К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 23
Текст из файла (страница 23)
эрмитово сопряжение суммы операторов есть сумма эрмитово-сопряженных операторов. Наконец, выведем правило эрмитова сопряжения произведения операторов fˆ1 fˆ2 . Поопределению,(Ψ1 , (fˆ1 fˆ2 )Ψ2 ) = ((fˆ1 fˆ2 )+ Ψ1 , Ψ2 ) .(7.14)Используя определение произведения операторов и определение (7.10), преобразуем левую часть следующим образом(Ψ1 , (fˆ1 fˆ2 )Ψ2 ) = (Ψ1 , fˆ1 (fˆ2 Ψ2 )) = (fˆ1+ Ψ1 , fˆ2 Ψ2 ) = (fˆ2+ (fˆ1+ Ψ1 ), Ψ2 ) = ((fˆ2+ fˆ1+ )Ψ1 , Ψ2 ) .108§7.2.
Эрмитовы операторыСравнивая это выражение с правой частью (7.14) и учитывая единственность эрмитовосопряженного оператора, заключаем, что(fˆ1 fˆ2 )+ = fˆ2+ fˆ1+ ,(7.15)т.е. эрмитово сопряжение произведения операторов равно произведению их эрмитовосопряженных операторов в обратном порядке.Полезно также иметь в виду формулу(cfˆ)+ = c∗ fˆ+ ,(7.16)где c – любое комплексное число. Она выводится из определения (7.10) и свойств 2,3скалярного произведения с помощью следующей цепочки равенств((cfˆ)+ Ψ1 , Ψ2 ) = (Ψ1 , cfˆΨ2 ) = (Ψ1 , fˆΨ2 )c = c(fˆ+ Ψ1 , Ψ2 ) = (c∗ fˆ+ Ψ1 , Ψ2 ) .Пример 28. Отыскание эрмитово-сопряженных операторов.
Для того чтобы из уравнения(7.10), определяющего эрмитово-сопряженный оператор, найти его явный вид, следуетиспользовать явные определения скалярного произведения и оператора fˆ и преобразовать левую часть этого уравнения к такому виду, в котором вектор Ψ2 не затрагиваетсяникаким действием. Тогда, учитывая единственность эрмитово-сопряженного оператора,можно будет уже найти явный вид fˆ+ . Проиллюстрируем эту процедуру на примере операторов сдвига и инверсии из примера 26. Мы имеемZ+∞Z+∞Z+∞∗∗(Ψ1 , T̂a Ψ2 ) =dxΨ1 (x)(T̂a Ψ2 )(x) =dxΨ1 (x)Ψ2 (x + a) =dyΨ∗1 (y − a)Ψ2 (y)−∞−∞Z+∞=³dy T̂−a Ψ1´∗−∞(y)Ψ2 (y) ,(7.17)−∞или(Ψ1 , T̂a Ψ2 ) = (T̂−a Ψ1 , Ψ2 ) .Сравнивая это равенство с определением (7.10), находимT̂a+ = T̂−a .Аналогично вычисляется эрмитово сопряжение для оператора инверсии:Z+∞Z+∞Z+∞∗∗dyΨ∗1 (−y)Ψ2 (y)dxΨ1 (x)Ψ2 (−x) =(Ψ1 , P̂ Ψ2 ) =dxΨ1 (x)(P̂ Ψ2 )(x) =−∞−∞Z+∞ ³´∗=dy P̂ Ψ1 (y)Ψ2 (y) = (P̂ Ψ1 , Ψ2 ) .−∞ОтсюдаP̂ + = P̂ ,т.е.
оператор инверсии является эрмитовым оператором.109−∞(7.18)Глава 7. Основные положения квантовой механики§7.3.Постулаты квантовой механикиСформулируем теперь постулаты квантовой механики.I. В каждый момент времени t состояние системы описывается некоторой функцией Ψ(r1 , ..., rN , t), принадлежащей пространству состояний и называемой волновойфункцией. Квадрат ее модуля определяет плотность распределения вероятностейкоординат частиц. Именно, величинаw(r1 , ..., rN , t)dτ =|Ψ(r1 , ..., rN , t)|2 dτ(Ψ, Ψ)(7.19)есть вероятность того, что при измерении координат частиц в момент времени tкоординаты i-ой частицы будут лежать в интервале (xi , xi +dxi ), (yi , yi +dyi ), (zi , zi +dzi ) для всех i = 1, ..., N.II.
(принцип суперпозиции) Если каждая из функций Ψ1 и Ψ2 описывает возможноесостояние системы, то и любая их суперпозиция, т.е., линейная комбинация видаΨ = c1 Ψ1 + c2 Ψ2(7.20)с произвольными комплексными постоянными c1 , c2 также описывает некоторое возможное её состояние (c1 , c2 не равны нулю одновременно).III. Каждой физической величине f сопоставляется эрмитов оператор fˆ по следующему правилу: классическую величину f следует выразить как функцию координатri и обобщенных декартовых импульсов pi частиц (и времени), и затем заменитьаргументы pi на операторы p̂i по правилам (7.2) – (7.4)fˆ = f (r, p, t)|p→p̂ .При этом действие операторов обобщенных декартовых импульсов частиц на произвольный вектор Ψ ∈ M определяется формулой(p̂i Ψ)(r1 , ..., rN ) = −i~∂Ψ(r1 , ..., rN ),∂rii = 1, ..., N .Среднее значение величины f в состоянии, описываемом волновой функцией Ψ,вычисляется по правилу(Ψ, fˆΨ)f¯ =.(Ψ, Ψ)(7.21)IV.
Эволюция во времени волновой функции определяется уравнением Шредингераi~∂Ψ= ĤΨ ,∂tв котором Ĥ есть оператор обобщенной энергии системы.110(7.22)§7.3. Постулаты квантовой механикиПояснения и обсуждение постулатов.A. К постулатам I-III : Как видно из формул (7.19), (7.21), скалярный квадрат вектора Ψ должен быть не только конечен, но и отличен от нуля, т.е. вектор Ψ долженбыть ненулевым.
Такиеи соответствующие им функции называются нормиR векторы2руемыми, а интеграл dτ |Ψ| – нормировочным интегралом. Функции, для которыхнормировочный интеграл равен единице, называются нормированными.B. К постулату I : соотношение (7.19) задает распределение вероятностей для всехвозможных значений координат всех частиц. Если требуется найти распределение вероятностей для какого-либо подмножества из полного набора 3N координатri , i = 1, ..., N, то, согласно правилам теории вероятностей, следует проинтегрировать вероятность (7.19) по всем координатам, не входящим в данное подмножество.Например, распределение вероятностей для координат первой частицы будет1w(r1 , t)dx1 dy1 dz1 =dx1 dy1 dz1(Ψ, Ψ)Z YNdxi dyi dzi |Ψ(r1 , ..., rN , t)|2 .(7.23)i=2Далее, распределение вероятностей для координаты y первой частицы запишется ввидеZw(y1 , t)dy1 = dy1 dx1 dz1 w(r1 , t)1=dy1(Ψ, Ψ)Zdx1 dz1NYdxi dyi dzi |Ψ(r1 , ..., rN , t)|2(7.24)i=2и т.д.C.
К постулату III : может возникнуть вопрос, почему при построении оператора физической величины только обобщенные импульсы, но не координаты частиц, заменяются операторами. Дело просто в том, что действие оператора любой координатысводится к умножению на эту координату. Это следует непосредственно из постулатов I и III. Возьмем, например, координату y1 . Как известно из теории вероятностей,среднее значение какой-либо величины есть сумма произведений значений, которыеона может принимать, умноженных на вероятности их обнаружить. Согласно замечанию B, вероятность обнаружить y1 в интервале (y1 , y1 + dy1 ) дается формулой(7.24), а сумма по всем таким интервалам есть интеграл по dy1 .
ПоэтомуZZZNY1ȳ1 =dy1 y1 w(y1 , t) =dy1 y1 dx1 dz1dxi dyi dzi |Ψ(r1 , ..., rN , t)|2(Ψ, Ψ)ZZ i=211dτ y1 |Ψ(r1 , ..., rN , t)|2 =dτ Ψ∗ y1 Ψ .(7.25)=(Ψ, Ψ)(Ψ, Ψ)С другой стороны, в соответствии с постулатом III,Z1ȳ1 =dτ Ψ∗ ŷ1 Ψ .(Ψ, Ψ)111Глава 7. Основные положения квантовой механикиСравнивая эту формулу с последним выражением в (7.25), находим ŷ1 Ψ = y1 Ψ.Другими словами, действие оператора ŷ1 сводится просто к умножению на y1 . Аналогично, для любой из компонент rir̂i Ψ = ri Ψ .(7.26)Соответственно, действие оператора любой величины, являющейся функцией координат частиц, например, потенциальной энергии системы, сводится к умножениюна эту функцию(Û Ψ)(r1 , ..., rN ) = U (r1 , ..., rN )Ψ(r1 , ..., rN ) .D.
К постулату III : В соответствии с этим постулатом каждой физической величинесопоставляется эрмитов оператор. Эрмитовость операторов обеспечивает вещественность средних значений физических величин. Действительно, поскольку величина(Ψ, Ψ) вещественна, то условие вещественности среднего значения¡ ¢∗f¯ = f¯с учетом свойства 1 скалярного произведения сводится к(Ψ, fˆΨ) = (fˆΨ, Ψ) .(7.27)Если fˆ эрмитов, то равенство (7.27) следует из определения эрмитова сопряжения(7.11), в котором надо положить Ψ1 = Ψ2 = Ψ. Покажем теперь, что операторы физических величин обязательно являются эрмитовыми, т.е.
что эрмитовость следуетиз условия (7.27) вещественности средних значений. Непосредственно из этого равенства нельзя пока заключить, что fˆ является эрмитовым оператором, поскольку вопределении (7.10) участвуют два произвольных вектора Ψ1 , Ψ2 . Однако, используялинейность оператора fˆ, можно получить необходимое обобщение равенства (7.27).Для этого применим условие (7.27) к вектору Ψ = Ψ1 + Ψ2 , где Ψ1 , Ψ2 произвольны.Используя определение (7.1) и свойства 2,3 скалярного произведения, найдем(Ψ1 , fˆΨ1 ) + (Ψ1 , fˆΨ2 ) + (Ψ2 , fˆΨ1 ) + (Ψ2 , fˆΨ2 )= (fˆΨ1 , Ψ1 ) + (fˆΨ1 , Ψ2 ) + (fˆΨ2 , Ψ1 ) + (fˆΨ2 , Ψ2 ) ,или, с учетом равенства (7.27) для векторов Ψ1 , Ψ2 ,(Ψ1 , fˆΨ2 ) + (Ψ2 , fˆΨ1 ) = (fˆΨ1 , Ψ2 ) + (fˆΨ2 , Ψ1 ) .(7.28)Проделывая те же самые действия с вектором Ψ = Ψ1 + iΨ2 , мы получили бы(Ψ1 , fˆΨ2 ) − (Ψ2 , fˆΨ1 ) = (fˆΨ1 , Ψ2 ) − (fˆΨ2 , Ψ1 ) .(7.29)Знак здесь чередуется потому, что i∗ = −i, а скалярное произведение линейно повторому и антилинейно по первому аргументу.
Складывая (7.28) с (7.29), приходимк равенству(Ψ1 , fˆΨ2 ) = (fˆΨ1 , Ψ2 ) .(7.30)Итак, в соответствии с определением (7.11) оператор fˆ является эрмитовым.E. К постулату IV : В соответствии с постулатом III, при построении оператора обобщенной энергии ее следует выразить через координаты и обобщенные импульсычастиц, т.е. построить функцию Гамильтона системы H(r, p, t). В связи с этим оператор Ĥ = H(r, p̂, t) называют гамильтонианом системы.112§7.3. Постулаты квантовой механикиПример 29.
Функции из пространства S. Рассмотрим одномерное движение частицы, ипусть x обозначает ее декартову координату, x ∈ (−∞, +∞) . Функция Ψ5 (x) = sin xоднозначна, ограничена и бесконечно-дифференцируема, поэтому Ψ5 ∈ M. Однако Ψ5 ∈/ S,посколькуZZ+∞2dτ |Ψ5 | =dx sin2 x = ∞.−∞Таким образом, эта функция не может представлять какое-либо состояние частицы на2прямой x ∈ (−∞, +∞) . Далее, функция Ψ4 (x) = e−x из примера 25 принадлежит пространству состояний, т.к. интегралZrZ+∞π2−2x2dxe=dτ |Ψ4 | =2−∞√конечен.
Функция Ψ6 (x) = 1/ 1 + x2 однозначна, ограничена и дифференцируема любоечисло раз, а интегралZ+∞Zdx2dτ |Ψ6 | ==π1 + x2−∞√конечен, поэтому Ψ6 ∈ S. Функция Ψ6 (x)/ π является нормированной.Пример 30. Эрмитовость операторов координат и импульсов. В соответствии с замечаниемC операторы координат частиц сводятся к умножению на соответствующие переменные.Проверим, что они являются эрмитовыми. Для сокращения записи рассмотрим случай,когда имеется всего одна частица, и пусть r = (x, y, z) – ее радиус-вектор. Конфигурационным пространством является все трехмерное пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
