
ъ'2 11 86. с»с = (СЛ/г )о»» с»со — — О, Дс, = О, Р'„= (С(г -~-т)Ва . 11.87. с"ъ'— в'сов'3((В/г)С вЂ” (С вЂ” А) я»пе) — Ссояа( — гв»пе) В япб — г 11.88. с»с = тд(ЯЯт сов я)/В-~-(а~я»в Ессг)(С-». (С вЂ” А) (с соя в»В)), Я = -тц т( — (в' 18 Е(т) (С Я (С вЂ” А) (г соя Е/Л)(. Сга 11.89. 1) Дс = - —, где ф — угловая скорость относительно оси ротора; Л~ — го с»с= — ', "-,С, ', (с»с-с» ",(/~в —,,»»Ю: »-,)(. 11.90. Главнью оси Ох и Оу образуют с осями Ох' и Оу' угол и соответственно, 2таб где а =- 0,5 агс$8» ось Оя параллельна оси Оя'.  — Аят(а — 6 )' 3 11. Динамика твердого тлела 327 11.91. д г — — (де —,Уо) яп2а/2,,У с = д„с = О.
11.92. В осях Ввуг тензор момента инерции для точки В есть дв = /3 о о г = та 0 2 1, направляющие косинусы главных осей для (~О 1 1/ точки В: О, соза, япа, где а = О,Загс182. Тензор момента инерции для /2 0 01 точки А васях, параллельных осям Ввуг, есть де =та ~ 0 1 0 ) . О 0 1 11.95. 1 — агх — агх — аг = О. г 2 11.100. Ко =- (Д81/20)той, О =- 30' — агаев(13/ъ/Г2); Т = 19то'/40. 1/К,' К,,' Кгд'г 11.101. Т = — — т - — 4~ — 1 21 А В С) С1 . 1 11.102. в= (1 — — ) вялое+ — Ко, е — орт оси симметрии. А) ' А 11.105. Регулярная прецессня. ь/2/3 1 11.106.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
