Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 60
Текст из файла (страница 60)
ср= — +Авп о '(( Ь+а ),2чсЗ (4е Г2 16.21. я.=- Аясп — с( — С-~-а, где я — отклонение частицы от положения < а)(та равновесия. .ч «б '"' с'се- 'с. 16.23. в = зссЬМ/7Р. (Нф (С вЂ” А)взсояф)взсояф 16.24. а = аоя1п ( ° ° ) А ф,с' Н вз ф (С - А) воз 16.25. а =ф-~-осип( Р-Ру). Афб В 16. Малые колебания консервативных систем 341 ( )=г,( ) 5 (~/ — 'ю,)- ( )(го гав== —— (') = ()-(и-"-"+'(')" ( -- ) ( ') — ( )(г, г — ' В, ~ г — ~) Агспв~ — с+ Вгв!п~~ — $ (,-1)(, )(т 1т ) Аг = (хг+ хг) Вг = (хг+*г) )( о о 1 .о .о 2 ' ' 2 ' г(2с' о о 1 .о .о Аг = — (х,— хг), Вг= -(х, -хг) и —.
2 ' ' ' 2 ' г2с (~') =" (')-(у-"" ) ' (-')г (г'-'"" ) (Х) = — ~~) сову й+. ( ) сов~/ й. ()= (-:)-И Ф+ -(-)-(~РР -) )~ Д( — —,) — ) „,.( - )г.(,((',, ) х= Агв!п г( —, е-'саг, х = Агвгп '(~ — ~.~-аг -) ~ (г~ — — (2 ''г) — ~ ) 2. А литическал механика (~ ) =агсб8 — (1) 4А1( ) яп(абб+а1)-г -Г А2 ( ) яп (хеб Г ае), где вг 2 = (3г — - ) — — — — —. (,— 1545217) ъ7) ( )=ббб -,1( ) б,(Н вЂ” )б (~' ( ) — б, ( )Н (~( — ~О,)- б,( б)б (~й ), ( )-б, (,)Н.( ~ (...),Нг( ',)Н. (бй„.) х = Аяп ( 6-~-а), р = Вяп ( 6-Г5). ()-.','~: —:..' .) , где а =- 2аа — бб, 6 =.
2а5 — 11, 1( )=- б ( 1 — б)н (Д 2 1 (5-~- ибГ3)8 Лз-3) ~ Х б)( )=б,( )б ° (~-- 2 1 ) (5-г Л)8 ц "" 1 ( )=б(- )-(~1= ",)."( )-(уб- -) (А — С) (В - С) и У Н2 НС Од,е 2А 4А2 А ( )=А ( а '1 (сее (я1 б -г аб ) 1 1 сее (я21 н- а2) 1 5) ( ебп(абг-га1)) (яп(и22-~-а2)) Н 'Н' ГДЕ аг,г = 2А 2А 3 16. Малые колебания консервативных систем 16.59. Ось гироскопа описывает эллиптический конус около направления на север (ао = О, Оо — Наворот))(тд1)) с частотой, онределяемой уравнением 4 г 2Н та1 Нг( Н (Н т61'1 ао — а — аз совой -)- — -р — аз сов(р( — аз сазов ) = О. А А А) А 1А А) 16.60. хг = А) О яп(а)З-)-а))-)- хз — 1 /1~ / +Аз ъ(3 яп ((огз+ аг) + Аз — ъ 3 яп (азр з- аз), 2 2 — 'з(Т, *=р(' л) ), .=~(~ () ) 16.61. ~ рг) = ~ О (А(сова)Е-)-В)япа)Е)-~- оз — 1 / )' + ъ(3 (Агсоз агр+ Вгып агр)+ — ъ)3 (Азсоз аозт Вззт азе), 2 2 'з)7г, =за а() )г, + .=ф( о() )г; (щ) =" ( () ° ()I-' о о 2О) Фз 1= 3 о .о в = 2аг -(рз За) о) +ъ Зтг ) Оз 1 О) ъ Звгт'Рз Аг = 3— В о)+ъ(бог-~-г)з В о, — ъ 36,+6, Оаг ' 6(оз 2.
А налитическал механика 16.66. г".ещение. Если принять радиус кольца равным единице, то кинетическая н потенциальная энергии системы, очевидно, будут таковы: е е Т= — ~ тбг, П= — ~ с(р, -Е,ы) (Ег=дг), ,=з , =.1 Поскольку общее движение системы является линейной комбинацией главных движений, любое частное движение системы, возможное в силу ее симметрии, представляет собой одно из главных движений. Так, например, возможно движе- ние Е; = паем где иа =-1/ъ'бт т(г = 1,6), причем все пружины ненапряжены (рис. а). Тогда Т=-0 !2, П=-О, 0 =-О, =О, 0 =-А С+а. В качестве второго главного движения примем е, = июег, где игг — изг = ит = 1!з'бтт, игг = изг = ищ = — 1/~ бт. При этом средние точки каждой пружины покоятся, а соседние массы колеблются в противофазе (рис.
б). Тогда Т = 0~э/2, П = (2с/т)егг, Ог+ (4с/т) ег = О, юг = з/4с/т, ег = Агап(з/4с,'т1-~аг). В силу симметрии системы возможны два движения, при которых 1-я и 4-я массы покоятся. В первом из движений (рис. о) ег =- и,зез, где и|з = изз = О, игз = ию = 1/зГ4т, изз = иез = — 1/.гйтт. Пружины между 2-й и З-й, а также между 5-й и 6-й массами не напряжены, и на К задаче 16.65 каждую из четырех движущихся масс действует восстанавливающая сила только одной пружины.
Тогда Т = ез/2, П = (с/2т) оз, Оз 4- (с/т) ез = О, юз =зги(т, ез = Аз оп( с/т14-аз). З 16. Малые колебания консервативных систем 345 Во втором движении с неподвижной 1-й и 4-й массами (рис. г) Ш = и 40ь, где иы = и!4 =О, игь = иьь =1/ъ'4т, игь = иш = — 1/н4т. Средние точки пружин между 2-й и З-й, а также между 5-й и 6-й массами покоятся. На каждую движущуюся массу действуют восстанавливающие силы целой пружины н пружины половинной длины. Тогда Т = О.,/2, П = (Зс/2т) егм ел+ (Зсг!т)еь = О, ыь =.
гггзс/т, 04 = Аьзгп(~/зсг!тети!). Нетрудно убедиться в том, что все найденные алгплитудные векторы взаимно ортогональны. В рассматриваемом случае метрика определяется диагональной ь кваДРатичной фоРмой 2,'амф0! =- ~, т!Р„откУДа слеДУет, что ~!пи„и;„= 6,„(г,р = 1, 4), где б„г — символ Кронекера (З,р — — 1 при г = рц 6,„= О при г Ф Н). Для того чтобы найти два оставшихся движения, воспользуемся свойством ортогональности амплитудных векторов.
Итак, пусть Е, = и,е; тогда и! +иг+изтиь+иьЧ иь =-О, и! — из+ из — ил + иь — иь = О, иг+ иь — иь — иь = О, иг иг ! иь иь = О. Эти четыре уравнения позволяют выразить четыре компоненты через две остальные; выразим, например, иг, из, иь, иь через иг, иь.' из = иь = -иг/2, иг = иь = =- — иь/2. Таким образом, ег =. еь =. — ег/2, ег = еь = — еь,!2, и кинетическая и потенциальная энергии принимают вид 3 .г .г Зг г 2 =4т(9! !Фь) П= (е! !егеь!еь). Запишем уравнения движения этой системы с двумя степенями свободы: 2с с с , 2с <р! ж е! -> 04 = О, !р! Е!рь+ <Рь = О, т т ' т т и будем искать их решение в виде е, = и,шп(ые-!-и) (г = 1, 4), что дает алгебраическую систему для определения иг, иь. (-) -=- г 2с г! с с !2с г1 — — ы)и + — =О, — +~ — — ы)и, =О.
гп ) га ' т 1т Характеристическое уравнение этой системы Ь=(" .г) (') =О имеет два корня: ыь = тгс/т, ыь =. „гЗс/т. Этим двум частотам соответствуют два амплитудных вектора с компонентами иы =- 1ггу'Зт, иьь =- — ! /ггЗт и им =- = 1ггЛт, иьь = 1г!ъгйтт. 2. Аналитическал механика Итак, в главном движении будет оь = и,ьйь, где йь = Аь ври (~/с/т !+ аз), им =1/ъ'Зт, изь = им = — !/ъ'12т, иьь =- — 1! ъгЗт, иж .=- иш .=- 1/ъ 12т.
Средние точки пружин между 2-й и З-й, а также между 5-й и 6-й массами неподвижны (рис. д). Наконец, в 6-м главном движении имеем он = и;ойв, где йо = Ав в!в (Ъ'Зс/т З+ ав), иш =-1/ъ'Зт, изв =. иьв = — 1)ъЮт, иьв = 1/ъ'Зтт, им = иов = — 1/ъТ2т. Пружины между 2-й и З-й, а также между 5-й и 6-й массами не напряжены (рис. е). В рассматриваемой механической системе частоты вп = 0 и мз =- Ъ'4с/т имеют кратность один, а частоты мз .=. мь =- ъ/с/т и оьь =- ом =- ъ'Зс/тд — кратность два, однако все амплитудные векторы ортогональны.
Общее движение является линейной комбинацией главных движений: Е, — -и,з(АН->аз)-Р~ и„.Азери(ооой+аз). Для того чтобы определить произвольные константы А, и аи запишем общее решение в виде о оь =- и з(Взо!-Сз)-~-~и, (В в!пм о-рС совоь !), где Вз — — Ам Сз = аы Вз = Азсоваз, Сз = А, в!па, (! = 2, 6). В начальный момент имеют место равенства о ч .о е, = иьзСз-рзззи„С„е, = имВз-р~ изоззВз. Условия ортогональности дают о о о С вЂ” — ~ тези,, В1 =-~ тфои,з, В .=- ~ теоиио ! =2,6, =1 з=з оьз или Сз = ЪГт/6 ~; Е,. Сз =- Ъет76 (Ез †Ез -~-Ез †+Еь — Ев) =1 Сз = Ъ'т/4(оз+Ез — Еь — Ев), Сь = Ъ/т/4(оз — 'рв ись — Ев), Сь.= ЪГт/3('рз+Ез!2 Ез!2 'рь —,рьь/2+с~~!2) Св = Ъ~т/3 (Е1 — Ез!'2 — Ез(2 Ч-~рь — Е,'!2 — Ев(2), З 16.
Малые колебания консервативных систем в К/т/6 С ф,, Вг = (~/т/6/ыг) (фвг фг Рфз фл+фвб 'Рв), л=г (~Г™74/ыз) (лР2-Рлзз — лзб — вб) Вл = (зггж74/'О)л) (Рз — вз-~-'РБ — л?6), (у'~ТЗ/ав) (фг+фг/2 фз!2 фл фз!2+фа!2) (з/зт/З!ыб) (фг — фг/2 — фз/2+фл — фз/2 — ф~в/2). в = Вз = Вз = Ответ. лз, = ин (А 1+ а ) Л 2, ииАЗ яп(ю 1 4- а ), где аг =, г4с/т, аз = ЗЗ с/т, ыл = ~ГЗс/т, ыз = Зг с/т, ыб = ЗГЗс/т. 1(~от — 1/зТ2т -1З' Л2т 1,ЗгзЗт — 1/Д2т — 1/уТ2т 1зззбт 1/ибтт 1!,г6 1!йбт 1/ъ'бтт 1) ззбт 1/ъ'бт — 1 / зггбтт 1/у'Отт — 1/ъ~бтт 1,зйЗ 1/Д2т -1/Д2т — 1! 'З вЂ” 1/и'Г2т 1/Д2т О 1/у'4т О -11 Т О 1/ъ'4т — 1/зг4т О -1/зг4т (и„) = ( в б а, =агс16 ~~) табия(~ тф~и„) ~ ы, (г =2,6) =1 =г 6.6.()=л,()!(~ — ~,)л(л) кяп()~ — + аз+аз!+Аз — 2 яп()) — + аз+аз).
( ) — (л - )(()- л( ~ В (~ — 8 )- Π— 1 Дг 1 О 16.69. =(АЗРЗ-а>) -~-Аг яп л( — 1-~-аг Чг 1 Ф 1 — 1 -РАз в!п у — 1+аз +Аз яп Л( — Зл-ал В 16. Малые колебанил консервативных систем 249 Ь а -!-ЬЬ 16.76. Т = а — г Ю а — Ь г (2г — 1)в / с га 16.77. х, = ~А,сов, яп(2~( — 1яп — -!-а,) -!-(А„1-!-а ). о=1 !(2г — 1)в I ! с (2г — 1)в 16.78, х; = ~А,в!и в!п(2г( — !в!и, -~а,). ггв 7 с уа 16.79. х; =~ А,в|п вш(2!( 1яп ) +ам в=г 1=1 в г(2г — Цв / 2! (2~ — 1)в 3=3 г (2г — 1) в, / 2! 1'в 16.82. Ьн = 1 А сов в!п ( — в!и —,+а ) -~-А„Ье-а„. — 1 2!гв / с !в 16.83. О, =- ~~! А, яп в!и 2!1( — яп — 4-аг) -~-А„Ь-!-а„.
1=1 — 1 2'' 16.84. ов = ~ [~о~в!и (~ в!п ) ] х 1=1 в=г =г хяп( )сов( в!и( — )) (2г — 1)у~ , / с 16.85. он = ~ А,сов яп(2~( — Ьв!и — ~-аг)-~-А Ьиа . 2п '1 (!т 2п (2г — 1) гв / Й, 7'в 16.86. ан =~А,сов яп(2(( — !яп — -!-а,) ЕА 1-~а -> х (2г — 1)гв, / 2К 4й г 7а О~В,сов — — яп(2 — - -!- — яп — 1-Ебг О 2п 1 т та 2п о=1 -!- В„яп ( ~ — ! Ь (1„), (2г — 1)~в / й гв 7, = Аг сов яп(2(( — !яп — !-аг +А Ь+а„— 2п ! !(т 2п 1=1 в (2г — 1)гв / 2К 4й гв — В, сов яп (2 — -~ — яп —, 2п (, т т 2п г=г — В„в1п (((~1-Е(1„).
2. А налптическал механика ЗЬО (й я К)(т В М) О11 2тМ ((=О,и). Аг)(2й — Мвгегп ггп(в11-~-аг)-~-А2„1-~-аг„, г г (21 — 1))к 1 и 2ггк е4- Аг)) 2й — твг в1п яп(в11А-аг) -'-Аго1-!-аго, 16.88. Вог, т-!- М ВпМ (В,! — 1, и). 22 гк 2(1 — 1)12 — йяп -!- Кяп 16.89. 212, 1=-~ А, яп (вг 1 В- аг ) -~- А2„1-!- аг 2 — 1 21 гк 212, = ~ Агяп яп(в 12-а )ч-Аг„еч-аг„, г Ог! т (1,1= 1, и). 2! — 1 В ВО-М,' 1=1 2в,ге 2(1 — 1)р~ йяп -~ Кяп х и и е!п(в!62-аг) +Аго1ч-аг„, 16.90 Вег -1 2 — 1 2112 А, й->К вЂ” твое!п яп(в11->а )->Аг 1.~-аг„, и тйМййК тМ 2 (г, 1 =- О, и ).
/21 — 1 (1 — 1)к1 16.91. ВВ, =~ А,сое'( ) е!п(в11+аг), 2 и 1=1 2 1 В.ВВ.,=В В,~й к — е, — - ! 1,1, 1=1 Кяп((ВА-Цгк/и) ййяп(ггк/и) х2вя = 2 Аг й-ек — то!2 яп(в11-!-аг), 2. А нслитическсл механика Ес (2г — Цгк (Ангс!п(в,.о1+а„с)) в!и 2т -р 1 В,о яп (в,се+ (!,о) ,— 1 г йг . г (2г — Цл йг .
г ох в„, =4 — яп 4- в!и ~ Р 2(2!ай Ц а п ~ — ! ,=1 =1 Е ггх А ояп(в осйа о) яп т4 1 (В„ов!п(вес!4-й„с)) ' г й! . г гх йг гок в„= 4 ~ — яп -!- — яп — ~ . т+1 Р п~ 1 кыь ! ' " гв(2в — Ц ук(2г — Ц 16.102. уяь = ) ~ ~ вш вш х и +1 и„+1 гго 1к(2й ц !еА, гв!п(в,„!1+а,„!)г! х сов В,„!яп(в,„г14-ргя) 2п, С,„! в!п (в„! С 41„! ) (йг г (2о — Цх йг г (2г — Цл йг г 1к ) в,! = 4~ — яп + — яп -~ — яп (т 2(п -!-Ц т. 2(п, -!-Ц т 2п,~ 16.103. Пг = П, =в, (г =3, и).
(! г 1 с(ео (1А -~- ЬЬ') 16.104. в, =,, в, = 1 (г = 2, п), где А = (~а,ь~),"ь м ЬЬ' = бес А = ~~(Ь,Ь,)~~ь,, 16.105. По данным задачи можно найти множество систем, у которых А =. =- (П ')'Е„1Г' и С = (П ')'ЕоЕ„гЮ ', где ń— диагональная матрица с произвольными ненулевыми элементами, Е„г = (Ев) „г, П вЂ” матрица, столбцами которой являются амплитудные векторы. /А, 16 107 С Х ~и гг г яп(ог1 ! аг) ! Вгг г) г =-1 '1 оз / А, -сисг, ( — — 'сов(ой-са,) 4Вг,Я 4- ~ ип(А;1-~ В,) г тг (г = 1, и), Ам Вм аг — произвольные постоянные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
