Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Оз, г =уз, гааза — Фг,егпи, даг =дг -го|пай-йа,созе, г = 1, г. аг = дг, ! = 2г-а1, и, а' = Ь 20.51. д, = (д,-~-Ь,) ехр — — Ьи С =.Хехр а. 2 3 21. Вариационные принципы механики 21.5. Точки с координатами (Н = Ьа+ Ькггач Ог Ф ( 1) уо) й = 1 2 21.24. Число различных точек В равно числу несоизмеримых частот системы. 21.25. Дво точки. 21.28. На прямом пути д(а) выбирается последовательность точек В'(й(а,), й,) — г В(ц~ ~, аг) при й, — — г Ьг. Рассматривается последовательность й, — а Ег однопараметрических семейств путей (ц~е (Ьо, а) = цыг, цмг(ею и) =- ц(а,), ц~'~(С, О) =- ц(а)) таких, что ц~'~(а, и) а ц(Е, а), ццо(й, а) — г ц(Ь, и), равномерно по и и М Е (Ьо, аг).
Учитывая положительную определенность квадратичной формы с матрицей [д Е/(даг ддь)] „,, можно перейти к пределу под знаком интеграла в выражении действия по Гамильтону и получить требуемое неравенство. 21.29. р, = — Н, где Н вЂ” гамильтониан сисгемьь (Ьи)' Г Г " д'В(ц,ц,а), 2 ~ ~ дцечь га (О'В(еьц, Ь) 4 д'Ь(ц,Ч,Е)) 1 64,44, 4Е Ва, В~, ) * 21.34.
Координаты кинетических фокусов удовлетворяют неравенству г — зо < — ! — — 4(х — хо) — 4 (у уо) 28 ао оа 21.35. Н = -и (х, у, г)гг2-~-сопок 21.36. Конические сечения. 21.37. Неверно, 3 22. Интегральные инварианты 22.2.
1г — 1г-~- ~~(Нг — Нг)Ы. оа 22.6. Является при аг — Ог =- аз — Оа =-...= иа — Оа. 22.9. 1 = О. 22.10. Г = — аВ 22.11. Не изменяется. 22.12. Ф(ц, р, Х) .= Н(ц, р, С) ' В(Е), где Е(С) — произвольная функция времени. ' 222. Интеера гьные инварианты дА, дАь дВ, дВь дА, дВь 22.15. —,. — —,— = —,— — =О, — — = об,ь, (г,О=1,п), где б,ь— даь дд, дрг дрг ' дрг да, символ Кронекера. 22.22.
Параллелограмм, две стороны которого лежат на прямых р = а, рэ — — б и раввы Ь вЂ” у, а две другие образуют с осью Ох угол 1 =- агсссйй 22.25. В любой момент времени область представляет собой внутренность эллипса, равного начальному, с главными осями, параллельными главным осям начального эллипса, и с центром в точке а = асозЫ + (Ь/ы) ыпый р = — аыэ1пы1 ЕЬсогтй 22.27. Не меняются. 22.28. Не изменяется. 22.29. ~ ан =О. ,=1 22,30. агг 4агг = О; Н = (1(2)аггхгэ-аггхгхг — (1(2)аггхг.
22 31 Вг = Всехр( — Реггт). 22.33. 1гг = )ге. 22.36. Не изменится. 22.37. Площадь уменьшится в Ь раз. 22.39. Ьг = 1''еехр ( — 1~ Ь„). 22.40. )гг = Цехр( — 1~ Ьн). 22.44. р = 0,25. 1 /4тс — бг 22.45. р = — агсэй — — — — —. 2к б 22.46. Не зависит. дэь т" дуг 22.48.
— -~- гэ дг, " = О (система уравнений в вариациях). дс 2~ 'дхь г=г 22.50. Обозначим область Сг через С . В силу теоремы Лиувилля К(С 1 =- =- $г1Се1 =- К > О. Области Са, Сг,..., Сн содержатся в П. Если объем области П равен 1'г, то при % > 1гг/К области С, не могут попарно пересекаться по областям нулевого объема, так как в этом случае 1'( Ц С,) =- Н1гг > 1гг. Поэтому 1г=.е обязательно существует такая пара областей С, и Сг (в ф Ь), что К(С, П Сь1 > > О. Пусть г < Ь. Тогда преобразование (ал = д,(й, р, — е1), р = Эгг(О, р, — ег)) переводит С, в Се, а Сь в Сь, так, что объем области С, ПСь при этом не изменяется.
Поэтому г'1Сеп Сь,) > О. Теорема доказана. Теорема Пуанкаре сохраняет свою силу в случае преобразований, сохраняющих меру. Приведенное доказательство использовало только это свойство движений гамильтоновой системы, выражаемое теоремой Лиувилля. 22.51. Эллипс: (х — Ср) -~- рг = 1. 22.52. / =- к. 2.
А налитическал лбеханика 363 б бб =- — бб б ц~б и б) бб=- — б — б б'ббв; в) Й=— 3 23. Канонические преобразования 23.1. с= — 1, г'(д„р„1) = — ~ ~д,р,. =ч 23.2. с.= ар — 61 Ф О, ь'=- — — [оуд -~26тдр+РОР ]. 2 23.3. Преобразование будет каноническим, если найдется такое число с р' О, что А'В =- сЕ, где А = [аы), ь „В =- [Ь,ь),"л г и Š— единичная матрица; Р(д„ри 1) =О. 23.4. с = — 4, г' = р — д — 2рд — ехр [(д -~- р) ).
23.5. с= — 1, Е=др(19 — 1п(д р' )). 23.6. с =1, Г =- р [ее(1 — д — 1пр) — Ц. 23.7. с = 2, Р" = 2д(р-~с16р 1п(совр)). 23.8. с = 10, Р' = 0,2д (25рд" — рв). 23.9. с = — 2, Р'= — рдз — Ьрдзехр(1/д ). 23.10. Производящая функция построенного преобразования равна Г(дб,рыг)т "+Ь(д,р,1).
23.11. с = 1, Г = —.~1б(з1пд.сочи, — д,). ,=1 23.12. с = и, г (д,, р„г) = — ~~ рб де(р„г) дрб Й(дырм1) =Ко ~- (Ь вЂ” — — =*' -),Р„Ь~. 23.16. Скобка Пуассона функций д(д, р, 1) и р(д, р, 1) должна быть первым интегралом заданной гамильтоновой системы. 23.17. с 23.18.
В векторно-матричной записи р = (А )'р, где матрица А = [а,ь),л=б —— 23.19. Й[д,р,1) = И[1(0,1), (А ')'"р, 1) — [ —, ', (А ')"'р), гдо матрица В = / ду(ц, 1) д1 [дРЧ, 1)1" =- [Ь,ь),"ь г .= ' ', а круглыми скобками обозначено скаляр- — дд, нос произведение векторов, так что (х,у) = ~ ~х,р,. "й 23. Канонические преобразования 369 )р ): Рр созс (р)( Р)з)пд 1) з: ррмпс ( (Ре((р)созч р„=- р„с =.
1, Г = О. р, = р„з(па сов с+ (ре(г) соей сов с — (рр) гзт й) з)п(р, р, = р,з1пйврпе-р(ре)г)созйз)пе-р(рр)гзтй)созе), р, = р„соей — (рр/г)з)пй, с = 1, Е = О. Р,=р„,р,=рр„р,=рр„с=1, г =О. х((йц зри е Д~ сове Р, =2 созд(рр-ер,) — р„р, =2 з)пд(рс+Ре)Ч Рг ч(сц ' ' р,+ч х(сйй 2й 2ч р е=- р; —. р„, с=1, г.=й. й-рч ' с+9 ,(е ))()») ( — ') '(' )р- ')' р(е- ')в:*) Р = з з (Рре Чрз) в'пт+ (й — Ч ) о Ч'(0' — 1)(1 — ))з) ч(й — 1) ь(1 — ц ) — Рй+ р„, с=1, К=-О. ой-.) "' д,' = р)(дм р,,р), р,* = гвр;(дю рр, 1)-~-(дФ(дч 1)((дд,")е. А(р,, р,,й, Это преобразование является каноническим при любых а ~ О и Ф(д', 1). Его валентность асс, производящая функция аЕ(др, р, 1)— — Ф(р', (д, р, 1), 1), где св и К(д, р, 1) — валентности и производящая функция исходного преобразования.
д = У(ди 1), р = (А ')'(ср — др(дь р)((дд), где А = (дг„(ддь),"и „а ,Р(ди 1) — пРоизвольнаЯ ДиффеРенЦиРУемаа фУнкЦиЯ. В векторно-матричной записи д = Ф(д, 1), р =- (В ')'(ср — ду(дь Е)(дд), где Р = (дФ,((дд,),".,.(. р(д, 1) — произвольнаядифференцируемая функ- ция. У)(1)~)(1) =сопзк с=ъ Г=Ф(д*,Р), й(д„р„Р) = уН ~д„- (Р, -Р д*' ), 1~ -Р— д" (р,(р„р) = ср„— =, (г, й =1,п).
дсн дч(ь " ддь дд, должны существовать такая функция г (д(, р„р) и такие постоянные с и р, чтобы тождественно выполнялось равенство ~р,бд, — се е(~ р,бд, = — ЬК. 23.20 23.21 23.22 23.23 23.24 23.25 23.27 23.28 23.29 23.30 23.32 23.33 дд; дК 23.34. К(д;, р„р) =- сК(д,, р,, 1) + 2,' р, — -(- —, аз = аг — щ где с, 9 и Е те ' др др ' же, что и в тождестве в ответе задачи 23.33. 2. А налитическал механика 370 23.35. а) де= (бр)м~, р = О, Й = 2 и~(зр)н~; б) д = (бр)'1о, р = — (11'2)д(6Р)чо, система не гамильтонова; в) деоо1дехр(1(6р)цо), р = -(112)(6Р)о1~ехр(1(6Р)Н~)о система не гамильтонова; г) д =1ехр[1(6р)'1о], р = О, Н = 1~ ехр(1(6р) ~ )о1Р.
23.37. Й = р +дд . 23.38. Й = ) (р, т а д, ) . ,=1 23.39. Й = О. 23.40. Й = О. 23.41. Й = ~ ~ро. , — 1 23.43. У = (П ' )'. 23.44. Й(д„р,, 1) = Н(д;ее, р,е", 1) е 23.46. Скобки Лагранжа (д;, дь), (д„ро), (р„ро) от заданных функций должны быть первыми интегралами исходной гамильтововой системы.
23.47. д = ад, р =- р, с = со, г =- Н(1). =1 4 ~ ' ооо) 23.49 Н =по813о ЕК1 Роо (1!~гп) (Р*о ' Роо тр о) 23 53. а) д = д т р, р = —. д се р, с = 2, Г = — д1 /2 — рд + р (2; б) д=д — р, р=д-~-р, с=2, Р'=до/2 — рд — р (2; в) д = (д — р)(2, р =-(д+р)12, с = 112, Н = (до — 2рд — р~)(6. 23.54. а) — с, — с~~ р,д,А-Г(ро, до,1); б) -с, -Н(д,, ро, 1) — ~ 7,(д„ро, 1)т,(д„р„1); о=о в) с, с) р д, — г(р„до,1) — ~У ~,(рд, д,,1)т,(ро, 4„1). =1 о=о дн*(„;,Р*„1) 1 „„дН'(д,",р,',1) 1 . др," У" дд," Н* = 1 (1) Н ( —, д,',, 1,', 1) .
23.56. Преобразование не является каноническим, так как гамильтонову систему с функцией Н(д„р„1) оно переводит в систему дй (д„ Рд, 1) т(1) . дй (д„ р„ 1) т(1) дно е(1) *' * дд т(1) З 23. Канонические преобразовании которая не является гамильтоновой. И М и — 1 =о =3 =3 ны через д ~~', р~~', 1 путем последовательного выполнения (т+1)-го, (гп ь 2)-го, ..., М-го преобразований. 2361.
д = 1(д, 1), р = ср(д 7(д, 1)/дд), где 5(д, 1) — произвольная функция, удовлетворяющая условию дед, 1) /дд ф О. 23.62. д = 7(р, 1), р = д (д1'(р, 1)ядр), где 1'(р, 1) — произвольная функция, удовлетворяющая условию дз' (р, 1) /др ~ О. 23.63. Неверно. 23.66. Преобразование будет каноническим, если существует такое число р ф О, что выполняются равенства А С =- С"'Л, В В .= В В, А"  — С'В =- вЕ, где Š— единичная матрица.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
