Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 65
Текст из файла (страница 65)
В результате получим е д з 2тгсаз З 2гз 2тй+2тт/~ — (аз+2трз))гз Выполнив интегрирование, придем к соотношению 1)г — Ь агссоз = ол1 - У, и ЬзА- с / 2трз 2тй тр1 где м = )) 1 +, с = ,Ь= , У = 2логоз Рз; аз ' пз+2трз' пз+2трз' отсюда г = , р = -, е = ~)1-,— —, 1-~есов(ле — у) ' 6' 6 З 24. Уравнение Гамильтона-Якоби ЗУО При Пг = 0 полученное начальное решение переходит в решение ныотоновой задачи. Если начальныо условия таковы, что е < 1, а а иррационально, то траектория не будет замкнутой. Замкнутая траектория получится в случае рационального и и е < 1. . з = -з (,~з Ь.: 2ЬЗ з, 24.11.
Я = — агс+~ т1( — аз+2(П вЂ” тг)созч — 2а»1созгч) бп. аг 1(е 24.12. е — ~ 21П О 2 1 ( 2тгг 2 ~ — Ог, Рг — — аг, Рг = 24.13. Я = — 121-'гпо+ 24.14. Я =- — 121-Ьау+ ~ 3 з 24.15. Я = — (~а, -Ьа„~) З-р~ ъег4шазж, -Ьатое- 1 1=1 г ао ( тс г + ~ оз —, 2 ав-" ) ша — (г — 1е) — 2 аг.
21пге ~ " 2 г 24.16. Я = — И+ага+агу+иве+саум аз 2рттгтг аз Ы-:-("- — — бг, зш В г 2 2» 2 аз+ агз аз Ш11нг где Н = т ае, П = 2(Ш1 .~. Ш2) Ш1 -р Шг 24.17. Я =- — (а +аз+а, Ч-аз)З+222та а+ ° З2тозу+ г 1 2 з~г ( 21п1 ач -~- грачу —, (2ша, — 2пз кг) + ~ аз — 2 ое Зтя * О 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 381 где ьг и П вЂ” координаты центра стержня, а ф — угол поворота. 24.27.
д = — с1 то со -~- агг + аг г+ аз г-~- ага ф агу -~- азг. 24.28. В сферических координатах гамильтониан записывается так: Полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби ищем в виде д = — И+а ф+ 1'„+ ф Уе, что дает — г(ггт — ) =тос +(, ) + — ~[( — ) 4(. ) ~. г г ду г г 1 Положим ( —,) т ( —,) =а~; тогда ( — ) = (б"; — ) —, — —, — хаос, га,гг вше ~ г с дао [ 2ггпо 2 [ Преобразуем это выражение к виду а ) а е — 1 йгс — тес / г / г г г г г г гдеУ=2бог,)аю — — г, ю= г(1 — г г г = г г с 11( аес р ао — а гс с (а /с — ао) р)г — 1 р р =- , тогда Оог — у =- агссов , или г'= ай е ' 1Эесов(ие — у) г зш О 24.29.
д = — И+арф+[ дд дд — =- от =. Ро, -— — ае — г =- Ро, дф ' де в1п'О дд дг дд да„ =ф ао де зш О арзшг Π— от~ Без нарушения общности можно считать, что начальная скорость лежит в плоскости меридиана ф = сопок Тогда в начальный момент 4 =- О и, с',ведовательно, рг = дог'дф = а„= О. По полному интегралу находим уравнение траектории 2.
А политическом механико 382 дд 1 ~ вГпада о я' бг, а втга — аг г (6 — 6гг(2)гс — г — ое(гг -- щгс~ дд Г (6 — 6г~,г2)с Я д6 гГг — — — 1о. 26 ]Г6'- * -8 ]Гя г 24.30. У= 4+ г г я сГх Р* = Я (ах +3)(6 — ах — 8) 11 ах -~8 24.31.
Ч; = вГп(2ач(8,1+у(1)]), р, = ига,соя(2ьи(б,с-Гу(1)]), туи, 1Г 41 х=-)" — — — — — ( =с.) ')и .Ю 2 2 к . '6 " г =( уя е =( - кя к =( — ря) /2, Чя = (Чг — Чг)!2; [Ч|=С,[1еяп(утбг)-;-Сг[ ~в1п(Г-Гбя), [ 1 = Сг [ |сов(угбг)-ГСя [ |сов(уебя).
24.33. Каноническое преобразование 1 1 1 1 2(Рг+Чя)' Чг = 2(Чг Ря) Ря= 2(рг Чя) Чг = 2(Чг ~ря)' Чг —.-СгвЬ(1-~-бг)+СявЬ(1+рг), Чг=-Сгсб(1-~-бг) — СясЬ(у-~-бг), рг = Сд сЬ (1-~- йг ) -г Ся сЬ (1-Г бг), рг = — Сг вЬ (1-Г бг) + Сг вЬ (1-~- бг). 24.34. Каноническое преобразование Ч=р +Ч, р=агсяб —; Ч = ~/214 у сов(21 -Г 8), р = —;Г2$ -Г уьт(21-Г 8). 24.33.
Преобразование совпадает с преобразованием в предыдущей задаче: Ч, =. А,е'сое(В,е '), р, = А,е'г1п(В,е ') (я =1, и). ( Чг 1 Чя Г' гя 24.30. Я = — иг1-1- — 2ияЧг — — ) + — ~агЧя — — ). аг 3) 2~ 2) г 1 24 37. Я = игу+~ — г.ЬГ2иг — агЧ~г гГЧг т[ гуин + 2Чг гГЧя. Чг 24.38. Я =- — аг1+ аяЧя+ [ г 2аг — иг Чг 24.39.
В= — агу+] аг — ЧгсояЧг оЧгт[ оЧг сов Чг г (ая — ияв1пЧг) я.г.я — — °, ° ]уя -Ч- — ' сов Чг я 24. У1згвненне Гамильтона-Якоби ЗЗЗ 2 2 2 2 24 41. Я = — (аг-1 аг)1я ~ вгаг — втдг 22дг В- -агдг я-аздз — азв1пдг. 2 Чг '1 24.42. Я= -61-~. — (1дг (иг — д, 1.пгагсв1п ) В- 21 ,ж! 1 ( аг аг дг 226: аг -я —, ьГ6:иг Чг -Ь дг В- агвЬ -> г ъ~иг +Чз Чв— и2 и2 два 6 — иг агсЬ 3 6 (21 6 пг ъ/а2 1 ( Гг аг аг дгь2аг 1 24.43. Я = — ад1-г — ьгиг дг )( дгг — — — — агсЬ ,Г-г ) Ч 4 — ггиг дг)) дгг — — — — агсЬ + -ьГиздз.
2 ~ аг аг 22Я~ 1 2 иг (1 2 6)в!п Чг ( аг (1 1 6)сов Ч2 иг -~- иг 24.46. Я = вовс О ь2иг 1п дг + ъГагг!и дг. 2аг -~- Заг аг -1- аг 1 2 2 24.47. Я=- ~ ((1)сй-вдг!паз я-дг!паг — — (дг+дг). 2(аз+аз) ) 24.48. Я = — (аг -1-аг 2-аз)1-'г 2~аз дз -~- ВггЗ~2 аг агсв1п у222игдг -~- ,~/3$,— 2 С 226 ~ Д 22 — 3 П 24.49. Я = — (иг в- иг -я из)1-в вгаг/2 дг -ь ъг2аздз я-+2 ~п~ — говд~ идп 24 50. Я = — (из +аз)1-~-2аздз+ ~ у~из — 2дг бдг-~- ~у(иг — агдгг ддг.
24.51. Я = и21+аг!пдг 2'- ) 2агдг — аг —. 2 2 дг 1 24.52, я = — — (аг-~-аз)1+аздз+~ ~1Гаг — дг сйуг-Ь~ ((аг — игдг пдг. 2 *..-. з--., ~(„,д.,„:,.2„+( /.,:ь12,. 24.54. Я = — аг1-я ~~(1 аз — Здг Йдг г'- аг -~-2 (дг) — агдг — —. г пдг Чг нзв. 3= — ( — 2 )~ ( — до~ 24 56. Я= — (аз+аз)1+2~ аг — д~~зтдг йдг +) )((пг — агдг~)с18дг г1дг+2аздз. г 2. А литическал механика *'-'--,.(ез!.-.л !ез, (ч%.— еь агг . 3= — ~" Г! - в!'з з 2 2459. Я = — (а! чаг)1-'г ) з!2а! — дгг !Гдг+~ )Г~(2аг — дгг)вроде <Гдг.
24.60. д,=(1,— ~ ' ' ' <й, рг=а! (з=1,п). (' дФ(аг,...,а„,р) да, 24.61. Я = — ~ Н,(д, 1) сй -1. ~ а, д,. г=! 24.62. д, =Д! — 'у~~а, (1) Ц с!(1)ерг — аг) ей, р, =а, — ~!рг(1)сй (! =1, и). =1 24.63. Используя результат задачи 24.62, находим 1 Г/Г д, = О,-à — -~ ( ! дз(г)дг) гН-ра.г (Г =1, 2), дз = Рз+ — ~ Ц Вз(1) юй) гй !-азр — -81; р, = а! З-~В(Г)41 (г = 1! 2), рз = аз — гп81 Р~РЪ(1)сй. 24 64.
Я=- — ~д, ) ви(1) йзи~ ад,-!-!р(1,а), =! =1 где зр(1, о) = — — ~ ~ ~ о р (1) (~ зи (1) !й — а~ Ц Е (1) нй — а ) ~ юй+ А-~~(~ег(1)а-а),Г,(~) й. 24 65. д, = ьУа! в!ну (1), .р, = з/а, сову (1), где уг(1) = 2 ~ 7 (1) срр-Р О! (з = 1, и). 24.66. Я= — ) а(аг,аг, ...,а„,р)41+~ ~!Р,(д„а,)срд,. .=! 2467. Я=- — ~Е(а„,р)!й+~!рг(дг,а!)!Гдг-Г~ ~ей(дй,ай,ай — !)ердй. й=г 24 68.
В= — ОГ-';~) ~йг2А;(д!)(а.-';ЬВ,(д,) — Сг(д))срди ~ !гй =О. г=! й=! 24 70. Я = — Ы А-~ ~~ Вй(дй) Е- Ай(дй)(ай -> Сй(дй)+2угГй(дй)) судй, й=! ~ ай=О. й=! дд — дд 24.71. — — -р Й(дг, — =, 1) = О. дг ' дд,' 3 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 385 водящих функций ((1/с)о (д, д, Р)). В качестве функций йн (ар, 1) следует взять общее решение системы ураа- пений еРе,/Ж =- — Ф,(е„р) (г, у =-1, и), а в качестве у(а„р) — функцию ,('(а„1) =.
— [ с (д,(п„с)., 1) Ж. дЛ / дй 'г дд / дд 'др (др,'") ' др (гдд, —" "(' —" )= ['-( — '-')1 ';, "(' Г ) =~[' (~-') ] 1 24.79. Ю(р, й, 1) = — Ы -Ь [Ьг2тРг — рг еРр. г ге гг, 24.8О. Н(р„а„1) = ~ ] п,р, — ~~; — *) Р (у =1,3). =1 1 24.81. Н(р,й,р)=--йр-Ь вЂ” ~,/р -2 йдр. 24.82. Н(р„а„р) = ~ а,р, — С(рг,..., р„)1 (у =1, и). =1 24.83. Н(р„а„Р) = — ~игр, — Г(аы ..., а )й =г — 1 2484.
Н= — Г(1) Р р;1,(д,)[~р,д,(др)] =1 *=1 — 1 24.85 Н = 7(1)~ (р +У (д )) [~д (д )] =1 24.88. Н = у(1)~,' 1'" и т*(д'), „, нь(дь), г У (д ) г 24.87. Н =- Др) ~ =1 =О =О тг К.С. Пятницкий нар. 24.72. Б(дц а„й) = Бв(д„ин С) — Г(д„р). 24.74. Искомое множество преобразований определяется совокупностью произ- 2. А иалптическал механики 24.99 и = 1(г)П ~ ( И8*) ,И *) 24.89. Н = ~~, Р т О = =) ' / ., дУг(С) г =1 дд " г'до'1 ду 24.90.
Запипгем производные .=- г ~ — ) — так: Частная производная функции дг по времени равна В силу исходного уравнения и равенства (~;), бац = ((~.') ')"'; ",' — (а, и —,",) ')';;) - с ':(( —',,,') ')'„, ) =- (здесь (х, у) = ~, т,у, — скалярное произведение векторов х и у). Полученное уравнение является уравнением Гамильтона — Якоби для системы с гамильтониа- ном Н,(в,рв.С)=Н(б(8),(( — ) ) ре,г) — ( —,,(( — ) ) р,). 24.91. Точечному преобразованию ц = г(8, С) соответствует унивалентное кано/гду~-~'г' ническое преобразование ц = 1(8, С), рч = ( ( — ) ) ре с производящей функци(,дв ) ей Р', зависящей только от времени. Так как из тождества ц = г (8(ц, 8), 1) следует, д8 г'дб'~ ' дб др что = — ( ), из закона преобразования гамильтониана Й = сН-~- — т дг / дц'~ р, — получаем (, 'м) н,=н(у(8,1),(( ) ) рв,с) — (ре,( — ) ) 24.93.
д = — д(У(п))С-~- Ъ'(дь, а,), дд 24.98. Производящая функция д(о„цо 1) определяет преобразование — .= д8; дд д'д =- ро = — — — р, (г = 1, и). Поскольку ф О, эти уравнения раз" де, дрлдог о=г решимы относительно р, и оо т.е. позволяют найти формулы преобразования З 24. Уравнение Гамильтона-Якоби 387 Ч* = Ч*(Чгч Р„1), Рг = Р (Чг,р,,е) (г у = 1, и), переводящего исходную гамильто- нову систему в систему с гамильтонианом й= (Ч'(Ч" Р" )'Ч" ) ч-н,(ч,(ч„р„е),р,(ч„р„е))чд1 + Нг(Ч (Чг, Рг' 1) Р*(Чг Рг 1)). до Так как о (Ч,, Ч„г) — полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби — -~- д1 да 'г + Нг(ׄ—,) = О, получаем Й = Нг(Ч (Ч„р,,1),р,(Ч,,Р,,1)), откуда ' оч,) ОНг(Ч„РО, 1) ОН,(Ч„Р„1) д. ' ' д. 24.96.
Ч = ехр ЦУ(1) гй) [с-Г ~ и(1)охр ( — ) У(1) гй) е11~(, р = ехр ( — [У(1) ае) сг. -М( -О 24.97. Ч = ехр () У (1) гй) ( [сг — [р(1) ехр ((и — 1) ) У(1) сй) ей~ (и — Ц ~ Л -г1 р = сг (и — 1) ехр ( — [У (1) сй) [сг — [И(1) ехр ((и — 1) [ У(1) сй) Ж~ 24.98, Ч =ехр ([У(1)аг — с), р=-ехр(с — г„У(1)е11) [с,— пе '~и(1)ехр(п~У(1)41) г11~. оз Равенства Е, = †, эквивалентны условиям дЧ, дГ, ар'ь — — ' — — — = О (г, й = 1, п). ач, ач, ду, Из (1) выразим — ' и подставим в скобки Пуассона, что даст дЧь (2) " ду,оу, уаР, др)'1 (у* у)= Е (' — ).
„~-, ар, ор, ( оч, ач,) ' 24.99. Функция о (Чг, Чг, 1) определяет свободное унивалентное преобразование Чг = Л(Ч„рг, 1), р, = Р',(Ч„рг, 1). При помощи скобок Пуассона условия каноничности этого преобразования могут быть записаны так: (У„Уь) = = О, (Рн Рь) = О, (Уг, Рв) = б,ь (г, й = 1, и), где б,ь — символ Кронекера. Требуемый результат вытекает из первых и соотношений.
24.100. Из условия задачи следуют тождества У (Ч„рг (Чю а ы 1), 1) = а, (г, У, к .= 1, и); пРоДиффеРенциРУем их но Чь. оу,) "-. ау, др) (1) 2. А нолитическал механика 388 (д~,)" Отсюда в силу невырожденности матрицы ~ — ~ следует (2), если скобки Рс Пуассона равны нулю. Обратно, если имеет место (2), то скобки Пуассона равны нулю. 24.101. Из соотношений с'с (ц, р, С) = ас (с = 1, и) находим, что рс = К (сй а, С). Используя решение задачи 24.99, получаем, что в условиях данной задачи существует функция до(ц, а, С) такая, что р, = г'с(ц,а, С) = ' ', срес ~О.
(1) ддо(си а, С) С' д'до ') , ь=-1 Соотношениям (1) наряду с функцией Но(ср, а, С) будут удовлетворять также функции д(сС, а, С) вида а (сС, а, С) = Оо(ср, а, С) -г Ос (а., С), (2) где Нс(а, С) — произвольная функция переменных ас,..., а„и С. Из уравнения Гамильтона — Якоби с полный интегралом о (сб а, С) получим дд дд дд дд ддо = -сро(ср,а,с) — срс(а,С), †, =- =-г',(ср,а,С). (3) дС дС дС ' ' ' 'дд, дср, дд Из последних п соотноспений находим а, =. р, ~дс, —, С), и после подстановки до, в 1-е соотношение (3) приходим к уравнению Гамильтона — Якоби , 4 р,[ д„ У,[ д„ ,С),С) +ос [ У,[ д„ ,С),С) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
