Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Следовательно, гамильтониан Н системы равен Н =- Ео [Ч, Г(ср, р, С), С) + Е (С(ср, р, С); С), где ес (а, С) — произвольная функция. 24.102. И' = ~ [(х, — х о) -р (у — у о) -р (з — х о) [. , 2(С вЂ” Со) 24.103. И' = — — [(т --хо) 4(у — уо) 4-(л — ло)— 2(С-Со) — 8(з -'г зо) (С вЂ” Со) ) — (С вЂ” Со) . тб о 24 24.104. И' = — — — — [(х +хо) созв(С вЂ” Со) — 2ххор тв ,з о 2шпв(С вЂ” Со) 24.108.
И' = [(х + хоо) сЬв(С вЂ” Со) — 2ххо[. 2 о!с со(С вЂ” Со) (с =-1, и) 24.107. Н(Х, р) = с'„(1ы...,Х„), 1, =-О, а, =— ду, 24.109. 1 =- 4 —, Е=- — агсзсв Р сср 2тв 2в ' ! Ф з 24.110. Н =— 2(ро -Р Со + 1,) "В 25. Методы оптимального управленим в зада х механики 589 8 25. Методы оптимального управления в задачах механики 25.4. 2 2 25.2. ы ~ фд зф= хз ~~ф — з — — аь Ь;г 25.5. Если ось Ох направлена по вертикали вверх, то — Рс;О<1<ты 2тН 2Рси Р„Н <г < т, у Роггта' Ро — ту' Рс, О<г<хз ™, г с' — Ро, кз ™ < 1 < 2хз Рз, 2к)) — < С < Ок~) — . с с 25.6. Р(1) = а) ггй~ — 1и ) =рхо, )х~! < — ~)1 Ес~анм); 5) (~лрх )З гРгг — (~ рхз)зтю .> О ° — -гн "-иь-в ° .
а, — '~«:Г 2Ро 2т~Р 25.8. а) С = Г4т$Р 5) с=- ~(,г г 2Ш~,Р— й) тР (Р~ — Л~)Р и Р 25.9. Задача сводится к рассмотрению одномерного осциллятора массы М под действием пружины жесткости (2-~ М/т)с. 25.12. — -~ ппп Л(ц,, и„го) <- ~ — ос, г = О, причем В(ц, Т) = О. о Ого ( 4 ООО 1 25.Т. Начальное отклонение хз от положения равновесия и начальная скорость хз должны удовлетворять соотношениям 2. А налптическал механика 8 26.
'Уравнения механики неголономньтх систем 26.1. Непосредственно или рассуждениями, используемыми при выводе уравнений Лагранжа 2-го рода, можно показать, что при любых зависимостях дз = дь (1) (й = 1, п) справедливы тождества (по времени) Из этих тождеств после несложных преобразований вытекает соотношение (1). Ответ на второй вопрос отрицательный, поскольку виртуальные перемещения Бдз не являются независимыми.
Так в случае линейных кинематических связей Е а,з (д, 1)дз -~- а,о(д, 1) = О виртуальные перемещения удовлетворяют системе з=г линейных соотношений ~ а,з (д, 1) здз = О, з = 1, д. о=1 26.2. Система уравнений движения имеет вид д ОТ ОТ вЂ” — — — =9з+~ а„(д,з)1„1=1,п, дз ддз ддз амд,ч-а,о =О, з =1, д. з=г Эта система относительно (п г д) переменных запишется в виде (дг, .
..., д„,1г,...,1н). дТ, дТ -, 1 т-'" 26.7. д, = —, р, = — — -г Я„Т = — У а„р,р,. др,' ' дд, " 2 ~-' ддТ ОТ 26.8. — — — =Я -Г11, ~ 1 д.=О, з=1,п. д1 ддг дд, ОЯ 26.9 .. =1) д эг=~',1д. дд, 26.10. Авг-Г(С вЂ” В)вгвз = Мг-Гааз, Ввг Е(А — С)взвг = Мг айаг, Свз В ( — А)вг вг = Мз ч Хаз. 26.12. ~ т,,д,а„= О„~ 1„т; =О, где О, = ~Р',а„. 26.13. ~ а„К, = ~ аг,Мь ~ 1„в, =О. 2Т 2Т 2Т 26.14. а) шй = — — в, т.у = — — у, тй = — — г; а з ' ' г ' г а а Т вЂ” тгг б) шй = 21в, ту =. 21у, шй =. -21г, Е= а -~-2г 0 26. Уравнения механики нееолономных систем 801 26.15 26.16 26.1Т 26.18 26.19 26.20 26.21 26.22 26.23 тзг — 2Г в) тх = 4Хх, ту = 4Ху, тд = — 2Ло, Л= — — — — —; э а -~-4аз 2Т 2Т г)тх= — — гт, тд= — — гу, те=0.
а а '2Т 2Т 2Т а)тх= — — х, ту=.— — у, ту= — — з; о г ' г а а б) тх = Хз2х -~-Хга, ту = Хз2у.~-Хгб, тЕ = Хгу, тзг — 2Т тз — 2Т Лг =-,,— уг 2(1 — уг) 1 — уз тхс = г -~Хг, тус = гз +~э, Ар-~-(С вЂ” В)дг = Мг — Хгажй+Хгапй, Вд й (А — С)рг = Мг — Хгаггй й Лгагг й, Сг й (  — А) др = Мз — Хгазг й+ Лгазг й, хс — (рагг+дагг+газо) й = О, Ус о-(разе+ дамм тазг)й = О. К этим уравнениям следует добавить уравнения кинематики. АйгЛо — Вйззз .~- СйзХг — гпг (ЙгХз — хгХо) = 2н ы АйгХз -~- Вйг о — СйзХг — гпг (оггзо Ч-хзЛз) = 2н~ г, — АйгХг -~- ВЫ» й СбозХо 4- тг (хгЛз — хгХг) = 2нХз, — АйгХг — ВйгХг — СйзХз -~-тг (йгХг — югХз) = 2нЛо, где йг = 2(ХоХг — ЛгХо йЛгЛз — ХзЗг), йг = 2(ХоХг — ЛгХо йХзХг — ХгЛз).
Центр конька движется по окружности радиуса й = е(й, угловая скорость конька 6 = сопзс, 10 =. той. Траектория центра диска — окружность радиуса й = гг1'зз, угловая ско- рость поворота плоскости О = сопзз, гз' = теф. 4А(ЛоХг — ХоЛг) — 2тг [х (ХоХз + ХзЛг) т у (Хо — Лг)] = О, 4А(ЛоХг — ХоХг) — 2тг [х (Ло -~-Хг) -~- д (ХгЛг — ЛоХз)] = О, 4А(ХоЛз — ХоХз) — 2зпг']х (ХгХз — ХоХг) -~. у (Лоуг -~.
ХгХз)] = О, Ло+ Хз+ Лг Ч Лз = 1 х М 2г(ЛоЛг — ХгХо 0 ХзХз — ЛгЛз) = О, у — 2г(ХоЛг — ЛгЛо -~-ХгЗз — Хззг) = 0 где Хо, Хг, Хг, Хз — параметры Родриго — Гамильтона. — 10ге-',5го з1п20+12гоусозе+88ззпе = О, йсозе-~-206 = О, 3(йззпе 0 6) .<-50»рсозе = О. Скорость центра оси о = сопзс, угловая скорость оси й = сопок В сферических координатах ю = а е„= сопзЗ,,Ух совой (Ут тг )озз1пе = сопзз, ]1+т(й — г)г](ег+йгззп О) йэх'„+Огпу(й — г)(1 — созе) =сопзз, ~(й — г) где х=)] г (ОгЧ-йгззп 0)йхг — угловая скорость изара. 2. А политическая механика 392 26.24. В сферических координатах м„=а.е„.=-сапог, (7+гас )щ,сова+ах„егпа =-сапог, з'м Рт.(р -~-р'О зш а) 92тВ(рсоза.~-гвпа) =сопзФ, --=~~г гг..*.Р- ° 26.25.
Тела совершают регулярную прецессию с одинаковыми угловыми скоростями собственного вращения. 8 27. 'Устойчивость движения  — С , С вЂ” А А — В 27.1. х= -уг, у= (ро-рх)г, 1= (ратх)у. 27.15. Решение задачи основано на решении дифференциального неравенства е ( (с/Ь)с, которое вытекает из условия задачи. 27.16. Рассмотрим линейную стационарную систему х = Рох, где Ро — гурвицева матрица. Для этой системы существует функция Ляпунова с = сых,хь с отрицательно определенной производной в силу систе*,о=1 мы х = Рох.
Этз функция рассматривается для системы х = Р(1)х. Из анализа о в силу х = Р(1)х получается утверждение задачи. 27.37. Если через 1, обозначить собственныс числа матрицы А, то совокупность всех собственных чисел Л, задается выражением (Л. 4 уы г., г = 1, и.). Все собственные функции и(1) получаются как всевозможные попарные произведения собственных функций оператора Ци(х)) в пространстве линейных форм. 27.38. Полная совокупность собственных чисел Л определяется выражениями 2 ть1ь, где ть — произвольные неотрицательные числа, для которых 2,ть = пг.
Соответствующие собственные функции и (х) оператора Це(х)) получаются как произведения вида (и, '(х) иг" (х)...и™" (х)), где через и (х) обозначены собственные функции оператора Цс(х)) в пространстве линейных форм. 27.44. КРиваЯ на фазовой плоскости Р Э х д = Ро ам до. гг г гг 27.45. П-предельное множество решения Х(хо, 1) состоит из одной точки х = О. В 28. Дискретные модели механических систем 28.1. Е, = (1+Ь )'Ео, 282 1Г,=(1+Ьг) 1'о, о=0,1,2,... 28.3. а + 1 = 1. 28.4.
а =1= 1/2. дЬ~ дЬ~ г дЬ~ / дьы — дьЛ 28.5. —, — Ьь =О, где ьь = ь (гь,Чь, (, Ьь = 1ьтг - Сь. д, )ф д, ' (, ' ' Ь ,)' 28.6. Оотг — — Уь + Ьуь, Угэг = — Ьоь р (1 Ь )Уь " =" Список литературы 1. Айгермаи М.А. Лекции по классической механике.
— 2-е изд., перераб. — Мл Наука, 1980. 2. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.З. Теория колебаний. — 2-е изд. — Мл Физматгиз, 1959. 3. Аппель П. Теоретическая механика: Пер. с франц. — Т. 1, т. П. — Мс Физматгиз, 1960. 4. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — 2-е нзд., стереотип. — Мл Наука, 1979. 5. Архангельский Ю.А. Аналитическая динамика твердого тела. — Мс Наука, 1977. 6.
Балх М,Б., Дом«»»«В.Г,, Куницын А.Л. Сборник задач по небесной механике и космодинамике. — Мг Наука, 1972. 7. Белецкий В.В. Движение искусствонного спутника относительно центра масс. — М.: Наука, 1965. 8. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. —. Мл Изд. МГУ, 1975. 9.
Беллмаи Р. Динамическое программирование: Пер. с англ. — Мл ИЛ, 1960. 10. Биркгосб Дж.Д. Динамические системы: Пер. с англ. — Мс Гостехиздат, 1941; — Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. 11. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотичсскис метода в теории нелинейных колебаний. — Мл Физматгиз, 1963. 12.
Бражниченко Н.Л., Каи В.Л., Минцбсрг В.Л., Морозов В.И. Сборник зада« по теоретической механике. — Лл Судпромгиз, 1962. 13. Булгаков Б.В. Колебания. — Мл Гостехиздат, 1954. 14. Бутснин Н.В. Введение в аналитическую механику. — Мс Наука, 1971. 15. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. В 2-х частях.
— Мг Наука, 1972. 16. Бухгольц Н.Н., Воронков И.М., Минаков А.П. Сборник задач по теоретической механике. — Мб Лс Гостехиздат, 1949. 17. Вариационные принципы: Сборник статей / Под род. Л.С. Полака. — Мг Физматгиз, 1959. 18. Валле Пуссен Ш:2К. Лекции по теоретической механике: Пер. с франц.— В 2-х томах. — Мл ИЛ,т.1, 1948; т. П, 1949. 19. Веселовский И.Н. Сборник задач по теоретической механике. — Мс Гостехиздат, 1955. 20. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
