К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 25
Текст из файла (страница 25)
являются нечетными функциями. Поскольку существует бесконечное множество какчетных, так и нечетных линейно-независимых функций, оба собственных значения оператора инверсии являются бесконечно-кратно вырожденными. Отсюда следует также, чтособственные функции оператора P̂ не обязаны быть нормируемыми.Наконец, нетрудно разложить произвольный вектор состояния Ψ по собственнымфункциям оператора инверсии. Для этого достаточно написать11Ψ(x) = {Ψ(x) + Ψ(−x)} + {Ψ(x) − Ψ(−x)} .22Первое слагаемое в правой части является четной функцией, а второе – нечетной функцией x, т.е. собственными функциями оператора P̂ .Пример 35.
Собственные функции оператора импульса. Найдем собственные функцииоператоров компонент обобщенного импульса частицы (для краткости слово “обобщенный” будет опускаться). Для компоненты p̂x , например, уравнение на собственные функции имеет вид−i~∂Ψpx= px Ψpx .∂x(7.39)Его решением являетсяΨpx (x, y, z) = A(y, z)eipx x/~ ,(7.40)где A(y, z) есть произвольная функция переменных y, z. Мы видим, что решение уравнения (7.39) существует при любом px , в том числе и комплексном. Однако при комплексномpx решение (7.40) не является ограниченным. Именно, если px имеет отличную от нулямнимую часть, p0 = Impx 6= 0, то0|Ψpx (x, y, z)|2 = |A(y, z)|2 e−2p x/~ ,118§7.4.
Вычисление распределений вероятностейтак что решение (7.40) экспоненциально возрастает либо при x → −∞, либо при x → +∞,и потому Ψpx 6∈ M, и в соответствии с определением, данным в §7.4A, функция Ψpx (x, y, z)с комплексным px не является собственной функцией оператора p̂x . Таким образом, физически допустимыми собственными значениями операторов компонент импульса частицыявляются все вещественные числа.Можно построить функции, являющиеся одновременно собственными для всех трехкомпонент оператора импульса. Они удовлетворяют уравнениям−i~∂Ψp= pΨp ,∂r(7.41)или в компонентах,−i~∂Ψp= px Ψp ,∂x−i~∂Ψp= py Ψp ,∂y−i~∂Ψp= pz Ψp .∂z(7.42)Здесь p = (px , py , pz ) есть некоторый числовой (вещественный) вектор. Решение этихуравнений ищем в видеΨp (x, y, z) = Ψpx (x)Ψpy (y)Ψpz (z)(7.43)и получаем обыкновенные дифференциальные уравнения−i~dΨpx (x)= px Ψpx (x) ,dx−i~dΨpy (y)= py Ψpy (y) ,dy−i~dΨpz (z)= pz Ψpz (z) .dzИнтегрирование этих уравнений даетΨpx (x) = A1 eipx /~x ,Ψpy (y) = A2 eipy y/~ ,Ψpz (z) = A3 eipz z/~ ,где A1 , A2 , A3 – произвольные постоянные.
Таким образом, собственные функции вектораимпульса имеют видΨp (x, y, z) = Aeipx x/~ eipy y/~ eipz z/~ ,A ≡ A1 A2 A3 = const ,или, короче,Ψp (r) = Aei(pr)/~ .(7.44)Постоянная A может быть выбрана различной для разных p, но нам это не понадобится.Выясним еще вопрос о том, все ли решения уравнений (7.42) мы нашли, т.е. вопросо вырожденности собственных значений (ведь мы искали решения частного вида (7.43)).Чтобы ответить на него, преобразуем эти уравнения, введя новую неизвестную функциюΨ0 (x, y, z) = Ψp (x, y, z)e−i(pr)/~ . Мы имее춵∂Ψp −i(pr)/~ipx −i(pr)/~i −i(pr)/~∂Ψp∂Ψ0=e− Ψpe= e− px Ψp = 0 .−i~∂x∂x~~∂xАналогично найдем, что ∂Ψ0 /∂y = 0, ∂Ψ0 /∂z = 0.
Таким образом, новая функцияΨ0 (x, y, z) не зависит от переменных x, y, z, т.е. равна некоторой постоянной: Ψ0 (x, y, z) =A, и потому Ψp (x, y, z) = Aei(pr)/~ . Итак, собственные значения оператора импульса невырождены.119Глава 7. Основные положения квантовой механикиB.Распределения вероятностей для величин с дискретным спектромЕсли собственные значения эрмитова оператора принадлежат дискретному спектру, а собственные функции являются нормируемыми, то они обладают следующимиважными свойствами: собственные значения являются вещественными, а собственныефункции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Доказательство.
Умножим скалярно уравнение (7.35) слева на вектор Ψf :(Ψf , fˆΨf ) = (Ψf , f Ψf ) .По свойству 2 скалярного произведения, правая часть есть f (Ψf , Ψf ). В левой же частииспользуем эрмитовость оператора fˆ, затем уравнение (7.35) и свойство 3 скалярногопроизведения:(Ψf , fˆΨf ) = (fˆΨf , Ψf ) = (f Ψf , Ψf ) = f ∗ (Ψf , Ψf ) .Таким образом, уравнение (7.35) даетf (Ψf , Ψf ) = f ∗ (Ψf , Ψf ) ,или(f − f ∗ )(Ψf , Ψf ) = 0 .Поскольку по определению собственной функции Ψf 6= 0, то (Ψf , Ψf ) 6= 0 и поэтому изпоследнего равенства следует, что f = f ∗ .
Пусть теперь имеются два собственных вектораΨf и Ψf 0 , соответствующие собственным значениям f и f 0 :fˆΨf = f Ψf ,fˆΨf 0 = f 0 Ψf 0(7.45)Умножив скалярно первое уравнение слева на Ψf 0 , а второе – справа на Ψf , и взяв разностьрезультатов, получим(Ψf 0 , fˆΨf ) − (fˆΨf 0 , Ψf ) = (f − f 0 )(Ψf 0 , Ψf ) .Левая часть этого равенства равна нулю, поскольку оператор fˆ эрмитов. Таким образом,если f 6= f 0 , то необходимо (Ψf 0 , Ψf ) = 0, т.е.
собственные векторы, соответствующиеразличным собственным значениям, ортогональны.(1)(2)Если же собственные функции Ψf , Ψf соответствуют одному и тому же вырожден(1)(2)ному собственному значению f, то, вообще говоря, (Ψf , Ψf ) 6= 0. Однако в этом слу(1)(2)чае функции Ψf , Ψf можно заменить их линейными комбинациями так, чтобы новыефункции стали ортогональными друг другу.
Действительно, любая линейная комбинация(1)(2)c1 Ψf + c2 Ψf также будет собственной функцией оператора fˆ, соответствующей тому жесамому собственному значению f, поскольку(2)(1)(2)(1)(2)(1)(1)(2)fˆ(c1 Ψf + c2 Ψf ) = c1 fˆΨf + c2 fˆΨf = c1 f Ψf + c2 f Ψf = f (c1 Ψf + c2 Ψf ) .(1)(2)(1)(2)(1)(2)Если (Ψf , Ψf ) 6= 0, то пару функций {Ψf , Ψf } заменим парой {Ψf , Ψ̃f } , где(1)(2)Ψ̃f=(2)Ψf−(2)(Ψf , Ψf )(1)(1)(Ψf , Ψf )120(1)Ψf .§7.4. Вычисление распределений вероятностей(1)(2)Учитывая свойство 2 скалярного произведения, легко проверить, что теперь (Ψf , Ψ̃f ) =(1)(2)0, причем векторы {Ψf , Ψ̃f } линейно-независимы. Если имеется третий собственный(3)вектор Ψf , соответствующий тому же собственному значению f, то мы заменим еговектором(1)(3)(2)(3)(Ψf , Ψf ) (1) (Ψ̃f , Ψf ) (2)(3)(3)Ψ̃f = Ψf − (1) (1) Ψf − (2) (2) Ψ̃f .(Ψf , Ψf )(Ψ̃f , Ψ̃f )(1)(3)(2)(3)(1)(2)(3)Тогда по построению (Ψf , Ψ̃f ) = (Ψ̃f , Ψ̃f ) = 0, так что тройка {Ψf , Ψ̃f , Ψ̃f } представляет собой набор взаимно-ортогональных собственных векторов.
Таким образом можно ортогонализовать любой набор векторов, что мы и будем всегда предполагать выполненным. Заметим, что описанную процедуру можно провести множеством способов.Например, можно было бы просто поменять местами исходные векторы Ψ(1) , Ψ(2) . Другими словами, в случае оператора с вырожденным спектром выбор полной ортогональнойсистемы собственных векторов неоднозначен.Перейдем теперь к выяснению физического смысла коэффициентов cn в формуле(7.37). В рассматриваемом случае теорема о разложении гласитXΨ =cn Ψ n ,(7.46)nгде сумма берется по всем значениям индекса n, который нумерует собственные функцииоператора fˆ.
Пусть вектор состояния Ψ является нормированным, т.е. (Ψ, Ψ) = 1. Тогдасогласно постулату III среднее значение величины f в состоянии Ψ равноf¯ = (Ψ, fˆΨ) .Подставляя в эту формулу Ψ в виде (7.46), учитывая линейность оператора fˆ и используясвойства 2,3 скалярного произведения, получаем:Ã!XXXf¯ =cn Ψn , fˆcm Ψm =c∗ cm (Ψn , fˆΨm ) .(7.47)nnmn,mПо предположению функции Ψn являются нормируемыми, и мы будем считать, что они,так же как и Ψ, нормированы, (Ψn , Ψn ) = 1.
Эти условия вместе со свойством ортогональности различных Ψn можно записать в виде единого условия ортонормированности(Ψn , Ψm ) = δnm .(7.48)Тогда, учитывая, что Ψn являются собственными функциями оператора fˆ, получим(Ψn , fˆΨm ) = (Ψn , fm Ψm ) = fm (Ψn , Ψm ) = fm δnm . Подставляя это в (7.47), приходим кследующей важной формулеXf¯ =fn |cn |2 .(7.49)nС другой стороны, согласно правилам теории вероятностей, среднее значение любой величины f, которая может принимать значения fn с вероятностями w(fn ), дается выражениемXf¯ =fn w(fn ) ,(7.50)fn121Глава 7. Основные положения квантовой механикигде суммирование производится по всем возможным значениям величины f.
Сравнениепоследних двух формул приводит к следующей интерпретации величин fn , cn : каждаяфизическая величина f может принимать лишь значения, принадлежащие спектру{fn } сопоставленного ей оператора fˆ, причем при измерении величины f в состоянии,описываемом вектором Ψ, вероятность обнаружить данное значение fn определяетсякоэффициентами cn разложения Ψ по собственным функциям оператора fˆ. А именно,если спектр оператора fˆ невырожден, тоw(fn ) = |cn |2 .(7.51)Если же оператор fˆ имеет вырожденный спектр, то одному и тому же вырожденномусобственному значению fn соответствует несколько членов в сумме (7.49). Поэтому длятого чтобы сравнить эту формулу с (7.50), перепишем ее в следующем видеXXf¯ =fn|cm |2 .fnm: fm =fnЗдесь сначала берется сумма по всем m, для которых fm равны данному fn , а затем ужеберется сумма по всем различным fn . Сравнение этого выражения с формулой (7.50) даетXw(fn ) =|cm |2 .(7.52)m: fm =fnИспользуя ортонормированность собственных функций, нетрудно получить явнуюформулу для нахождения коэффициентов cn .
Для этого умножаем скалярно равенство(7.46) слева на Ψm , учитывая свойство 2 скалярного произведения и формулу (7.48)Ã!XXX(Ψm , Ψ) = Ψm ,cn Ψn =cn (Ψm , Ψn ) =cn δmn ,nnnоткудаcn = (Ψn , Ψ) .(7.53)Таким образом, формулу (7.51), например, можно записать в видеw(fn ) = |(Ψn , Ψ)|2 .(7.54)Напомним, что в этой формуле вектор Ψ предполагается нормированным. Для такоговектора сумма вероятностей wn автоматически равна единице. Действительно, подставляяразложение (7.46) в равенство (Ψ, Ψ) = 1, найдемÃ!XXXXXXc∗n cm (Ψn , Ψm ) =c∗n cm δnm =c∗n cn =wn = 1 .cn Ψn ,cm Ψm =nmn,mn,mnnНа практике иногда бывает удобно работать с ненормированным Ψ, а в конце вычисленийнормировать само распределение {wn }.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
