Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Уравнения Лагранжа ция. 12.72. !' = — (т,»2)х~(х~ 4 у ) .о тх(ху — ух). 12.73. Ь= — е [тх +Охх — ~с — — )х ~. '»ргр( ' / О')21 2 ~ (, 2т! 12.74. г = — е [т~х»+ху +Ох»х»+Охгх24 — х +х 9! д ° 2 ° 2 . ° О ! 2 2» 2 ~ ( ) 2т( — С1Х» — С2(Х1 Х2) — Сгхг~. г 12.75. 1 = — е»вг !1[т~ дг+(»г, д*д + — -~ дг — ~ с „дг =1 =1 =1,1=1 г! 61 — 62 = — Р(д,, !), где Р— произвольная дифференцируемая функция. г!г Е'- ам до + ~, Г* ыдоф = гг'. (г = Гп).
Если принять обычное в тензорг=» 2,1=1 ном анализе соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, то зта запись примет вид ам д" 4- Г но» д" д' =- чг (г = 1 и) А гогА = О, А = (а», аг, аг). Возможная скорость колечка совпадает с его действительной скоростью. Да. г;»,, = иг(г) — Ар„,(г), г'„г,, = иг(г), и„„ (г) = О. 12.79. 12.82. 12.86. 12.87. 12.88. 12.92.
а..( ' )=-[Ьг '(,'( )~ »го ! дд, '»" Ь(д, 1?, г) = Ь(о(д), (де(Од)д, г), где — = — — якобиева матрибд (О„),, 12.93 12.94 ца преобразования. 12.9Т. 6 = — И~~О» -'г (а -~- !1 в!по») ~и~) -!- —, (фр»~ -г фрг ~-р 2!1!г616гсов (»рг — »р») -р .Е (а 4- !1 в!п »р» г- 1г юп»рг) 2 оР) + 2 (т» + тг)81» сов»р» Х то у 12 сов »рг. т»12 г 12 98. У-РЛ-РУ2-~. +тг(1-»-Ч) ~ О-Р2т~(1-~.Ч)Чг»= М(!) 4 (гп1 г-тг)го-(т»+ тг)$ = Р1(!), »п2ч — гй2(1-! ч)9 = Рг(!). 12.99. г — гр -р- 2 + 2 =.О, 1 Ег-Ьггег-! (Е-'гу) =О, Т(г — !сов р) г(г -»-!сову) Г, Гг ~ »г г» г » , г — , г » — г . .
. — ОГ г » ' б » Ы . 12.6Т. 4т1гд —.тоРЛв!п4д-!.2тив!п2»р — 2св!пд(21!саед-.1о) = О. К аб 12.68. у= 2 2 (а(сова! — с!»хг)+в!пхг — в!»хг)+ 2(СЬ»х! — 1). 2»о (1-ра ) 1+а 12.ТО. У(д„д,,!) = — ~ 6 од до-»- ", где Т(дг,!) — произвольная функ- 4т(д„г) 2. А литииескал механика 12.100. (а'+ тг — тгр сове) ф — тд(г — р) Ятф = О. 12.101. тт~ (фв-9 сов(ф — ф) ф Ого!п (ф — ф)) -~-тд(япф-~-с(ф — 1р)— — таз Р соя ф (яп ф -Е яп ф) тз (9+фсоя(ф — ф) — ф яп(ф — ф))+тдзяпф — с(ф — ф)— .-та т' сояф(япффявф) 2 С~ 2 12.102.
В полярных координатах г — г(9+в) =. О, (г (О+в)) = О. сзс 12.103. х — 2ву — в х — у [тт(х — хт)угт +тг(х — хг)~г, ) = О, 2 ЗУЯ ЯУ21 у+2вх — в у — уу тт(гт +тг(г~ ) =.О, г у зуг зуг'т г-~уз тт(гт~ ттг(ггн ) =О, где г, = ут(х — х,)ЯА-у~в-зсд (г = 1, 2), у — постоянная всемирного тяготения. 12.104. (М -~- тп)х ф т(Л вЂ” горсея р — 92 япф) = — сх — )ттятупх, З(й — г)ф+ 2х сове — 23япф = О, где тт' = (М -р т)д -Е т(Л вЂ” г)(фяпф-'г ф~ совф). 12.106. 21~от-'г4й~рт -'гЫфгсоя(фг — фт) — Р тфг~яп(фг — трт)-~-23(яптрт = О, Ьфг-~-тфтсов(ф2 фт)тр(Фттф2)сов(ф2 фт)тЕОтвтп(ф2 фт) 1 дв!пфг 12.107.
ф-~-2(т/т')ф-~-(ду'т) отф =- О. С д ( япф(з) 12.108. 1 = — ~ тре, где С вЂ” произвольная постоянная. у ф(1) 2ъ'ф(с) ~ шеф(с) 12.109. ( — +в~ ф ф 2 — фг — -р р) +дт япф — д — сове = О. ~ф) ) "Ьф' ) 12.110. т',Рт = — тут'ятпф — От ф. 3 13. Электромеханические аналогии 13.5. ттхт -~- (йт -~- йг)хт — Игхг — —,— = ттд — т тгзт -~- тг в 2, Ч 2Сгат тгхг-~-(К -'е ьг)хг — Рсгх~ -~- = тпгд — йг зг — 12112, д 2Сгаг /ат — хт аг+хг 1 т 1д-,-рудо-д( ф + — ) =е(1). Стет Сваг о СтСЯ(12 -12) С212-Ст Ат 13.9. Стг = Сваг-Стет С,-С, 13.10.
Е.= — ст уьр~ т (дт+дг)+ Вдтдг+Кдгдг-~- 2 (Чг + Ч2) г дт (Ф-Чг)' дг) 21 Сг Сг Сз [ С 13. Электролгеханичеекие аналогии 13.13. ССС-контур. 13.11. 13.16. 13.15. 13.19. 13.24. 13.23. 13.29. И(С), е(С) — о- йдо т(С) 4кт(С) ' т(С) 13.30. тх+Сгх — — — — = тд+ Р(С), !.СС-Š— Е- — — (а — х) Е- СЦ = о(С). о 9 9 2аео Се аС, 1331. СеСа)еСС = ага, С еСЦеСС-Е ССС =аСа. 13.33. пг = 5, пг = 3. 2.
А лптическал механика 1 " 1 2~ 2Сь ь»=1 ч»=1 -и .2 ~ ч — Мьу,уь -~- - ~ 1оу,'- - ~ — ' ' ь»=1 *=! 1 13.35. а =-— 2 1 ", 1 К= г ~ В„(д,-дь)'-е -).,Л,у',. 2 ' ' 2 8 14. л'словия равновесия 14.2. 1 =- «р(х + у +з ) — С =-О. где»р — произвольная функция, а С вЂ” произвольная постоянная. 14.3. 1 .= 13 й,„, 14.4. з = хе — щ31'1З где ее — высота притягивающей точки. 14.5. Ь, =3) ть/С, (»=1,п). »=1 14 6. Сй Оь =- Я~~тпу(»» — 1« + 1)) (1 =- 1, и). 14 7. Сйел = 2ЯДту(2п — 2» т 1)) (ь = 1, и). о я»3 14.8. В положении равновесия деформация пружин равна — - х — —.
2С«И и Нх 14.19. у(х) = с» + сз [, сг и сз определяются из условий у(х») = ум (х« сз 2 »у(х2) — ую 1421. е =- хе«-е»з(хз «-уз)»23 1~1 1 14.9. 1 = га~ ~— — аппп. с~М й~ 14.11. — = д, — = — а. Нх ' «1х 14.12. у =- (х1»1'» )(21 — х). 14.13. у = — х — — (ч~Р— хй — 1).
бд 2' 14.16. В положении равновесия оь независимо друг от друга могут принимать одно из двух значений: Оь =- О или еь =а»оспе [(2(п — 1«) +1) — ~ (я =1, и), х > (2(п — л) + 1)331'й 'с! 14. 17. Цепная линия х = а сЬ ((х + 3) 1'а) + у, где а, 3 и у определяются из условий —, «)- .,(~гогах .-~ е 14.18. Цепная линия по отношению к «вертикали» я, .— — 8 — ие в движущейся системе. 6 15. Устойчивость равновесия консервативных систем ЗЗТ Координаты д,тг, ...,д в положении равновесия определяются из систомы равенств (дП/дд„) = О Ц = е-1-1, и ); д! = а, (! = 1, в), где а,— произвольные постоянные, т. е.
система имеет кентинуальное множество положений равновесия. Равенства Ф!(а, 1) — К,(а, 1) = Гс,(а, О, 1), где Фр(д, Г) = дб,(д, 1)/дг и Й (д! 1) = ддде(дг, Ь)р!дд, (! =1, и) должны тождественновыполняться по Ь 14. 23 14.24 Ьр — 2ас Ь аОЬ вЂ” а с — 6 а-брсь 2 2 г1 аб — 2ой 2а абб — а с — 6 а+о 2 11 !1 а , бь =4ас — Ь'. — бх,-~- бу,-~- бз,) =-О; бя < О (у = 1,1); !'д,г.
ду. ду; я,. сО (с=1+1, й). дь — — — —, где А= . ~ а~ (й=1,п). А' !р! = О, ез = к, !рд = агссов (6/я г), возможно при я > 6) г. 36 (т! + Зтз) Зй(тг+ Зтз) е, = О, р, = агссое , возможно при ы > 2я 1(т! т тг) 21(т! Фте) ' (М б 2т) я б 2й1 (М .!- 2гп) 6 е! = О, ез =агссое, возможно при ы~ > . 21(йятм ) 2т1 яа1сов!рь ~(п — й — 1) ) япв, З-~(н — у 4-1) в|ад,~ — я(н — й+1) япдь = О г=! !'=-ьт! ! ч 2 я 1соввь му (и — !-Ь1/2) яп!р, — — я 1соевь е!пвь— 6 =! 14.28 14.31 14.34 14.36 14.37 14.38 14.39 14.40 — ы~1соееь ~ (й — г)япе! — я(п — йь1!2)япеь = О (й = 1, и).
г=! 14.41. г1г .= 1 41 ж — 1 Е 1 ~й, где Ю вЂ” произвольное бесконечно ( ! ) 3 ~ малое перемещение. 8 15. Устойчивость равновесия консервативных систем 15.1. Положение равновесия смещено по вертикали от неподвижного заряда на расстояние Ь/ едДш~, неустойчиво. тб сова — пие 1еяп а 15.2. АЯ = бе — е з, с ф- ты'в!п а; устойчиво при с > с — пие яп а > та в!п а, неустойчиво при с ( тм и!п а. 2. А налатичсскал механика 15.3. Положение равновесия (р = О устойчиво при сре > 2(сй — шк)( положение (ре = агссоз[(1(2) сре(сй — тк) ~) устойчиво при сре < 2(сй — шк). 15.5.
Положение равновесия х =- О устойчиво при а > х ( ( положение равновег 3 — '("("*»П'-(' 15.6. При х 7 < к: устойчивое положение равновесия зь = О, неустойчивое — (р = = л; при х 7 > рр устойчивые положения равновесия (р = затесов(у,(х 7), неустойчивые — (р = О, (р = к. 15.8. Положение равновесия х = О устойчиво при хгр < к и неустойчиво при хг р > к.
При а~ р =. я любое положение шарика будет положением неустойчивого равновесия. 15.9. При х а < яЬ( устойчивое положение равновесия (О, — Ь), неустойг г чинов — (О, Ь); при х а > дЬ( устойчивые положения равновесия г г *-Сг(( ь»,-~ь*((* ьг, ""-"-Кьь'». сйшгро сйт» ре 15.10. АВ» = А В»в (т»+тг)сй — т»тгя' (ш»ттг)сй — т»тгй неустойчиво.
г г г 15.11. Континуум положений х -»-у =-ре неустойчивого равновесия. 15.13. Положение равновесия в = О, ьр =- О устойчиво, если 2тр» > М(рг — 7»)( положение равновесия з» = л, »р = О устойчиво при 2тр» < М(4 — й). При 2шр» = М(рг — 7») система будет находиться в равновесии при любом (р и»р = О. 15.14. При а = тм положений равновесия нет. При а ф тх существует одно г г положение равновесия 2тксова шд 2тЬ х= у.= — - -(- —, с»8 а, (а — тх')з»п а' а а — тм устойчивое при а > тх и неустойчивое при а < шх . 15.15. х < 28 ш(п(а, О). 15.16. При х < кс((Ь: устойчивое положение равновесия х = у = О, л = —.с; неустойчивое — х =- у =- О, г = с.
При ус,(Ь~ < хг < йс((а ( устойчивые '-ь в —,ГЬ*-,.*((. Ь», ° — -«.*((.Ъ»; неустойчивыс — х = у = О, л = ~с. При хг > Ос((а: устойчивые положения ..-ь,,— ь:, (( ь*»,.--,.*((*ь'»;-,.*.ь .. — — -ь *-ы*-~7»'-Гг((" *» -ь,*---кь((* ь» 15.21. Положения равновесия: Ц х» = й(2 А тф)с, Зь» = — л (2 — устойчиво; 2) хг = й,(2 — тя,(с, (рг =- л((2 — устойчиво при с < 2тб/й, неустойчиво при с > 2тк((й; хз = О, (рз = агсз»п (сй,(2тя) — неустойчиво.
15.22. Положения равновесия: х» г =- ~ту(((2с), (р» г =- 1л7'2 — устойчивы; хз = = О, фз =-О, хь =-О, (рь = л — неустойчивы. 15.24. Положения равновесия: З»» = Π— устойчиво при х < 8(г7 (рг = л— г неустойчиво; Ез .= агссов(8,(х г) — устойчиво при (з > д7г. г г 3 16. Малые колебания консервативных систем 339 8 16.
Малые колебания консервативных систем -' --=(п'-:) ';:,': о=с 16.8. в. = мр с,ои, ио ( ~ а,оис ио,) (у =1, т). я т ,о=с ,о=с 16 9. в, = с ссая 4-рзроов ч, = п, (с =- 1, п). та (б11(,) И.)„=. фо . Мба 16.12. ср= фосоявс-~- — -яспвс, в = в ' М(Л-а)'ф,Р' 16.14. в= 16.15. в.= А вп Р-~-а ,С8Ь а ,4ь Авп ()(а~~ — веро-а) при в < он = —, а во в — во )( в' <, Ь'в'-р (а' — Ь')соо 16.16. в =- при в > во. 16.18. в = А зш (ЗСс(~ — воя+а), в т < с. 16. 19. ср = сро -~- А ясп (йр-~- а), где фо — значение ф в положении равновесия, : при со < фрд7В, й —.- 'с с'ТС ч'С 16.20.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
