Е.С. Пятницкий, Н.М. Трухан, Ю.И. Ханукаев, Г.Н. Яковенко - Сборник задач по аналитической механике (1115226), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В связи с этим показать, что траектории системы не будут выходить из области, определешюй неравенствами 1 х>а, у>2+ (1-~-х ) где а > Π†. достаточно большое положительное число. Это означает, что решения с начальными условиями из области С пе будут стремиться к нулю. (Барбашин Е.
А., Красовский Н. Н. О ДАН СССР. 1952. Т. 86, № 6.) 27.28. Возмущенное движение описывается линейными уравнениями с переменными коэффициентами х; = 2',Р,Ь(1)хш 2 = 1, и, где Рьь(г) = — Ры(г), а Ри < — 7 < О. Показать, что нулевое решение системы асимптотичсски устойчиво, используя функцию Ляпунова и(х) = 2, х2. 2=1 27.29.
Возмущенное движение описывается линейными уравнениями с х = Р(е)х, Р(е) = [Р,,(е)),", „с непрерывными ограниченными коэффициентами Р2,(г), [Ре,(1)[ < р. Показать, что решения 2. А налитическал механика 286 уравнений возмущенного движения х(2) ие могут расти быстрее экспоненты с некоторым положительным показателем О ( оо, т.е. найдется О > О, такое что п И1)) ( [х(1О)) ехр(р(Х вЂ” 10Н, ~Х1 = Е л1. г=1 Указание.
На решениях системы рассмотреть функцию н(х) = ), х~. г=1 27.30. Используя функцию Ляпунова н(х) = ~ , 'х~ г показать, что нулевое решение системы т = Р(1) х, Р(1) = О Р,г (1) О,"., „устойчиво по Ляпунову, если матрица коэффициентов кососимметрична, т.е. Р'(2) = — Р(1). 27.31. Динамика численности видов гугз оспаривакгщих одну и ту же пищу, может быть описана моделью В. Вольтерра вида М; = = г'г1, (ег — ~ , 'Угг Дсу) г г. = 1, п, гДе е; > О, УВ = 71, > О. Показать, что 1=1 в переменных с„ = 2хггМ; динамика численности популяции описывается системой градиентного вида ~; = дИг/д~1 (г = 1,п ), определяк>щей закон возрастания И'(с).
Используя функцию И' (с), изучить вопрос об устойчивости стационарного состояния системы. 27.32. Показать, что в условиях предыдущей задачи флуктуации численности видов (т. е. отклонение численности видов от стационарных значений) периодичпы (закои периодического цикла Вольтерра), а средние (за период) числа особей двух видов ие зависят от иачальиых условий (закон сохранения средних). 27.33. Если в среде обитания находятся два противоборствующих вида (хищник и жертва), то в соответствии с простейшими моделями В.
Вольтерра борьбы за существование динамику численности популяций можно описать системой двух уравнений; гг1 = )г1(с1 р1гг2) гг2 = гг2( г2+Нзгг1) гДе 2л > О, Ри > Π— постоЯнные паРаметРы, а %1 > Π— численность особей каждого вида. Показать, что стационарное состояние системы устойчиво (ио не асимптотически) по Ляпунову ) . Указание. Воспользоваться наличием в системе 1-го интеграла %1'ЕХр()12%1)%2 'ЕХр( — р11гг2) =СОПВ1. гг ) гПри исследовании устойчивости необходимо учитывать условие неотрицагельности Мг(1) > О, гггг(2) > О. 127.
Устойчивость дв женим 287 27.34. Каким условиям должны удовлетворять непрерывные функции сч(х) и 171(х) (1 = 1, 2), чтобы нулевое решение х = у = = 0 системы х = вр1(х)181(у), у = ер2(х)172(д) была а) неустойчиво; б) устойчиво по Ляпунову; в) асимптотически устойчиво. 27.35. Скалярное уравнение х = аехт + а1;гт '1 + ...
... +пьхти ~(т > 1) имеет полиномиальную правую часть. При тп > 1 задача устойчивости относится к критическим случаям, так как линейные члены в правой части отсутствуют. Показать, что выбором знака числа ае и показателем гп > 1 можно распорядиться так, чтобы получить (по желанию) уравнение, у которого х = 0 устойчиво; х = 0 неустойчиво; и, наконец, х = 0 асимптотически устойчиво. 27.36. Уравнение Ван дер Поля х+ е(х2 — 1)х+ х = О, е ) 0 описывает колебательные процессы в электрических цепях. Доказать, что нулевое состояние равновесия этой системы неустойчиво. 27.37.
Рассматривается линейный дифференциальный оператор Ои п Ь(и(Х)) = '5 ~ П1ЬХЬ, Пьв = СОПВ1. ~-~ дяв ,=1 Ь=! Найти собственные числа Л, и собственные функции ив(!) этого оператора в пространстве квадратичных форм, т.е. функций и(х) вида и(х) = ~, 1; х;х., где 1; — постоянные. в,2=1 Уьвзание. Рассмотреть сначала аналогичную задачу в пространстве линейных форм и'(х) = ~ 1,х, в=1 27.38. Найти собственные числа Л и собственные функции и оператора Ци(х)1, указанного в предыдущей задаче, в классе однородных многочленов тч т„т,„ Ив = ~ аб1,..лих1' х2* ...хи'", т1)0, ~ то=т. З,т,=т 27.39.
Задача построения функций Ляпунова вида и = х'! х для линейных стационарных систем х = Ах, А = Оа, . ~ ~,"д „с заданной производной и = — х'И'х ( О, х ~ О, сводится к решению матричного уравнения Ляпунова А'1 + ! А = — И'. Показать, что в случае гурвицевой матрицы А решение уравнения Ляпунова можно представить в интегральной форме ! = ( ем 'И'елее!!, где через ехр (А!) о обозначена фундаментальная матрица Ф(!)-решений системы х = Ах с условием Ф(0) = Е. 288 2.
А налитинеекал механика В задачах 27.40 -27.43 заданы уравнения возмущеииого движения х; = ~ аеьхь+д1(х), ~у1(х)( ( р~х(~, аек = сопв1. Поуказаииым в каж- дой задаче квадратичным формам И'(х) = 2, И'11х1х для системы линейного приближения х, = 2,' аеехю 1 = 1, п, построить функк=1 п ци1о ляпунова вида и(х) = ~ 111х,х1, удовлетворя1ощую услови1о 01=1 (а1и/ей) — А, = — И'(х). Полученную функцию Ляпунова использо- вать для доказательства асимптотической устойчивости нелинейной системы. Кроме того, используя и(х), найти возможно более широ- кую инвариантную область этой системы.
27.40. х1 = — Зх1+ 2х2+х1х2, х2 = — х1 — хе — х1х2, , 2 2 2, 2 И' = — х1 — х2. 2 2 27.41. х1 = — х1 — Зха+ х1, х2 = 2т1 — Зхз+ х2, 2 2 И' = — х21 — 2х22. 27.42. х1 = — х1 — х2+ х„х2 = — х1 — 6х2+ х2, 3 3 И 2 2 1 2' 27.43. х1 = — 2х1 — Зхз+ х2, х2 = — х1 — 4х2+ х1, , 2 2 И' = -2х1 — х2. 2 2 27.44.
Найти П-предельиое множество движения осциллятора с начальными условиями д(0) = де, р(0) = ре. Гамильтоииаи осцил- лятора равеи О(д, р) = (р2+ еаза~)/2. Показать, что П-пределыюе множество всякого движения осциллятора определяется только его энергией. 27.45. Нулевое решение х = 0 системы уравнений возмущенного движения х, = Д(хы х2,..., х„), 1';(О,..., 0) = О, г = 1, п, асим- птотически устойчиво. Найти структуру П-пределы1ого множества решения Х(хе, 1), где хе выбрано из области притяжения точки х = = О.
27.46. Дииамическая система х = г"(х) имеет решение х.(1) = =у (1+с ')совеа1, у, = сопв1, 2' = 1, п. Найти Й-предельиое миоже- ство этого решения. 27.47. В задачах 27.44-.27.46 найти и-пределы1ые множества ука- заииых решений. 27.48. Показать, что состояние равновесия системы с одной степенью свободы, описываемой уравиепием Льеиера: х+ 1(х)х+ + я(х) = О, будет асимптотически устойчиво по Ляпунову, если я(х) нечетная функция и хЗ(х) > О, х ф О, а 1(х) > Ь > 0 при всех зиачеииях х. 27.49. Для определения точки минимума непрерывно диффе- реицируемой функции 81(х) = 81(х1, х2,..., х„) применя1от так па- 127.
Устойчивость дв женим 289 зываемые градиентные процедуры, использующие решение системы дифференциальных уравнений й; = — д~у(л)/длеч г = 1, и. Доказать, что в этой системе точка минимума л* функции ~у(л) будет асимптотически устойчива, если в некоторой окрестности точки л" нет других стационарных точек функции ~с(х). 27.50. Каким условиям должна удовлетворять функция у(х) в условиях предыдущей задачи, чтобы точка минимума х* была асимптотически устойчивым в целом положением равновесия градиентной системы (*)? 27.51.
Движение некоторой динамической системы описывается линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами л; = '7 анель + 1,(1), г = 1, п, где непрерывная функция 1(е) периодична с периодом Т, т.е. 7(ь'+ Т) = 1(е). Доказать, что эта система имеет единственное асимптотически устойчивое в целом периодическое движение периода Т, если матрица А = [а;ь[,"й гурвицева.
27.52. Динамическая система описывается уравнениями й = = Ал+ з'(2), А = [а,е[,"., 7 — — сопэь. Показать, что если матрица А гурвицева, а функция г(г) ограничена при всех 2 ) О, то у системы имеется ограниченное замкнутое множество (имеющее нуль внутренней точкой), в которое любое движение попадает за конечное время и там остается, т. е. что система обладает свойством диссипативности. 27.53. Показать, что пулевое решение х = О линейной системы в конечных разностях л(8+ 1) = Ал(в) с постоянной матрицей А асимптотически устойчиво в том и только том случае, если все собственные числа дч матрицы А лежат внутри единичного круга: [1;[ ( <1, 1=1,п. 27.54. Для линейной стационарной дискретной системы х(в+ +1) = Ал(в), А = [а, [,".
м уравнение Ляпунова для функций е(л) из класса квадратичных форм имеет вид А'Ь А — ! = — И'. Показать, что решение этого уравнения представимо абсолютно сходящимся рядом А = 2 Ат И'А', если все собственные числа дч матрицы А в=о по модулю меныпе единицы.
27. 55. Доказать дискретный аналог теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости. Если для системы рекуррентных уравнений 10 В.С, Пятницкий и др. 2. А ниаитич«екал механика 290 существует положителыю определенная в области С()х! ( 6) функ- ция Ляпунова и(х), первая разность которой Ьи(х) = и(х(в+1)) — и(х(з)) = и(Х(х)) — и(х) = — ш(х) < О отрицательно определена в С, то нулевое решение х(л) = О систе- мы («) асимптотически устойчиво по Ляпунову. й 28.
Дискретные модели механических систем суммой вида к И,=~ 6,6„ где 2,«1 — 1„= 6„6, ) О; д' = д(е) = 9(гм), 6, = 6 йю д», ). 6, Выражение (1) (дискретное действие) в пределе при Х вЂ” э оо, шах 6, — » О се -«се переходит в действие по Гамильтону. С использованием дискретного действия (1) принцип Гамильтона (усповие сзацнонарности) при заданных 2а, 1ы и, и приводит к соогношенням дИ' =О, о0« (2) а=1,% — 1, Назначение этого параграфа связано с анализом дискретных схем интегрирования уравнений движения (дискретных моделей).
Вопросы, которые здесь обсуждаются, связаны с первую очередь с вопросами механики. При переходе к описанию уравнений движения в конечных разностях законы сохранения могут нарушаться. В связи с этим обсуждаются способы формирования численных схем, которые не приводят к нарушению законов сохранении. По существу речь идет о методах построения таких дискретных моделей, которые содержат в себе законы сохранения исходной непрерывной модели; законы сохранения полной энергии, импульса, фазового объема и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
