Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Очевидно, что ЫРк = — пк рк 48, где пк — орт внешней нормали в точке К стенки, а рк — давление в этой точке; тогда г, г; =. — ~рп его =- — ~рп гдБ. ряр 00 По формуле Гаусса-Остроградского ~п гдЯ = Щд!ег 4'г" =ЗЩЛ' = ЗГ; 00 г следовательно, 2 Мс = 3 р 1г, и окончательно получаем р =.
(2/3) пс. 7.62. Т =- (т/6) 1 (4м~г + мг + Зт юг соя (мг — кч )1) . З 8. )(ин мико точки е центральном поле 313 2 2 38 МОВ'П 'РО 2 Т.63. Н= — -(сове — соевое 2 — (ып Е+в1п дос182д); в1п и тд, тд тмо1 Т = — — в1пд, о = — (5 говд — 3 соево)+ в1п Ео. 4 ' 2 2 8 8. Динамика точки в центральном поле 28й~(Н вЂ” й) (йс й)(й+ Рч) 8.3.
Н 5,63й, где й — радиус Земли. 8.4. коническое сечение г = р,7(1+ е сове), где параметр р = к77(та) и эксцентриситет е =- 2771-р2Е Ко ((тао) определяются иэ начальных данных. 8.6. Нет, 8.Т. 1" = 27М71с~. 8.8. 4,,7Е ь, = (1+с)'71(1 — е)'. 8.10. р = ро, Ье горо22д7'(еотдй~), й — радиус Земли. 8.11. Ко = (т,7й)иГа,78. 1 т1т2 ртгтя 8.13. В центральной системе Е =— )чг — чо) — — < О. 2 тстто )Г1 — Гэ) 1, ° =1, ° ° =7о7, ния. 8.16.
Произвольная зависимость от г1 — го, г1 — го, Ь 8.20. Р(г) = — а(г -г(р(г . (те ср) — сг д 8.21. в = агссоя (те 12) тор д (4 2)2 ( ~)2 8.22. в = атосов (уМ) + (сРе~ ) 8.23. ио = дй к ов = —. сова(в1па-Гсова)' 8 1 Зй 8.24. ео = сояоа 1418а18(к/4рд772) в1па й Зг до 8.25. е = р= О < а < — + —. в!п(к714.ьа — д712) ' 1+18а 18(2714+в/2) ' 8 4 8.26. ао =- — + —; е = к 1р в1п (к718-г д714) ( сов (3278 — е714) 1 р=й[1-Р 8 4 ' в1п (Зк,78 — д,74) ' ~ сов(к778 — Е,74) ) 8.2Т. г = р , р =-сопев; е = сопев, 7 = сопви 1 -~- е сов (мд -Р 7) ' м~ =1-р2871(тКоо), Ко =- ~~го хчо) 8.28.
о — — 2е, ЬЕ =. 43". 1. Кинематика и динамика 8.29. Л 309 6. 8.30. См. рисунок. а, =Ь;ао (1 = 1,2) для внутренних планет, ао = ао/бо (1 = = 3,4,5) для внешних планет, где а, — средний радиус орбиты планеты, а ао — средний радиус орбиты Земли. К задаче 3.30 8.32. Л = з/21. 8.33.
Е = — ут/(2а), где у — постоянная, зависящая от массы Земли ат где а — параметр, задающий потенциальную энергию спутника П = — —. г 8.33. Круговая орбита радиуса го. Н вЂ” 6 2(ЛтН)(Н4-6) 8.36. е =,, р =,, где Л вЂ” радиус Земли. 3Н' 23(Н-,Н)(Н+6) 8.3Т. Н= — — — — — —, К=тЛ вЂ” — — —, Н вЂ” радиус Земли. 2НтН4-6' 2Н->Н+6 8 38. Ко(1) = Ко(уо) ехр( — 6(1 — со)/т). / 6о'1 8.40. и = сс ехр ~ — ), где сс — начальное значение секториальной скорости. т)' тес(м +1) г 8.41.
Сила притяжения г = — —, ос = г ф. гэ г' / 61~ 8.42. и = ос ехр ( — — ), где ис — начальное значение секториальной скорости. 2 ос 8.43. 8= о ехр( — 61/т). 1 2и 8.44. г.= 1 2 Ю > 0 асоомс4-Ьо1пока' гпсз 3 9. Динамики относительного деиясепил 315 1 2а ае'"во-Ье ' в тсг 1 2а т =, 1 |- = О, где а и Ь вЂ” произвольные постоянные, с = т д. а|р+ Ь ' тс 8.45. Гипербола. тс / 1| 8.46. Е(т) = ~вр(т) — — ), с = т~б. ) з 859 П= — — — з р lь Р й 2йз з р х г — — — лоув Мс = 2 йз ы= ЗР Мг = з (д| — дз)у|уз, йз всемирной постоянной з Мвео, в=| Зр Мз — 3 (ог д|)улг, на массу центра О, уо 3|| М| = — з(дз — дг)угуз, йз где р — произведение = сов(й,ео).
8.60. СА = (1 / й) севов, о|в угол между ОС и стержнем. 3 9. Динамика относительного движения 9.4. в|| = О, Оз = л, Ез =-агссов(3/(о| й)) при м~ ) 8/й. 9 5. о| =813оор(а+те|пса), е =-ьр=- 2йо+23тсово+овг(а+то|по)г, где Во = — йтсовео — (о|~||2)(а+то|нос)~. 96. |р| = О, |рг =л, |рз = атосов(8|г(оР(й — т))) при ов~ > 8|(й — т). 3(й — т)|р — ог (й — т) в|п2Е-Р28ввпо =- О. 1 а 8 47. — = Аз|по-Р Всвое-~- ~ ввп(е — т)О|(т) |й, где постоянные А и В нахотс о дятся из начальных условий. 1 а 8.48.
— =-Ав!пмез-Всовм|ре ~в|о||о|(е — т))ов(г)Ж, тс о| о 8.49. е = ьве/е, |р =. — л/2. 8 50. р = й(е — |во) ||о~, е = йо (2 е — |3 о) /е', е = л. 8.51. т| < тг. 8 52. р=. Ро(1+1), е = 1+(1о 1) |ео 1о-(теоро(а) (1 +21)). в. в. „-- — гуы(л- -| — |), |-, — рту| о- г| параметр, задающий потенциальную энергию П = — ат7т. 8.54. |зо = о. Импульс сообщается в точке пересечения орбиты с плоскостью экватора. 8.57.
д = 2Ео+ 2 Г, где 7' — кинетическая энергия системы. 8.58. Ь = 35870 км. К Кинематика и динамика 316 9.T. Ойея = — (й =1,и). 3 9.8. ы > 316а. 9.9. е = 911. е+ ~в~ — (агав я|пас) я1пе =-О, а„=-3/й 9.12. а+йоши+ асояч — Аа ягпа1 сояо = О. 9.13. еф = по+ — 1п~соявос. 3 9.14. Р = (МЧ т)3 Сбво1 Етао1юпвой 9.15. е = 9.16. Сила трения Р— )т/3)13сояЕЧ-1аз), сила нормальной реакции %в = тйвпч — тв~г+2твф2/3)аФ+14~3)31сояо. +о ге+ Ча 9.17.
Т = — 1п в ео+а1 12 12 9.18. О( к ( а со+а 'гг -1 ) 9.19. 1=- ~ ИУ!де)'+ у'1е) дч, где У =- еод — ввгвов оуз~ ОУ хо 3 9.20. х = (хо+ — я! сба1+ — ябвс — — осояай 2в а 2во 9.21. Решение. Если в отсутствие силового поля трубке с шариком сообщить вращение с постоянной угловой скоростью в, вокруг неподвижной оси, перпендикулярной оси трубки, то с учетом закона Кулона Ртр = - г'Хяпйпе уравнение движения шарика относительно трубки можно записать в форме тхч-2гп~а )т, — гааза = О, где х — расстояние шарика от оси вращения, поскольку Ж = ~дк~ = 2тЦ ~х~. Прямолинейное движение шарика в вязкой жидкости под действием активной силы таях будет описываться уравнением того же вида. 9.22. Ре1пениг.
Соединим шарик с осью вращения трубки пружиной жесткости с; тогда уравнение движения шарика относительно трубки будет иметь вид х 4 Ч-2ау"х -1-1с/т — в~) х =- О, где х — расстояние шарика от положения относительного равновесия. При достаточно больпюй жесткости пружины с > та~11 ЧЧ- 1 ~) из выражения для логарифмического декремента затухания (период Т =- 2кт/т а с — тв хо 1 находим 1 =— я, где а = 1п гоГго в т14к Ч-а ) х'г2) 3 1О, Динамика систем переменного состава а 1 а ) й -~ и 9 23. х = е ыдз ! (хосЬ вЂ” !т — (йхо+2тео)зЬ вЂ” !), !ео~ > !хо!, 2т а 2гн )' 2гп .=Лчг ю 9 24.
х = Аое -(-Азе ', где 1=ачб/3. 925. хо — хг(в~ -~ й~з!п~оо!) + усова! + 1з!бпхг(4й~(х1в сова! + ага!па!) + + (х~ й~ з!па! сова! + но!ив! — 2хга) з) Пз = О. 1 9.26. П = т (а г — — )вх г( 2 9.28. 6 = Яе 9.29. Зх = 2в (!) х, х.= хосЬ | !/ — в!) -Н~ гхозЬ~ ~~ — в!). 9.30. х = ау", О < т < 1. 9.31. Наименьшее значение е определяется из уравнения тбт = 2з Г'й. Рг*+( — ог о В частности при в = О ез-)-,УдзНз+ео = дНехр(4х~й) 9.32. тх = го Ета х-!-та,(а а+агу), ту' = Р„тта уз-та„(а,а+агу), о',„ф = М, + а о* „, где х, у, Š— координаты центра масс и угол поворота тела во вращающейся системе отсчета. 9 33. тх = г, тт(вуза~в) Ч-2тау, ту = го — тбох-~тазу — 2твх, з'„д = = М вЂ” ао',, где х, у, е — координаты центра масс и угол поворота тела во вращающейся системе отсчета.
3 10. Динамика систем переменного состава г 10.1. з = Л(1 — — з). а д!/3, О < ! < зг6Н~а, 10.3. е = (5-~-2ь'6)ехр(2! ЯН вЂ” зГ6) — 1 ,Ян , ! > зггбНЯ. (5 т 2 зг 6) ехр (2! зги Н вЂ” ь' О) т 1 тр /1 Е рог 1 — рос'! 1 й 10.4. ! = — - !п — — — —, где р =- — — — — (р — плотность воды). 2й 1,1 — рог 1-~-рео)' и ))( рБ(п — 1) 10.5. Вх„= О, ало = Р/2 — Ний!Ь., Вво = Р/2+ Ний(6. 6 — ! / 6 106. Йло — — Мб +ти(з!пп+ — созе), Нв, =т(есозр — исоза), 6 (, 6 6 Йв = Мб — + т(из!п 6 — и — сава). Л 6 1. Кинематика и динамика 318 Ь вЂ” 1 Всоза — сс 10.7. Ял = рВи(1 — з1па), Ело = Мй трЯи В Ь сс Вво — — Мй — +РВи —, где Р— Удельный вес воды.
В 1' 10.8. и = 'оогоссг, г = (го — 2бгосог)х) 10.9. Решение. Пусть х(1) — координата отверстия В в момент времени 1; тогда координата центра инерции трубы х+ Л,С2, центра инерции жидкости в трубе х -~- (Ь вЂ” 1)сс2. Масса жидкости в трубе меняется по закону гп(1) = р(1 — 1(1))Я, относительная скорость истечения составляет и(1) = — тДЯор),масса частицы, вылетающей в момент времени 1, равна дт.(1) =- — т(1) дй Если частица дт вылетела из трубы в момент времени с, то в момент времени 1 > с она будет иметь координату х = х(с) -Г (х(с) —.
и(с))(1 -с), и, следовательно, сумма дт,х. по всем частицам, вылетевшим из трубы к моменту времени 1, будет выражаться интегралом — ~ т(с) (х(т) Ч- (х(с) — и(с)) (1 — с)) с1с. о Координата хе (1) центра инерции вылетевших частиц будет равна отношению этой величины к массе данных частиц — ) т(с) дс = т(О) — т(1). Сумма о произведений масс частиц на их координаты х, для точек трубы вместе с частицами жидкости в ней равна то(х -г бсс2) -от(1)(х — (Ь вЂ” 1) /2). Таким образом, закон движения центра инерции всей системы в конечной (а но дифференциальной!) форме дается интегральным соотношением то(х(1) ",- Ч- Всс2) + т(1) (х(1) -р (б — 1)сс2) — ) т(с) (х(с) + (х(с) — и(с)) (1 — с)) дс = А1-р В, о поскольку проекция главного вектора внешних сил на ось Ох равна нулю.
Это соотношение по существу представляет собой интегральное уравнение для функции х (1), описывающей движение трубы. Дифференцируя ато соотношение, получаем ,  — 1 тох-1-т ' -рсп(х — -) — ~т(с)(х(с) — и(с))де=А, 2 (, 2с' о а повторное дифференцирование дает то х + т(1) Ч. т(1) (х(1) — — ) + т и(1 ) = О, Л вЂ” 1(1) 1(1) 2 2 или (то+ т(1)) х = — (т(1)( — 1(1)) — т(1))(1) — 2т(1)1(1) + 2т(1)и(1)(сс2, где т(1) = рЯ( —.1(1)), а и(1) = В() Бо.
Заметим, что в правой части этого уравнения стоит выражение для реактивной силы. 910, /(инамина систем переменного состава 319 10.10. (М -~- 9Я6(С)) х. = —.арЯ6(1). Мт (и(0 М 10.П. 6= (60т — ) рЯ )/ а рЯ' 10.12 -("- ' ' ' -" ( "т)) '" — — ~(~ ( и Ф аьх 1— 1,1>ьм 2, П( + Р'' где х = я/Ь(.
Заметим, что, каково бы ни было отношение масс М и то, при малых значениях с скорость 0 > О, а прис > 12 скорость о ( О, т, е, сначала тележка движется вправо, а затем направление движения меняется. (М т рЯ6(1)) х = — рЯ (а6(1) — (Я/Яо) 6 (1) сова). Уравнение Мещерского совпадает с этим уравнением на тех интервалах времени, на которых 6 г— и О. '2 Яошо ) М Яоа 6 6 -(- — -(- —— Ясова ( рЯ 2Ясова — (60т — т - ) ехр [ — ' " (60 — 6)1). (М Ф т(1)) хат(1) (а т/сова(й)) — 2т(й)1а(с) в1па(й) — т (1) = О. сова(С) рЯ (М т т) х — тасовал т 2таФ 01п(о = О, (М + т) у — та ып(р — 2т аФ сове = =- О, 4 — (/-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
