К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В соответствиис (7.5) оператор T̂a−1 удовлетворяет соотношению(T̂a T̂a−1 Ψ)(x) = Ψ(x) .С учетом определения произведения операторов и определения самого оператора T̂a находим(T̂a T̂a−1 Ψ)(x) = (T̂a (T̂a−1 Ψ))(x) = (T̂a−1 Ψ)(x + a) = Ψ(x) .Поскольку переменная x может принимать любые значения, мы можем положить x =y − a, где y также произвольно, что дает(T̂a−1 Ψ)(y) = Ψ(y − a) = (T̂−a Ψ)(y) .Поскольку это соотношение справедливо для любого вектора Ψ, его можно переписать воператорном видеT̂a−1 = T̂−a .Нетрудно проверить, что найденный оператор удовлетворяет также уравнению (7.6), второму из уравнений, определяющих обратный оператор:(T̂a−1 T̂a Ψ)(x) = (T̂a−1 (T̂a Ψ))(x) = (T̂a Ψ)(x − a) = Ψ(x) .104§7.2.
Конфигурационное пространство, функции и операторыНайдем теперь оператор P̂ −1 . Имеем(P̂ P̂ −1 Ψ)(x) = (P̂ (P̂ −1 Ψ))(x) = (P̂ −1 Ψ)(−x) = Ψ(x) .Полагая здесь x = −y, получаем(P̂ −1 Ψ)(y) = Ψ(−y) = (P̂ Ψ)(y) .Таким образом, оператор инверсии совпадает со своим обратным P̂ −1 = P̂ . Аналогично,оператор Ĉ −1 = Ĉ, посколькуĈ Ĉ −1 Ψ = Ĉ(Ĉ −1 Ψ) = (Ĉ −1 Ψ)∗ = Ψ ,откуда взятием комплексного сопряжения обеих частей заключаем, чтоĈ −1 Ψ = Ψ∗ = ĈΨ .Поскольку операторы P̂ , Ĉ совпадают со своими обратными, для них уравнение (7.6)является следствием (7.5) и потому удовлетворяется автоматически.Оператор Â дает пример оператора, у которого не существует обратного. Действительно, допустим, что мы определили действие оператора Â−1 на произвольный вектор Ψ так,что он удовлетворяет соотношению (7.5).
Тогда в соответствии с уравнением (7.6) должнобытьÂ−1 ÂΨ = Â−1 (ÂΨ) = Â−1 (Ψ2 ) = Ψ .Поскольку вектор Ψ произволен, мы можем заменить здесь Ψ → −Ψ, что даетÂ−1 (Ψ2 ) = −Ψ .Таким образом, действие оператора Â−1 оказывается на самом деле неоднозначным, т.е.обратный оператор для  не определен.Вычислим, далее, произведение операторов сдвига и инверсии:(P̂ T̂a Ψ)(x) = (P̂ (T̂a Ψ))(x) = (T̂a Ψ)(−x) = Ψ(−x + a) .Однако действие этих операторов в обратном порядке дает иной результат(T̂a P̂ Ψ)(x) = (T̂a (P̂ Ψ))(x) = (P̂ Ψ)(x + a) = Ψ(−x − a) = (P̂ T̂−a Ψ)(x) .Таким образом, операторы сдвига и инверсии не коммутативны. В силу произвольностивектора Ψ последнее соотношение можно переписать в операторном виде какT̂a P̂ = P̂ T̂−a .С другой стороны, операторы T̂a , P̂ коммутируют с оператором Ĉ :(Ĉ T̂a Ψ)(x) = (Ĉ(T̂a Ψ))(x) = {(T̂a Ψ)(x)}∗ = {Ψ(x + a)}∗ = Ψ∗ (x + a)= (T̂a Ψ∗ )(x) = (T̂a (ĈΨ))(x) = (T̂a ĈΨ)(x) ,так что[Ĉ, T̂a ] = 0 .Аналогично,(Ĉ P̂ Ψ)(x) = (Ĉ(P̂ Ψ))(x) = {(P̂ Ψ)(x)}∗ = {Ψ(−x)}∗ = Ψ∗ (−x)= (P̂ Ψ∗ )(x) = (P̂ (ĈΨ))(x) = (P̂ ĈΨ)(x) ,откуда[Ĉ, P̂ ] = 0 .105Глава 7.
Основные положения квантовой механики§7.2.A.Эрмитовы операторыСкалярное произведение и пространство состоянийВозьмем два вектора Ψ1 и Ψ2 из M и рассмотрим следующий интеграл, взятый повсему конфигурационному пространству системы,Z(Ψ1 , Ψ2 ) = dτ Ψ∗1 Ψ2 .(7.9)Если этот интеграл существует, то он называется скалярным произведением векторов Ψ1и Ψ2 . Если (Ψ1 , Ψ2 ) = 0, то векторы Ψ1 и Ψ2 называются ортогональными.Перечислим теперь основные свойства скалярного произведения, которыми мы будемчасто пользоваться в дальнейшем.Свойства скалярного произведения1. (Ψ1 , Ψ2 ) = (Ψ2 , Ψ1 )∗ .2. (линейность по второму аргументу)(Ψ, c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ) = c1 (Ψ, Ψ1 ) + c2 (Ψ, Ψ2 ).3.
(антилинейность по первому аргументу)(c1 Ψ1 + c2 Ψ2 , Ψ) = c∗1 (Ψ1 , Ψ) + c∗2 (Ψ2 , Ψ).4. (Ψ, Ψ) > 0 для любого Ψ, причем (Ψ, Ψ) = 0 тогда и только тогда, когда Ψ = 0.Первые три свойства следуют непосредственноскалярного произведения.R из определения2Докажем свойство4.Во-первых,(Ψ,Ψ)=dτ|Ψ|>0,поскольку|Ψ|2 > 0. Далее, еслиRRΨ = 0, то и dτ |Ψ|2 = 0. Обратно, пусть dτ |Ψ|2 = 0. Поскольку функция |Ψ(r1 , ..., rN )|2непрерывна и неотрицательна, то должно быть |Ψ|2 = 0, и, следовательно, Ψ = 0 (т.е.функция Ψ(r1 , ..., rN ) равна нулю тождественно).Выделим из множества всех функцийна конфигурационном пространстве те, для коRторых скалярный квадрат (Ψ, Ψ) = dτ |Ψ|2 существует. Поскольку функция |Ψ|2 непрерывна и неотрицательна, то интеграл от нее существует, только если она достаточнобыстро убывает при стремлении аргументов r1 , ..., rN (некоторых из них или всех сразу)к бесконечности:|Ψ|2 → 0, {ri } → ∞ .Пусть даны две функции Ψ1 , Ψ2 , удовлетворяющие этому условию, т.е.
такие, что числа(Ψ1 , Ψ1 ) и (Ψ2 , Ψ2 ) конечны. Покажем, что и любая их линейная комбинация c1 Ψ1 + c2 Ψ2также имеет конечный скалярный квадрат. Мы имеем в силу свойств 2,3 скалярногопроизведения(c1 Ψ1 + c2 Ψ2 , c1 Ψ1 + c2 Ψ2 ) = |c1 |2 (Ψ1 , Ψ1 ) + |c2 |2 (Ψ2 , Ψ2 ) + c∗1 c2 (Ψ1 , Ψ2 ) + c1 c∗2 (Ψ2 , Ψ1 ) .Первые два слагаемых существуют по предположению. Для того чтобы доказать конечность остальных двух скалярных произведений, рассмотрим линейную комбинацию106§7.2. Эрмитовы операторычастного вида, а именно, положим в последней формуле c1 = (Ψ2 , Ψ2 ), c2 = −(Ψ2 , Ψ1 ).Учитывая свойство 4 скалярного произведения, находим|(Ψ2 , Ψ2 )|2 (Ψ1 , Ψ1 ) + |(Ψ2 , Ψ1 )|2 (Ψ2 , Ψ2 ) − (Ψ2 , Ψ2 )∗ (Ψ2 , Ψ1 )(Ψ1 , Ψ2 ) − (Ψ2 , Ψ2 )|(Ψ2 , Ψ1 )|2 > 0,или, учитывая свойство 1 и сокращая на (Ψ2 , Ψ2 ) 6= 0,|(Ψ1 , Ψ2 )|2 6 (Ψ1 , Ψ1 )(Ψ2 , Ψ2 ).Из этого неравенства (называемого обычно неравенством Шварца) и следует конечность(Ψ1 , Ψ2 ), а потому и скалярного квадрата c1 Ψ1 + c2 Ψ2 при любых c1 , c2 .
Таким образом,вместе с векторами Ψ1 , Ψ2 имеет конечный скалярный квадрат и любая их линейная комбинация, и поэтому множество таких функций само по себе образует векторное пространство (подпространство исходного пространства M). Обозначим это пространство черезS и назовем пространством состояний системы, а его векторы – векторами состояниясистемы. Как мы только что видели, для любой пары векторов из этого пространствасуществует их скалярное произведение.
Однако не следует думать, что скалярные произведения существуют лишь для векторов из S. Как будет показано в §7.4C, существуют иимеют важный физический смысл также и некоторые из скалярных произведений вида(Ψ, Ψ0 ), где вектор Ψ ∈ S, но Ψ0 6∈ S.B.Эрмитово сопряжениеЕсли для данного оператора fˆ существует такой оператор fˆ+ , что для любых векторовΨ1 , Ψ2 , для которых определено скалярное произведение (Ψ1 , fˆΨ2 ), выполняется равенство(Ψ1 , fˆΨ2 ) = (fˆ+ Ψ1 , Ψ2 ) ,(7.10)то оператор fˆ+ называют эрмитово-сопряженным оператору fˆ, а саму операцию, обозначаемую крестиком – эрмитовым сопряжением.
Заметим, что соотношением (7.10)эрмитово-сопряженный оператор определяется не полностью, поскольку в нем fˆ+ действует не на произвольный вектор, а лишь на такой, для которого существует (Ψ1 , fˆΨ2 ).Для нас, однако, это обстоятельство будет несущественно.
В дальнейшем соотношение(7.10) будет использоваться только в тех случаях, когда операторы действуют не напроизвольные векторы, а лишь на векторы из пространства состояний, причем переводят их в векторы из того же пространства. Покажем теперь, что с таким ограничением эрмитово-сопряженный оператор определен однозначно. Предположим противное, ипусть fˆ+ , (fˆ+ )0 – два оператора, удовлетворяющие определению (7.10):(Ψ1 , fˆΨ2 ) = (fˆ+ Ψ1 , Ψ2 ) ,(Ψ1 , fˆΨ2 ) = ((fˆ+ )0 Ψ1 , Ψ2 ) .Вычитая второе уравнение из первого и используя свойство 3 скалярного произведения,получим(fˆ+ Ψ1 − (fˆ+ )0 Ψ1 , Ψ2 ) = 0 .Это равенство справедливо для любого Ψ2 ∈ S, и в частности, для Ψ2 = fˆ+ Ψ1 − (fˆ+ )0 Ψ1(по предположению все операторы оставляют Ψ1 в пространстве состояний, а потомуfˆ+ Ψ1 − (fˆ+ )0 Ψ1 также принадлежит этому пространству).
Итак, мы получаем, что(Ψ2 , Ψ2 ) = 0.107Глава 7. Основные положения квантовой механикиВвиду свойства 4 скалярного произведения это возможно, только если Ψ2 = 0, откудаfˆ+ Ψ1 = (fˆ+ )0 Ψ1 . Таким образом, действия операторов fˆ+ , (fˆ+ )0 на векторы из пространства состояний совпадают. Мы будем ссылаться на этот результат как на единственностьэрмитово-сопряженного оператора, подразумевая при этом сделанную выше оговорку обобласти его определения.Если для оператора fˆ выполняется равенство(Ψ1 , fˆΨ2 ) = (fˆΨ1 , Ψ2 ) ,(7.11)то оператор fˆ называют эрмитовым. Из сравнения равенств (7.10), (7.11) и единственности эрмитово-сопряженного оператора следует операторное равенствоfˆ+ = fˆ .Выведем основные правила работы с операцией эрмитового сопряжения.
Во-первых,комплексно сопрягая обе части (7.10), используя свойство 1 скалярного произведения изатем еще раз применяя определение (7.10), найдем³´(fˆΨ2 , Ψ1 ) = (Ψ2 , fˆ+ Ψ1 ) = (fˆ+ )+ Ψ2 , Ψ1 ,откуда ввиду единственности эрмитово-сопряженного оператора следует, что(fˆ+ )+ = fˆ .Далее, рассмотрим эрмитово сопряжение суммы операторов fˆ1 + fˆ2 . Имеем, по определению (7.10),(Ψ1 , (fˆ1 + fˆ2 )Ψ2 ) = ((fˆ1 + fˆ2 )+ Ψ1 , Ψ2 ) .(7.12)Левую часть можно преобразовать, используя определение суммы операторов, свойства2,3 скалярного произведения и определение (7.10)(Ψ1 , (fˆ1 + fˆ2 )Ψ2 ) = (Ψ1 , fˆ1 Ψ2 + fˆ2 Ψ2 ) = (Ψ1 , fˆ1 Ψ2 ) + (Ψ1 , fˆ2 Ψ2 )= (fˆ+ Ψ1 , Ψ2 ) + (fˆ+ Ψ1 , Ψ2 ) = (fˆ+ Ψ1 + fˆ+ Ψ1 , Ψ2 ) = ((fˆ+ + fˆ+ )Ψ1 , Ψ2 )121212Сравнивая последнее выражение с правой частью равенства (7.12) и учитывая единственность эрмитово-сопряженного оператора, видим, что(fˆ1 + fˆ2 )+ = fˆ1+ + fˆ2+ ,(7.13)т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
