К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Определим потенциал поля такой системы. Выберем начало декартовой системы координатгде-нибудь внутри системы и обозначим через ri , i = 1, ..., n радиус-векторы составляющих ее частиц, а через r – радиус-вектор материальной точки. По условию,|r| À |ri | ,i = 1, ..., n .Используя это неравенство, кулонов потенциал i-ой частицы в точке r можно приближенно написать как (qi – ее заряд)ϕi =qiqiqiqq (r, r )qi¶≈ i+ i 3 i .=p≈ r≈ µ2(r, ri )|r − ri |rr(r − ri )2(r, ri )r 1−r 1−2rr2nPСуммируя по всем частицам и учитывая электронейтральность системы ( qi = 0), поi=1лучаемnX(d, r)ϕ=,d=qi ri .r3i=1Вектор d называется дипольным моментом системы. Найдем закон движения точки вслучае, когда d не зависит от времени.
Выберем сферическую систему координат с началом в точке r = 0 и полярной осью, направленной параллельно вектору d. Тогда функцияЛагранжа материальной точки будет иметь вид´ qd cos θm³ 22222 2L=ṙ + r sin θ φ̇ + r θ̇ −, d ≡ |d|(5.82)2r2(q – ее заряд). Отсюда находим обобщенные импульсы и обобщенную энергию точки∂L∂L∂L= mṙ , pφ == mr2 sin2 θ φ̇ , pθ == mr2 θ̇ ,∂ ṙ∂ φ̇∂ θ̇´ qd cos θm³ 2.E =ṙ + r2 sin2 θ φ̇2 + r2 θ̇2 +2r2pr =(5.83)Выражая обобщенные скорости через обобщенные импульсы и подставляя результат вобобщенную энергию, находим функцию Гамильтонඵp2φp2θqd cos θ12.H=pr + 2 2 + 2 +2mr2r sin θ rНаконец, по функции Гамильтона записываем уравнение Гамильтона-Якоби(µ ¶µ ¶2 )µ ¶22111 ∂S∂S∂S∂Sqd cos θ++ 2 2+ 2= 0.+∂t2m∂rr∂θr2r sin θ ∂φ84(5.84)§5.5. Действие как функция координат и времениПеременные t, φ входят в это уравнение лишь через производные ∂S/∂t, ∂S/∂φ.
В соответствии с методом разделения переменных ищем решение в видеS = S1 (t) + S2 (φ) + S 0 (r, θ)и приходим к уравнениямdS1= C1 ,dtdS2= C2 ,dφ(µ¶2¶2 )µC22qd cos θ1∂S 01 ∂S 0+ 2 2 + 2+C1 += 0.2m∂r∂θr2r sin θ rПервые два из этих уравнений интегрируются тривиально:S1 = C 1 t ,S2 = C2 φ .Перепишем последнее уравнение в виде"#µ 0 ¶2µ 0 ¶21C22∂S∂S+ 2++ 2mqd cos θ = 0 .2mC1 +∂rr sin2 θ∂θИз этой записи видно, что переменная θ отделяется, поэтому мы полагаемS 0 = S3 (θ) + S4 (r)и получаем уравненияC22+sin2 θµdS3dθ¶2+ 2mqd cos θ = C3 ,µ¶2dS4C32mC1 ++ 2 = 0.drrИх решения имеют видZθS3 =r± C3 − 2mqd cos θ −θ0Zrr± −2mC1 −S4 =C22dθ ,sin2 θC3dr .r2r0Итак, мы нашли решение уравнения Гамильтона-Якоби в видеrZθS = A + C1 t + C2 φ +±C22C3 − 2mqd cos θ −dθ +sin2 θθ0rZr±−2mC1 −C3dr .
(5.85)r2r0Это решение содержит произвольные постоянные A, C1 , C2 , C3 , θ0 , r0 . Однако изменениеθ0 , r0 эквивалентно переопределению A, так что независимыми являются лишь постоянные A, C1 , C2 , C3 . Их число равно числу степеней свободы материальной точки плюс85Глава 6. Канонический формализмодин, следовательно, выражение (5.85) представляет собой полный интеграл уравнения(5.84). Определим знаки, с которыми следует брать корни в этом решении. Подставляяего в соотношения (5.69), находим значения обобщенных импульсов pr , pθ в данной точкетраектории:rrC3C22pr = ± −2mC1 − 2 , pθ = ± C3 − 2mqd cos θ −.rsin2 θС другой стороны, согласно формулам (5.83) знаки этих импульсов совпадают со знакамисоответствующих обобщенных скоростей.
Таким образом, подынтегральное выражение винтеграле по r в формуле (5.85) следует брать с верхним (нижним) знаком, если на данномучастке траектории ṙ > 0 (ṙ < 0), и аналогично для интеграла по θ.Выясним теперь физический смысл постоянных C1 , C2 , C3 . Подставляя решение (5.85)в уравнение Гамильтона-Якоби находим C1 + H(q, p, t) = 0 , т.е. постоянная C1 есть величина обобщенной энергии точки, взятая со знаком минус. Подстановка же решения всоотношения (5.69) дает pφ = ∂S/∂φ = C2 . Таким образом, постоянная C2 есть величинасохраняющейся проекции момента импульса точки на направление вектора d.То, что величины E, pφ в рассматриваемой задаче сохраняются, можно было утверждать заранее, поскольку время в ней однородно, а пространство изотропно относительно поворотов системы (материальной точки) вокруг направления d [функция Лагранжа (5.82) не зависит от переменных t, φ явно].
Сохранение же комбинации (C22 / sin2 θ +p2θ + 2mqd cos θ) никак не связано с подобными симметриями и является специфическимдля данной задачи. В том, что метод Гамильтона-Якоби позволяет регулярным образомнаходить такие интегралы движения, заключается его существенное преимущество посравнению с лагранжевым методом.Наконец, найдем закон движения материальной точки. Дифференцируя решение (5.85)по постоянным C1 ≡ −E, C2 ≡ Mz , C3 и приравнивая результат новым произвольнымпостоянным, получаемZrr−t +mdr= Q1 ,(5.86)= Q2 ,Mz2θ0 ± sin θC3 − 2mqd cos θ −sin2 θZθZrdθdrrr+−= Q3 .CMz23r0 ±r 2θ0 ±2mE − 2C3 − 2mqd cos θ −rsin2 θ(5.87)r0Zθrφ−±Mz dθC32mE − 2r2(5.88)Уравнение (5.86) определяет в неявном виде зависимость r(t), а уравнения (5.87), (5.88) –зависимости φ(θ) и θ(r). Таким образом, мы нашли решение уравнений движения материальной точки в квадратурах.
Оно содержит 6 независимых произвольных постоянныхE, Mz , C3 , Q1 , Q2 , Q3 , которые могут быть определены из начальных условий.86§6.1. Уравнение Гамильтона-Якоби как предел уравнения ШредингераГлава 6.КЕПЕРЕХОД ОТ КЛАССИЧЕСКОЙ К КВАНТОВОЙ МЕХАНИ-Основным уравнением квантовой механики является уравнение Шредингера для такназываемой волновой функции системы. Если рассматриваемая система является классической, т.е.
ее движение может быть с достаточной точностью описано с помощью уравнений классической механики (например, солнечная система), то уравнение Шредингерадля такой системы должно каким-то образом сводиться к уравнениям классической механики. Оказывается, что классическим пределом уравнения Шредингера является уравнение Гамильтона-Якоби. Поэтому в качестве первого шага перехода от классическоймеханики к квантовой мы формально “восстановим” уравнение Шредингера из уравнения Гамильтона-Якоби.
Важнейшим отличием в структуре этих уравнений является то,что уравнение Шредингера является линейным. Затем мы обсудим связь этого измененияв структуре основного уравнения с теми изменениями в основных положениях механики,которые требуется сделать при переходе к описанию явлений микромира.§6.1. Уравнение Гамильтона-Якоби как классический предел уравнения ШредингераПреобразуем уравнение Гамильтона-Якоби (5.68), введя вместо S(q, t) новую неизвестную функцию Ψ(q, t) с помощью соотношения½¾iΨ(q, t) = expS(q, t) ,(6.1)~где i есть мнимая единица, а ~ = 1, 055 · 10−27 г·см2 /с есть так называемая постояннаяПланка. В силу малости этой постоянной для обычных классических систем, которые мырассматривали до сих пор, всегда выполняется условиеS À ~.(6.2)Ограничимся для простоты случаем одномерного движения материальной точки массы mв потенциальном поле U (x, t).
Здесь x обозначает декартову координату точки. УравнениеГамильтона-Якоби в этом случае имеет видµ ¶2∂S∂S1++ U (x, t) = 0 .(6.3)∂t2m ∂xДифференцируя соотношение (6.1) один раз по времени и дважды по координатам, получаем½ ¾i ∂Sii ∂S∂Ψ=expS =Ψ,(6.4)∂t~ ∂t~~ ∂t½ ¾¸·∂ i ∂Si∂ 2Ψ=expS2∂x∂x ~ ∂x~µ ¶2½ ¾½ ¾1 ∂Sii ∂2Si= − 2expS +expS2~∂x~~ ∂x~#"µ ¶2i ∂2S1 ∂SΨ.= − 2+~∂x~ ∂x287Глава 6. Переход от классической механики к квантовойВ силу условия (6.2) второй член в квадратных скобках в последнем выражении мал посравнению с первым.
Поэтому можно приближенно написатьµ ¶2∂ 2Ψ1 ∂SΨ.(6.5)= − 2∂x2~∂xДомножая уравнение (6.3) на Ψ, переписываем его с помощью соотношений (6.4), (6.5) вследующем видеi~~2 ∂ 2 Ψ∂Ψ=−+ U (x, t)Ψ ,∂t2m ∂x2(6.6)Это уравнение называется уравнением Шредингера и является основным уравнениемквантовой механики. Несмотря на то, что мы получили его приближенно из уравненияГамильтона-Якоби, именно уравнение (6.6) оказывается точным, т.е. описывающим любыесистемы, а не только те, что удовлетворяют условию (6.2).
Таким образом, проделанныйвыше “вывод” уравнения Шредингера следует рассматривать как демонстрацию того, чтоуравнение Гамильтона-Якоби является классическим пределом уравнения Шредингера.Заметим для дальнейшего, что правую часть уравнения (6.6) можно представить ка궵 2p̂+ U (x) Ψ ,2mгде∂∂xесть так называемый оператор импульса, причем квадрат оператора понимается как егоповторное применение два раза. При этом выражение в круглых скобках имеет вид функции Гамильтона частицы в данном поле, в которой импульс частицы заменен его оператором. Поэтому p̂2 /2m + U (x) называется оператором энергии, или гамильтонианомчастицы.
Значение операторов в квантовой механике будет объяснено в следующей главе,а сейчас заметим лишь, что действие оператора импульса на функцию (6.1) сводится кумножению этой функции на текущий импульс частицы. Действительно, согласно формуле (5.69) имеем½¾½¾∂ii∂Sp̂Ψ(x, t) = −i~ expS(x, t) =expS(x, t) = p(x, t)Ψ(x, t) .∂x~∂x~p̂ = −i~Важнейшим качественным отличием уравнения Шредингера от уравненияГамильтона-Якоби является его линейность: если две функции Ψ1 (x, t) Ψ2 (x, t)удовлетворяют уравнению (6.6), то ему удовлетворяет и любая их линейная комбинацияc1 Ψ1 (x, t) + c2 Ψ2 (x, t), где c1 , c2 – произвольные постоянные.§6.2.Основные предположения квантовой теорииВ этом параграфе мы определим те изменения в основных положениях механики, которые требуется сделать при переходе от классического к квантовому описанию природы.По той же причине, по которой уравнение Шредингера нельзя вывести из уравнений88§6.2.
Основные предположения квантовой теорииРис. 11: Слева: схема опыта Дэвиссона — Джермера: K — монокристалл никеля; A — источникэлектронов; B — детектор электронов; θ — угол отклонения электронных пучков; пучок электронов падает перпендикулярно отшлифованной плоскости кристалла S. При поворотах кристаллавокруг оси O гальванометр, присоединенный к датчику B, дает периодически возникающие максимумы. Справа: графики зависимости тока (в условных единицах) детектора от угла поворотавокруг оси O для различных значений угла θ и энергии электронов E.классической механики, новые положения можно лишь угадать, опираясь на данные эксперимента. Исторически, это “угадывание” происходило в первой четверти XX века.Первое, от чего следует отказаться при переходе к квантовому описанию, это понятиезакона движения (в частности, траектории) частицы как зависимости ее координат от времени вида {qα (t)}.
Как показывают наблюдения, это основное для классической механикипонятие несовместимо с поведением объектов микромира. Об этом говорят, например, результаты опыта Дэвиссона-Джермера по рассеянию электронов на кристаллах (он былпоставлен американскими физиками К. Дэвиссоном и Л. Джермером в 1927 г. уже послесоздания квантовой механики). В этом опыте пучок медленных электронов в вакууме направлялся на монокристалл никеля (см. Рис. 11). Регистрация рассеянных электронов показала, что они образовывали интерференционные картины, характерные для рассеянияна кристаллах рентгеновских лучей.
Максимумы и минимумы интенсивности в обоих случаях возникают в результате взаимного усиления или ослабления вторичных волн, порождаемых атомами кристалла при прохождении через него пучка электронов или фотонов.Таким образом, движение элементарных частиц имеет волновой характер, означающий, вчастности, отсутствие определенного положения у каждой частицы, в противоположностькорпускулярному движению классической механики – движению материальных точек поопределенным траекториям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
