К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Волны де БройляНачнем с простейшего случая – свободного движения (U = 0) частицы по прямой x. Вклассической механике в этом случае сохраняется импульс частицы. Решение уравненияГамильтона-Якоби, описывающее движение частицы с заданным постоянным импульсомp0 , естьS(x, t) = −p20t + p0 x + A ,2m(6.7)где A – произвольная постоянная. Действительно, согласно формуле (5.69) импульс частицы в любой момент времени t равенp=∂S= p0 .∂xПодставляя (6.7) в формулу (6.1), получаем волновую функцию частицы½ µ¶¾ip20Ψ(x, t) = C0 expt + p0 x, C0 = eiA/~ .−~2m(6.8)Таким образом, волновая функция, описывающая движение частицы с определенным импульсом p0 , представляет собой плоскую волну с частотой p20 /(2m~) и волновым векторомk = p0 /~. Несмотря на то, что выражение (6.8) получено с помощью приближенного решения (6.1) уравнения Шредингера, нетрудно проверить, что оно является точным решением этого уравнения [так получилось потому, что член ∂ 2 S/∂x2 , которым мы пренебрегли92§6.3.
Механика квазиклассической частицыпри переходе от (5.68) к (6.6), в рассматриваемом случае равен нулю]. Функцию (6.8)называют волной де Бройля. Длина этой волны, называемая дебройлевской длиной волнычастицы, равна λ = 2π~/p0 . Например, в эксперименте Дэвиссона-Джермера электроныимели энергию порядка pE0 = 100 эВ ≈ 1, 6 · 10−10 г·см2 /с2 . Этой энергии соответствует√импульс p0 = 2mE0 ≈ 2 · 10−27 · 1, 6 · 10−10 г·см/с ≈ 6 · 10−19 г·см/с (масса электрона m = 9, 11 · 10−28 г≈ 10−27 г). Поэтому дебройлевская длина волны таких электроновλ ≈ 2 · 3 · 10−27 /(6 · 10−19 ) см = 10−8 см (~ ≈ 10−27 г·см2 /с).
Это есть как раз порядоквеличины межатомных расстояний в твердом теле.Возьмем теперь в качестве решения S(x, t)Rуравнения Гамильтона-Якоби для той жеtсвободной частицы функцию S(x(1) , t1 ; x, t) = t1 mẋ2 /2dt. Этот интеграл легко вычисляется:Ztmẋ2mẋ2(1)dt =(t − t1 ) .S(x , t1 ; x, t) =22t1(1)По определению функции S(x , t1 ; x, t), она должна быть выражена через начальные иконечные координаты и моменты времени. Для этого подставляем ẋ = (x − x(1) )/(t − t1 )и получаемS(x(1) , t1 ; x, t) =m(x − x(1) )2.2(t − t1 )(6.9)Согласно формуле (5.69) импульс частицы в момент времени t равенp=∂Sm(x − x(1) )=.∂x(t − t1 )Но в соответствии с Предположением 3 переменные x, t являются независимыми, и поэтому p не сводится к постоянной.
Подставляя (6.9) в (6.1), находим волновую функцию,описывающую движение с заданной начальной координатой½¾i m(x − x(1) )2Ψ(x, t) = exp.(6.10)~ 2(t − t1 )Следует отметить, что сами по себе выражения (6.8), (6.10) не могут являться волновымифункциями частицы, т.е. описывать реальное состояние. Действительно, в обоих случаях|Ψ(x, t)|2 = 1, и потому эти функции не являются нормируемыми (см. Следствие 2). Этозначит, что в квантовой механике не существует состояний, в которых импульс иликоордината частицы имеют строго определенное значение.
Таким образом, в любомсостоянии координата и импульс принципиально “размазаны” по некоторому интервалузначений. Этот интервал может быть сколь угодно мал, но он всегда конечен.С классической точки зрения, обе функции (6.7), (6.9) эквивалентны – они описываютодно и то же движение частицы. Действительно, согласно определению из §5.5D, обе ониявляются полными интегралами уравнения Гамильтона-Якоби, причем в решении (6.7)постоянная интегрирования C1 = p0 , а в решении (6.9) C1 = x(1) .
Если мы вернемся киспользованию уравнений (5.74), то в первом случае получим закон движенияp0∂S= − t + x = Q,∂p0m93Глава 6. Переход от классической механики к квантовойа во втором –∂Sm(x − x(1) )=−= Q.∂x(1)(t − t1 )Оба закона описывают равномерное движение, причем в первом случае константа Q определяет начальную координату частицы, а во втором – ее импульс.
С квантовой же точкизрения решения (6.7), (6.9) приводят к совершенно разным волновым функциям. Такимобразом, в одних и тех же внешних условиях вид волновой функции частицы зависит оттого, является ли фиксированным ее импульс или начальное положение (как было указано выше, слово “фиксированный” означает, что значения импульса (координаты) лежатв некотором малом интервале значений). Другими словами, координату и импульс частицы нельзя задать одновременно сколь угодно точно. Количественное выражение этогоограничения – так называемый принцип неопределенности Гейзенберга – будет полученов §7.5B.B.Классические траектории с точки зрения квантовой механикиИтак, отказавшись от понятий закона движения и траектории (см. Предположения3–5), мы пришли к выводу, что вид волновой функции частицы существенно зависит оттого, стартует ли частица из определенной точки пространства или с определенным импульсом.
Поскольку в классической механике дело обстоит совершенно противоположнымобразом – состояние частицы определяется одновременным заданием ее координаты и импульса – то возникает вопрос о том, как из квантовомеханического описания движениячастицы с помощью волновой функции может возникнуть понятие закона движения. Мыподробно разберем этот вопрос на примере свободной частицы, используя Предположения, сделанные в §6.2. Рассуждение, которое при этом применяется, будет неоднократноиспользовано в дальнейшем (см.
§7.4C, §8.3A).Как было уже указано, функция (6.10) сама по себе не представляет никакого реального состояния, Rпоскольку сумма вероятностей всех значений координаты частицы равнабесконечности ( |Ψ|2 dx = ∞), что конечно же бессмысленно. Это значит, что координатачастицы не может иметь строго определенного значения даже в какой-либо отдельныймомент времени, т.е.
должна быть “размазана.” В частности, начальная координата x(1)должна быть “размазана” по некоторому малому интервалу ∆x вокруг некоторого x0 . Длятого чтобы получить волновую функцию классической частицы в таком состоянии, воспроизводящую движение по классической траектории, построим суперпозицию функций(1)(6.10) с коэффициентами eipx /~ , где x(1) ∈ ∆x, а p – некоторое вещественное число:¸¾½ ·Zi m(x − x(1) )2(1)+ pxdx(1) .(6.11)Ψ(x, t) = exp~2(t − t1 )∆xДля классической (т.е. достаточно массивной) частицы показатель экспоненты велик поабсолютной величине – даже при небольшом изменении x(1) он меняется на большую величину.
Поскольку же он является чисто мнимым, экспонента представляет собой быстроосциллирующую функцию и при интегрировании по x(1) дает практически нуль. Заметныйот нуля результат получится только в одном случае – когда в интервал интегрированияпопадает точка экстремума показателя. В окрестности этой точки показатель меняетсяотносительно медленно, и потому вклады от различных x(1) не полностью компенсируют94§6.3. Механика квазиклассической частицыдруг друга.
Положение экстремума находится приравниваем нулю производной показателя по x(1) :m(x − x(1) )−+ p = 0.(t − t1 )Поскольку x(1) лежит в малом интервале ∆x около x0 , то из полученного уравненияследует, что волновая функция (6.11) будет отлична от нуля лишь вблизи точкиx = x0 +p(t − t1 ) .mНо это есть классический закон движения свободной частицы с импульсом p из начальнойточки x0 . Таким образом, малая область пространства, в которой вероятность нахождениячастицы заметно отлична от нуля, перемещается согласно законам классической механики.
Отсюда следует, в частности, что сумма вероятностей, определяемых функцией (6.11),является уже может быть нормирована на единицу.Аналогично, функции (6.8) по-отдельности не представляют физических состоянийчастицы. Для того чтобы построить физическое состояние, в котором импульс частицыприближенно равен p0 , возьмем линейную комбинацию функций½ µ¶¾ip2Ψ(x, t) = exp−t + px,(6.12)~2mс коэффициентами e−ipx0 /~ , где x0 есть некоторая вещественная постоянная, а p принадлежит малому интервалу ∆p вокруг заданного значения p0 :½ ·¸¾Zip2Ψ(x, t) = exp−t + px − px0 dp .(6.13)~2m∆pКак и раньше, волновая функция будет отлична от нуля лишь в тех точках x, для которых точка экстремума показателя экспоненты попадает в интервал ∆p. Дифференцируяпоказатель по p и приравнивая результат нулю, получаем−pt + x − x0 = 0 .mПоскольку p здесь близко к p0 , то из полученного условия следует, что функция (6.13)отлична от нуля лишь вблизи точкиx = x0 +p0t.mТаким образом, мы опять пришли к классическому закону движения.C.Финитное движение с определенной энергией.
Правило квантования Бора-ЗоммерфельдаРассмотрим теперь движение частицы по прямой x в поле U (x), не зависящем от времени. В классической механике в этом случае сохраняется энергия частицы. Решение95Глава 6. Переход от классической механики к квантовойуравнения Гамильтона-Якоби, описывающее движение частицы с заданной постояннойэнергией E, имеет видZxS(x, t) = −Et +ppx = ± 2m(E − U (x)).px dx + A ,(6.14)aДействительно, согласно формуле (5.68) численное значение функции Гамильтона дляэтого решения равно∂SH=−=E,∂tт.е.
как раз заданному значению энергии. Подставляя это выражение в формулу (6.1),получаем волновую функцию частицы в виде Zxi−Et + px dx , C0 = eiA/~ .Ψ(x, t) = C0 exp(6.15)~aНижний предел a в интеграле по x может быть выбран произвольно – его изменениесводится к переопределению несущественной постоянной A. Следует заметить, что выражение(6.15) не вполне определено, поскольку не указано, с каким знаком берется кореньp2m(E − U ).
В классической механике выбор знака определяется направлением движения в данной точке траектории – при движении вправо (т.е. ẋ > 0) выбирается “+”, апри движении влево “−”. Вместе с отказом от понятия траектории естественно отпадаети это правило, поскольку переменные x, t остаются независимыми. Таким образом, выборзнака остается произвольным, и мы имеем два независимых решения для волновой функции. Заметим еще, что так же как в случае решений (6.8), (6.10) для свободной частицы,полученные решения не являются физическими в том смысле, что функция (6.15) не является нормируемой: при любом выборе знака перед корнем имеем |Ψ(x, t)|2 = 1, так что+∞Rинтегралdx|Ψ(x, t)|2 = ∞.
Это значит, что так же как импульс и координата, энергия−∞частицы, вообще говоря, “размазана” по некоторому интервалу значений.Замечательно, однако, что в определенных условиях квантовые состояния со строгоопределенной энергией могут существовать. Предположим, что данный потенциал U (x)допускает финитное движение классической частицы (случаи E = E2 и E = E3 на Рис. 3).Обозначим через x1 , x2 (x1 < x2 ) точки остановки классической частицы при данном значении ее энергии (точки q1 , q2 на Рис. 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
