Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Жт(тв) = 34 % (ио). 18.57. хг = Ч~ !аз!г где И'(та) = (ш(303) 4-Отв-~- с) ' — частотная характеристика груза. НСгвг бо. Если 1 (т) = авиве то хг = аз ~ И'(та) ~2 18.58. 133 = 18.59. Только при а =- ьтс/т. 18.60. Только при в = У!143(1С). 18.61. Только при а = Ч311,3(ЬС~). 18.62. Только при в= в!. 8 19. 3Гравнения Гамильтона, Рауса, 'Уиттекера и Якоби г 2 2 р шах 19.1.
Н = 2т 2 1 Ро — тщ( сов!я. 2шт~ 2т( (~) — - — тбф) совок 2 2 2 2т 19.2. Н = 19.3. Н = 19.4. Н =- 19.5. ) Н=-1 — (рг.т-ргзя-рг)4-П(х,р, ); 2т 2 2 б) Н = — р„-г — ~- г 4-П(гя!посояо,ге!поз!по,гсояя); г РО рт 2ш~ " гг ггвп Е в) Н =- — р„-1- — --т-р, ->П(гсояо, ге!по, 3). 2т~ " гг 18.54. Для любых значений ат, аз, аз, а4 (оп ф аг, аз ~ а4) должны выполняться матричные равенства 2. А налитическал механина 360 2 2 г 19.6.
Н = — -Π—,— 401"; — 4-019я Р1 Рг 2 Ч2 6 2 ' 2 рг";Ьрз — 2ргрг сов(01 Ог) 19.7. Н = — — — — г — — — — — Зсовдг — совег. 2(40 япг(01 — дг)) 19 8. Н = -(Р) + А вы + 2~4 — 2РР— 2Ргр ) + 2(0' в 0' — О 0 ) + -(О'+ 0(). 1 г 1 г 199. Н= 2(Р14-Рг) -~- — Р24-асовег. 2ай 2 2 г 19.10. Н = + 4а 4(с +Ь сов~01) 2 г г Рз а 19.11, Н.=-. (Огр, -Одгрг) ч-, —.
+Ь(01 — Ог). 012 Чг 21?102 01 0 02 .2 2 2 Ь 2 19.12. й = — (01 -в 02) — †(01 — Ог) — - (01 -~ Ог) . 2 4 4 4а 2а 4а ° 2 2 19.14. 1. =- — 4- — 21п 01+асов01. 01 Чг . 2 2 2 19.16. Ь = — (д~+О~Ид~ 4-Ч~ — 2а). 2 19.16. Ь = 4102 — 0102. г 2 19.17. Н = — Р,А- — в- 2 г +й(') 1 г Рз Рг 2т ~ с с яп 0 с, 2 19.18. Н =. Р14- Рг+ Рз+ (х1 х2) + (хг хз) ' 2т1 2тг 2тз 2 2 2 19.19.
Н = Рг Рз -> 4-т8йсовзс й (М-Е2тяп 22) 2тй г г г 'ггя г г г 19.20. Н = — (р, 4-рг) — (хг-В ха)- — (хг — хг — (з) . 2т 2 2 19.22. Н = с 19.23. Н = — — —: рз 0 — — -~-тдйсове. 2тйг ~ яп о~ 19.24. Н = г рз+ г — +тей(2)сове. г Ру гпй (2) 2 й'(0) (, Ь'о) р„1 ) г (Р„О-ас'(0)) 1, Р„А-ас'(Е) 1926 0 — — —" р = Рз+ Ф= т тг ~ япе ~ таяне 2 ' 2 2 рз р„н- ай(0) ( 4Г(е) Рч = О О = г, Рз = г з ~~сове(рв+аЕ(0)) — а вгпе~. тг тг яп 0 40 319. Уриенепия Гамильтона, Раусо, Уиттекера и Якоби 361 2'й Н= 1 2 2 1 2 Рг 1. 2 ™1т2 (р, + р,) + — р„-р —, -й х(г — 1О), где и = 2(т1+ тя) " 2р гв 2 ' т1 + тв г — длина стержня, х и у — координаты центра масс, а 1р — угол, образуемый стержнем с осью Ох. 2 г 2 2 2 21 1 2 Рг Рг ут1тв Н= — (р*+Ря+Р,) + — Р,-> — 24- — 2 — 2 — — —, где 2(тй-Ртг) " ' 2р ] гв гвсов21р) тйтг р= т,+тг' г 2 РО рг (р — р сове) Н .= — + — + — — — — — т т8 о соя е.
2А 2С 2Ав'п Е 1 2 2 2 3 2 Рг Н (, . тй,) р р -р +тех, где х,у,в--коорди2т * " 2т( [ вйп Е) наты центра масс стержня, а Е и 1р — углы Эйлера. г Н = — (рй -рр + р,)-~- — + 2 г 2 . Рг 21п ' " ' 2С (А [рв вгнв В+ (рт — р соя Е) ] + 2АВвйп Е +( — А)(рвв1пвсояо+(р, — р„сова)вйпо] )+тйв. Зтпг р +2(М+т)р, 44тгр р сова Н 2 г туго яйп а. 2тг [ЗМ-йт(14-2вйп а)] [Р,'-Р 4Р'„- ЗРОРг (е — е)]— т12 [7+ 921пв(Š— 12)] 19.26 19.2Т 19.28 19.29 19.30 19.31 19.32 3 1 — — тй(саво — — тл1совъс 2 2 19.33. р, — магнитный поток в 1-м контуре.
Р1 Р2 1 1 Д2 о1 = —, ов = —, Р1 = — — -~- — о1 -~- — -~- е1(1), Ь1' /2' С1 СО СО 1 /1 11 Рв = — 91 — [ — -~- — ) 92.Р ев(1). С,) 19.34. 19.33. А = — В', В = В', С = С'. ' р,' 19 36 Н = ~ г +П(41 9292), 2т, Нв где Н, = — коэффициенты Ламе. где 1 П 193т Н =- — ~ р р;Є— ~' ррй Р Р ~~ Р, б Ь АО(9 Л), ,й=1 ,й=1 ,й =1 [р й(91Л)),"й 1 =-А ', А = [о,1.(уй,в));1 19.38. ц =- А 'р, р = — Сц, где А = [о.й),"й „С =- (сйй),"й,.
362 2. А налитическал меха«и«а 19 39. Ч(Р) = цо + К [ р(г) е(г, р(Р) = ро + ] Ь(г) ав где К = А ', А = (а е),". е,. ее ее 19 41. ре =А" ре, где А = (д~,(две)" е 19 42. а) р„=- р,совфф ровпф, ре = — р тяпе+ ретсояф, р, = р,; 5) р„= р, впв сове-~-ревпв впф-~-р, савв, ре = р тсояв сояфф р„гсовв ясаф — р,твпв, ре = — р твпв впф+р„свпо сояф.
г 19.43. Н = — р,+ +р„+ — (ох сов ф+От вп ф+Уг ); 1(, г г ее г Н =., р + + +, (а яп 0 сов ф+6 ярп 0 вга ф+7 сов В). г Ре Ре ' .г г .г,.г г 2т [ тг тгв1пгв) 1 г 19 44. Н = — (Р, ф2Р~Рг-~-2рг)-~- —.(Чг -~-Чг 1 21 '2С г г 19.46. Н = — (Ретро) т 2С(дг — Чг) + 2С (Че 19.47. Н = г(Зт Р— 4тР Р„+ВР ) фс(х фт ф ).
7тт 1 г г Зс г г 19.48. Н = — (рг 4 рг) ф — (хе+хе) Зт 2 19 53 д =-ф [д„р„7' [Н(д, р,))Р] р =-ф [д, р 1 (Н(Ч„РДР]. 19.54. Че = ее(а, (1,, 1), р, = ф,(а„де,в) — др(де,в))дде[д 1955. д,(1)=ф,[аз,д„]7(4)Ж), Р (1)=%[ар Ве ]7Юеец]. о о 19.56. Н(0, ре, 1) =- Н(((0, 1), Аре, Р) — (ро, А"дГ~дв), где А = Яд~,(две)" е г) )], (а,Ь) = ~ а,Ь,. е=1 19.57. Й = Н(д, р — Згад Е, 1) — дГ/дЬ 19.58 1 =7(Р)ро(д, Ч,р)-те(Ф(д, 1)(<И. 19 61.
д, =- дН(д,р,с)/др„ре.= — дН(д, р 1)(дд, фе)(д,ф(д,р,в),1), Н(д, р,р) =~ рфе(д, р,в) — Т(д,ф(д, р,в), 1) (е,р, 1 =1,«). =1 1~" д1 19.63. 'Г = — — е —, де. 2 ~-~ дде 19.65. Н = — — — с — — —, ф РГ(1)ехр [ — 1), 2 [ 4т) 2 /6 Н = — — -~- с — — — — ур (Р)ехр [ — 1). 2т [ 4т) 2 [2т / 3 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Петер 363 19.66. Н= "г — — т' +~Ц(г)дг.
2тпгг 2 рт т, г г.г, СтАЧ 19.67. Н =. — г — — — !'г тг Е ) — — —. 2тг з!и е 2 г „г„ г Р* "Рт Р Рт У ( г „г ° г) У™ттг 2(тт+тг) 2рг сазов 2 тт тлг где и = — —. тт+ тг г г Рт т' .г 19.69. Н = г — а +т8ггоза Л (М-г2тз!и о) 2 с Четь(ут р, Чз,з) 0 =1, и, э =1, т),гдефункциито получены из уравнений Чз = дН(0рз, разрешенных относительно рз (1 = т+ 1, и).
19.72. К = — Чт 19.73. К(х, у,г,р„,р ) = — 2т(тз з-туз) — Рз — Р*. Н)(1. „' "), И=- уг, 19.76. у(А -т туг)2т/Р = и, 2т(л ~-туз)2тт Р = и в тт †постоянн энергии. где Р= операцию дифференцирования по х. — функции Якоби, в штрих означает тт е 19.76. Н = — (р — — 'А) -'сев.
2т(, с 19.77. 1 = --тсз!сг — ег — ее э- -. (яА). с 1 19.78. Н = — е р — Орх+е ст — — х — /ит г Зтуы г 2т ~ 9 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Нетер 20 1 (К,р ) = (Кт,Кт) .= (х,К ) = О, (Кт,рг) = — (Кг,р1) = рз, (Кз; рт) = = — (Кы Рз) = Рг; (Кг, Рз) = — (Кз, Рг) = Рт, (хт, Кг! = — (хг, Кг) = хз, (хз,Кт) = — (хт,Кз) = хг, (хг,Кз) = — (хз,Кг) = хт, (Кт, Кг) = Кз, (Кг, Кз) =- Кт, (Кз, Кт) =- Кг, (Кг, К ) =- О.
19.70. Л = тиос 19.71. Если т1ео НН ~ тЗ О, то Н = Н(Чт, р,,уз(Чт,р„уз,с))— дртдрз) ),.= 1 2. А налитичсскал механика 20.14. д, =(д„Н), р, = (р„Н) (3 =1, и). 2 1 2 — 2 1 — З (2п)1 1 + (2п — 2)3 1 2+ (2п — 3)3 1 3+''' ...4И11И'2 14 В'2 . 20.24. р. = Пг(д„а.), ~ — — — — — — — — = ~ Н (а1, аг,, ач, 1) сЫ -3- 33, Л (ч., д.(ч*,а*И (3 = 1, п), где а; н (3, — произвольные настоянные, 1,(дг., рг) = = де,(ч„рг)!др 20.25. Система имеет первые интегралы 11(дг, рг) = сг, уг(сг, Чг, рг) =. сг, с (сг, Чз, рз) = сз, нэ которых в силу условия разрешимости следует, что рз = 311(сг, Ч1); рг = 312(сг, сг, Чг), рз — Пз(сг, сз, дз).
Иэ уравнения Чз дН ддз др(с2, Чз, рз) = — НЛ1ЕЕМ вЂ” = . Дифференцируя по сз тождество дрз де= др, дн(сг, чз, рз) ддз К(сг ЧЗ тз(сг сз Чз)) =. сз получаем, — - = 1. Поэтому дрз „, доз 43 =, илн ~ — ддз = 1 -1- Рз. Аналогично, дифференцируя по ддз1' доз ~ доз сг тождества Уг(сг, Чг, Пг(сг, сг, Чг)) == сг н Н(сг, Чз., дз(сг, сз, Чз)) з— н сз, дн, д„, ддз нэ уравнения дг = пачучаем Чг — ж Чз — = О.
Это соотношение др2 дс2 ' дс2 (дд, (ддз дает дополнительный интеграл ~ — ддг ж ~, ддз = (3 . Точно так же ~ дог ~ дог (дш (дпг получается первый интеграл ~ —, ддг-> ~ — ддг = )31. Поэтому зависимость ~ дс1 ~ дог координат и импульсов от произвольных постоянных сг, сг, сз, )31, (32, рз и времени определяется иэ следующих конечных соотнопгений: рг = ( ддз(сг,сз,дз) зп(С1 Ч1) 312 : 312(С1 С2, Ч2) пз : 313(сг. СЗ чз) дчз доз ддг(сг, ею Чг) ( ддз(сг,сз, дз) ( д311(сг, Чг) = Рз+1, Г .' д ~ д дог др2(С1, С2, Ч2) - дчз — (31.
дС1 20 28. а) Ч, = А з!п (и 1к а ), р, = А сь сов(и 1-~ а ), (3 = 1, и ); б) дг = аз33п(агз+Рг), рг =-(аг/аг)сов(агз+Ог), Чг = аг 33п ((а11 2аг) 1 -3- (аг/4аг) 31п 2 (а21-~- (31 ) -3- )3223, рг = аг сов ((аг /2аг)1+ (аг/4аг) 33п2(аг1-~- 01) 3-)32); в) Чг = аг 31п ((2/а~~) 3 -~- 01), рг =. а1 соз ((2/аг)1-3- (31), дг =- азззп (Ог — (2а~111аг~)3).
рг = аз сов[(32 — (2аг~/аг)3); г ( дн(аг, °,ач, 1) г) р, =-д„д, =-аг~ ' ' ' д1-~-)31 (1=2, и), даз З 20. Первые интегралы. Скобки Пуассона. Теорема Петер дг = и1 яп ~2 ~ Е(аг, ...,а„, б) сН -~- рг~, Рг = аг сов (2 ~Н(аг,...,а„, 1) М-»Рг 20.29. И'(дн р„с) — ( у(1) ~й. 20.30. При условиях задачи существует функция Е такая, что з (Ны Нг) = = г (Нг).
Поэтому д =- д(до, Ро, Р'(Нг(до, Ро)Я, Р =- р(до, Ро, р'(Нг(до, Ро К), где Р'(Нг) = аГг,ГГГН1. 20.33. Н = — (р,А 'дГ,Гдб)-~-Н(д„б), где р(дн1) — произвольная функция координат и врелгени, А = [ду,/дд,)б, „а скобки (х, у) = ~ з,у,. 2035. й -~-1-~- 2 = О, Ь -~-1а = О; Г 2 ~ аид,д, +И~ ~ аид,д,+2П(д„)~ =сопзс, з =1, и. и=1 ьз=1 20.3Т.
Рьзг — Роз| ° Г1 20 41. ~».,д, ад; +~ Ьи ~4 /згуз те~ — (2абта) ~ — ~Х д* тП(дь))', ,=1 з=и ,=1 1 дП А=1,п, з» ад,+~» Ьгз;Йг(Х,д, Ч-сг! — +2аП=О, — з=г !д,. где а, с„д -- постоянные величины, а (Ь, )";и, — кососимметрическая постоянная матрица. 20.42. 2 а„д,(адз+ ~ дзгбзщ-»с,~— а=г йн=Г (1 — — а„д,д, +П(дз)~(2абт4), й =-1, и, 1 дП ~, ~ад + ~, дыбзге те~ — В2аП =.
О, где а, сн Гà — постоянные вели=1 йз=г *~ дд, чины, (Ьы) з ~, — кососимметрическая постоянная матрица, а (из, ) „,,— матрица, обратная к (а; ), 20.45. д, = д;+ б,а, где Ь, удоалетооряют системе ~~~сиб, = О (г = 1, и — 1). г=г 20.46. П = Н ~дг + дг, дз -~- дз, и агссб — ' — (1 агсзб — !. г г г г дз М дз д,! 20.4Т. дг = дгсозаа — дгяпаа, до = дгяпааб дгсозаа, дз = дз соври — до яира, дз = дзян(»а -~-до сов(»а, 2. А налитическал механика 366 2049.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
