Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 64
Текст из файла (страница 64)
23 67. с = ~ (аггг1ы — Ь,гсы), Р' = — (1/2)[д'А"'Сд ~-2д"С'"Врдр В'Пр). д=З 23.68. Преобразование будет каноническим, если существует такая постоянная р у. О, что выполняются тождества А'(1)С(1) = С'(1)А(1), В'(1)В(1) = П'В(1), А (1)П(1) — С'(1)В(1) == рЕ, где Š— единичная матрица. 23.70. Нет. 23.71.
Р; =а, — с, у; =1 — а„б, = 1 — а, +с, где а, и сааб — произвольные числа. 23.73. — — ' — ' — ' ' — ' ~ О, — -[с„с,) = О (1, 1 = 1,2п), где [с;, с,)— д(ды...,д„,ры...,р ) д д(см см ..., сз„) ' д1 скобки Лагранжа заданных функций. 23.74. Функции д;(с, 1), р,(с, 1), полученные в результате разрешения системы уравнений пч(Н ды рз) = с, относительно д„рз, должны удовлетворять д условиям —, [с„сз) = О, где [с„с, [ — скобки Лагранжа функций д,(с,1), р,(с,с).
23.77. При условиях задачи преобразование д = — Нг (д, р, 1), р =- Кбз(д, р, 1) является унивалентным каноническим преобразованием. 23 80. д= Ф(р ьд )+ сагс13(р/д), где Ф вЂ” произвольная функция. 23.82. Не будет. 23.83. с = р, Я = — (е~ — 1) ссбд. 23.86. с =- 1, я =. е "+и — Ощдз+ — ехр(2дз ФЗдз).
3 23.87. с=-1, Я=~ 18(д -~-д'). 372 2. А налитическал механика ,, !) 23.88. с=1, Я =Л~ е1пд,саед,. й=! 23.89. с = 1, Я = ~(У!+У!) =! 23.90. с=1, 8=~„1пдй1пд =! 23.91. с=1, Я=~ ехр(У!+У!). =! а !Х 23.92. с = —, Я = ~ Ч, Ч,. =Р' 31~; ' ' 23.93. =Л, Я= — 1~У* 1 Ц Ч!'|% =! *=.! 23.94. с =7, Я = — ~,д, — ~~ Ч У!+и!и ~1~',Чй) =! =! й=! 23.95.
с = 7, Я = Л 2, Ч, ехр (Ч.) -~-3 П Уй. й=-.! й=! 23. 96. с = 7, Я = — ~' Ч. Ч* . 2 =! 1 23.97. с =-7, Я =- ~ (Ч Ч ) ,=! 23.98. с = 1, Я = 2 ехр (Ч! -~-2Ч! ) — 4д! Чг Ч 3ехр (2Чг Е Чг). 23 99, с=а, ч =ехр(2Ч! -йд!) — 2дгдг+Ьсое(3дг+Чг). 23.100. с=3, Я = ае1п(2Ч! ед!) — с!де+ Ьч!п(Здг+ Ч!) 23.101.
с=7, Я = 1п(У!+У!) — Ч!Чг+ае1п(2дг+Чг). 23.102. с =7, Я = 1п(дг.й-д!) — дгдг+1п(дг-с2дг) 23.103. с=7, Я вЂ”.~айехР(д,+а,д!)+Рехр ~ Ч й) =! й=! 23.104. с = 7, Я =; — Я д, д; с аехр ( г РйЧ й) 2 г=! й=! 23.105. с=к, Я= — ~ — д,' — ' +Уехр~ Я,дй) 3 а(1 ) !==! й=! гге е — ! 23.106. д,= ~ " р,д,'-"~,Р,=-+1)(-") Рд! 'Ч, 23 107. д, = — д 1+пессоа(НР;/1), Р! = УРР!11. 23.108. д, = — (д, ->ессе1ппр,)/1, Р! = — ПЬР . 23.109. д, = (Пдйр,), Р! =- — а(1п(д 1) — 11(пд,р!) Ь 23. Канонические преобразовании 23.11О. цб рА Р р. А'ц, А =[а*!)',г=! 23.111 где ф,(Ь„!) =- — дай! !)М* ('» =1*") Ни прн каких значениях. 1! га 7 р,, а О Ь! Ьг Ь„' 6! ' Ьг' 1 Я =) ехр[е(а,!1, — ЬД,)) (г.=1, и). 6, 23.112.
23.113. с' НЗ [ ()) ф(" — Л -! —.Кз !з — гг!з ( ))-г1з (с' !у !г-.дз !,а 23.117. 23.113. 23.119. 23.120. 23.121. с=1, Ьг = -~;а; (р,р,)""*. !=1 с=-(! — а, Ы =- — )3~~! (аег*рз ) =! с=1, Ь!=-7~~ рг!пр!. =! 23.122. 23.123. 23.124. г! = ~а, !п(р!)1ехр( — Ь ), р =. (1/Ь)ехрбг, где Ь = с ') Ь !веры г=! з=.! а Ь г — элементы матрицы, обратной к матрице [азг]! гг! =с ~ о„бг! фгехр[а,(!)р,— аз(!)р!), 0г(!) 1 / соз р, =-,, !п [~ Ь;з, ехр[ — сц,(!)рг)), Ь„г — элементы матрицы, обратной к матрице [аг!)г, =!. !Ьт! = сфм р,т! = (с!!2)д, — рп — [-("" — )" ) ,ф( [! („,дЛ(р,Ь)),,),) р, = !г, [ — (сд! -!-, ), рз, 8], дУгЦ1, !) гдг ф,(г„!) = — '-' — (г, г, Ь = 1, и).
дЬ, 2. А политическая а!слоника 374 23.125 23.126 23.128 23.129 23.130 23.131 23.132 23.133 23.134 23.135. с = —, Ф =- - ~ р! д . и Р' Р,,' — Ф = ~~! '(д,р, + реп р, — 1) — е"'~. ,=1 г -г 23.136. 23.137. 23.138. с=у, ГГ=- — 7~ р,асс!3(ехр(р,)). !=1 с =. — 7, ЬГ =- — ~ (р, — р,)!п(р, — р,). р =- (А'") (ср — д7(ей 1)/дд), где А = (дц,,йдд ),". 1, а 7(до 1) — произ- вольная функция. е Г ! 1-17й Г, ! Гз дг =3~> „о (1)д ( ~>У,,Ь1 (1)р д ~ Р = ~ ~> „Ьгй(1)р д, =1 й=1 й=1 Ь й — злементы матрицы, обратной к матрице (айг)йл-й. Ь,тй(Ь) Г'с р, ! ' 1 а,(1) а,(С) *' * (,й а,(1)) Ь!!1(1) Ь,т!(1) 1 д .= со (1) ~ айбййрйдй1п(дй), рй —.— !п (с у Ьййрйдй) 1,1=! и, (1) й=! Ь й — злементы матрицы, обратной к матрице (ай )й дг -— -1[1 — ( — ) (~ В„.
) ~ ~ а„соз(д,1), д, = — — агсв!п ( — 2 Ь;, ",.) ܄— злементы матрицы, обратной к матрице (а!1),", [ ( 1 дУ!(сп С)),] „ [ ( с 1 дУ!(9,1) ) р, —. р, [д„( — р, — — ), 1~, где Ф, (Е1, 1) = — — — ' — (! =- 1, и ). д~~(Ь~., 1) д1, » 23. Каноническое преобразования с=.Х, Ф=~ р,д,+сов(г~ д,)+в!п(1~ р,).
=! о=! =! =! =! =! 23,139. 23.140. 23.141. 23.142. 23.143. 23.144. 23.145. дф =1, и), — фО, а функции ро(д, р,г) задаются соотношением дд! ! ! р,(д„р„!) = — ~ — р! (! = 1, п). 1 дд! !.=! Ф(д, р,1) = ~ д,(д, р, 1), где д; (дч р, !) =- д,(до, р (дь, рь, 1), !), =! а функции р,*. (дз, ро, 1) получатся из последних и соотношений исходного преобразования, если выразить р, через д! и р,. Г с 1 аУ,(р, 1) ) Г с 1 ОУ,(р, 1) [ со ' со др! ' " ~ ' ' ' [ со со др! — Ф. [до( — до+ -- — -- — '- —, рь, 1), е!, где Ф,(»1, !) = дУг(»г, Г)/д», ~ с 1 аУ,(рь1) ~ "[,со со др! (! =1, и). с = 2, й = 2 с!3(р! -Ь д,!).
=! с=1, В= — ~ (д — р )[!п(д! р!) 1). ,=! с=.1, Я='~ сов(рД в!п(д,1). .=! с=-1, Я= 2 !п(д Ф!).з!про =! 23.146. 23.143. 23.149. 23.150. 23.151. 23.152. с=1, Ф=~,(обР )'!5(д !). =- ! с=2, Ф вЂ”.~ ~ехр[д,(! — !о))в!п[Р!(! — !о)[. с= 2, Ф = 2~р, сЬ(д!1). о=! с=1, Ф=~ Р,1пд. В (д, р)-описании искомое каноническое преобразование задается функциями д, = до(д„р„1), р, = ро(д,, р„1), где д,(д,, р„1) — произвольные дд, дд! х"- дд, функции, удовлетворяющие условиям = =- =, ~ =р! =- О (о, 1 =- др! др, ' ~ др! 2.
А налптическал ззеханиха 376 3,. !! = ! ~ '(д, - а,р,) . =1 — 2, й=~ ехр(д,!) 43рп =1 — 1, !! = ~ехр(агд, 4-Ь,р,з-с1!). 5' = Бз,дзР' 1, Й =- ~ ивехр( — и р, — !д,). ,=-1 23.153. 23.154. с= 23.155. 23.156. 23.157. 23.158 23.159 23.160 23.161 23.162 23.163 23.164 23.165 23.166 23.167 23.169 23.170 23.171 23.172 23.173 23.174 с=1, Н=~ р',*!пдз. =1 с=.Х, !!=в~ д, -в — ~ — р,хггд~ — 4224р~-~- — 'агссов с= — и, В = ~д,"р,".
=1 с=у, Л =!п(рз 4 дз) рзрз ! !п(рз 4 дз) с = у, Я = ехр (д1 4- рз ), рз да — и(дз 4- рз) . 1 / с=у, Л= — — ! рзд, -Еуехр( ) азд 4 ',-1 в=1 д, = р,(!) "!в (с/и)'~в д,. ! р! р =-ю (!) "р( ги) "д 1/ ! д, =- — (-р, -Еагссов !, р, = -сд15 21ед4) ' г! = сА 'ц, р = — А'р, А = (а„),"1 д, = !п (сд,,1 (!совр,!)), р, = — и сдз $3р 5 с= и, г — рздз-!.дгд2 ! Рзрз.!-д4Р4. га с=-и, Г = ~(!прз)д, — ~ р,ехр(р,). , =-1 з=-а,4-1 с=в, р=~р,!п(уд1 1 — Ц 4- ~ (д — д )(!п(дз' — дз) — !). =1 1= 441 -в с — и 4* — ' р1д1 +деда рзрз грзрз' 1 с=1, р=~ ~в!пд,в!пд,в- ~ совр совр . =1 1= згз 1 с.= 1, с' = ~ р,!од,.!- ~ д, !пр,. з 24.
Уравнение Гамильтона — Якоби 377 =~ — '[ др;,-,'(д .;,,)о,. ], ,=1 "* т Чгдо 1 г г ' (от м,г 2 '=1 =г ф =-~, — ["'"'~'* + ~ (р',-о,'д,',) 18,1]. .=1 "* 23.175. с=у, Г.= Г(С). с =1-', Г = -1-'Ф(д,(д,,р„у), р,(д„р„у),у), где Ч, = Ч,(д„р,.у), Р = Р (Чу Рг с) (г =1,п) — обратное преобразование. с — — сгсг,Г=-сгГг(Ч,,Р„С)-~-Гг'д,(ду Р У) Р,(, Элементом факторгруппы Сг(Со является совокупность всех канони- ческих преобразований с нулевой производящей функцией и одной и той же валентностью с.
Для любого преобразования я Е С класс смежности Мя содержит в себе все канонические преобразования с валентностью с = с(я), т. е. произвольный элемент факторгруппы С/М есть совокупность всех канонических преобразований с фиксированной валентностью с. Груп- повое умножение в факторгруппе есть сопоставление двум элементам с валентностями сг и сг элемента с валентностью с =. сгсг, т. е. этафак- торгруппа изоморфна мультипликативной группе вещественных чисел. с=1 Г= ~),ргд. ,=-1 Не являются. б)г = ОК)др, + бд„р, = — ОКУОЧ, г-ур,, К(д, р, 1) — произвольная функция, 6, у — произвольные числа.
ц, = ур, -~-дц(д, 1)у'дд,. 23.176. 23.1ТТ. 23.178. 23. 186. 23.188. 23.189. 23.190. 23.191. 23.196. 3 24. 'Уравнение Гамильтона — Якоби 241. а)а=6,т — г, у=рг-о — о, г= — — — (6,+с); а ао а, у т' " т' тя 2 то г б) г = +, соз(Š— ро) =-, г = — — (6, ту) . т ) 2та„' г;Г2та тб 2 24.2. д = тио а + тио Уз-тио г — тисо!2; глс ио = ио + ио„+ ио,; г г г г г а = со гцао, у = иоог+уо, г = со о+го; р„= Р (0) = тео ., р„= ро(0) = тио„, р, = р (О) = тио,. .г. — уГ, ( .,—,Л-.тг;,П.В. уй 2. А налитическал механика 378 Гт, Г с, О,(0) Ъ с, )Гт,ф(0) 24.8. В сферических координатах полный интеграл имеет вид а1 2ту аз Я=- — 66+а1Е+~ аг — —,— до+~ 2тб+ — — —.
дг. з|п е г г 24.7. Уравнение траектории находится из соотношения дЯ/доз = Оз, в котором следует положить аг = О, поскольку движение плоское. После интегрирования получается уравнение конического сечения г = рГ(1-Е есов(Š— Ое)], =ел),='ЬЛР),Ь=,'ЛЬ 1 Г1 24.8. Я = — М+пго+ — ~— 2~ 1 где С, 11, Š— параболические координаты, связанные с координазами х, р, з формулами х = Дд созо, у = зУса з1по, з = Ц вЂ” л)/2. В задаче 1.37д) введены иные парабалические координаты: Г, = т, д = о, е = е.
3 3 24.9. В сферических координатах а1 Я = -И-Ео1ЕА-~ аз- дз-~-~ зш О При исследовании этого движения без ограничения общности можно считать, что начальная скорость лежит в плоскости е = сопвс и, следовательно, в начальный момент до/до = О. Это условие вместе с равенством дЯ,Гда1 = =- Ог приводит к равенству аг = О. Для нахождения уравнений траектории воспользуемся равенством дЯГ дав = Оз с учетом, что а1 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
