К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Канонический формализмПример 20. Точечные преобразования. Рассмотрим каноническое преобразование, задаваемое производящей функциейΦ(q, P, t) =sXfα (q)Pα ,(5.46)α=1где fα (q) – некоторые функции. По формулам (5.43) – (5.45) находимpα =sX∂fβ (q)β=1sX∂qαPβ ,α = 1, ..., s ,(5.47)sX∂PβQα =fβ (q)=fβ (q)δαβ = fα (q) ,∂Pαβ=1β=1α = 1, ..., s ,H0 = H .(5.48)(5.49)Уравнение (5.48) показывает, что канонические преобразования, порождаемые функциями вида (5.46) являются не чем иным, как обычными заменами обобщенных координатq → f (q), с которыми мы имели дело в лагранжевом формализме (их обычно называютточечными).Пример 21. Гармонический осциллятор.
Совершим каноническое преобразование переменных линейного гармонического осциллятора [см. пример 15], задаваемое производящей функциейmωx2F (x, Q, t) =ctg Q .2По формулам (5.39) – (5.41) находимp=∂F= mωx ctg Q ,∂xP =−∂Fmωx2 1=,∂Q2 sin2 QH0 = H .Отсюдаrx=2Psin Q ,mωp=√2P mω cos Q .(5.50)Подставляя эти выражения в старую функцию Гамильтона (5.8), получаем новую функцию Гамильтона в видеH 0 = ωP .Уравнения Гамильтона в новых переменныхṖ = −∂H 0= 0,∂QQ̇ =∂H 0= ω.∂PИх решением являетсяP = P0 ,Q = ωt + Q0 ,где P0 , Q0 – некоторые постоянные.
Подставляя его в (5.50), получаем закон движения висходных координатахr2P0sin(ωt + Q0 ) .x(t) =mω74§5.4. Бесконечно-малые преобразования§5.4.Бесконечно-малые канонические преобразованияЛюбое преобразование переменных, в том числе и каноническое, можно представитькак последовательность большого числа преобразований, каждое из которых близко ктождественному. Для таких преобразований многие формулы и доказательства существенно упрощаются, поскольку их можно проводить в дифференциальной форме. Например, если некоторое свойство системы остается неизменным при любых преобразованиях,близких к тождественному, то оно не изменится и при конечном преобразовании.Рассмотрим каноническое преобразование, задаваемое производящей функциейΦ(q, P, t) =sXqα Pα + φ(q, P, t) .α=1Согласно формулам (5.43) – (5.45)∂φ, α = 1, ..., s ,(5.51)∂qα∂φQα = qα +, α = 1, ..., s ,(5.52)∂Pα∂φH0 = H +.∂tВидно, что если функция φ(q, P, t) является малой, то старые и новые переменные малоотличаются друг от друга.
В этом случае формулы перехода можно переписать в компактном виде с помощью скобок Пуассона. Для этого заметим, что поскольку φ(q, P, t)мала, то пренебрегая величинами порядка O(φ2 ) ее аргумент P можно заменить на p.Например, производные ∂φ(q, P, t)/∂P можно заменить на ∂φ(q, p, t)/∂p .
Тогда используяформулы (5.22), перепишем формулы перехода от старых переменных к новым в видеpα = Pα +Pα = pα + {φ, pα }q,p ,Qα = qα + {φ, qα }q,p ,α = 1, ..., s ,α = 1, ..., s ,(5.53)(5.54)где нижний индекс у скобок Пуассона указывает переменные, относительно которых ониопределены. Заметим, что преобразование произвольной функции F (Q, P ) также можнопредставить в аналогичном виде, а именно, имее쵶¶s µX∂φ∂F ∂φ∂φ∂F ∂φF (Q, P ) = F q +,p −= F (q, p) +−,∂p∂q∂q∂p∂p∂qααααα=1т.е.F (Q, P ) = F (q, p) + {φ, F }q,p .A.(5.55)Теорема об инвариантности скобок ПуассонаРассмотрим две произвольные функции обобщенных координат и обобщенных импульсов F, G.
Оказывается, что если преобразование от переменных q, p к Q, P является каноническим, то значение величины {F, G} не зависит от того, вычисляется ли она по старымпеременным или по новым, т.е.{F, G}q,p = {F, G}Q,P .75Глава 5. Канонический формализмДоказательство. Будем рассматривать F и G как функции новых переменных и рассмотрим скобки Пуассона {F (Q, P ), G(Q, P )}q,p . Используя формулу (5.55) и пренебрегаявеличинами порядка O(φ2 ), эти скобки можно преобразовать так:{F (Q, P ), G(Q, P )}q,p = {F (q, p) + {φ, F }q,p , G(q, p) + {φ, G}q,p }q,p= {F (q, p), G(q, p)}q,p + {F, {φ, G}q,p }q,p + {{φ, F }q,p , G}q,p= {F (q, p), G(q, p)}q,p + {F, {φ, G}q,p }q,p + {G, {F, φ}q,p }q,p .Согласно тождеству Якоби, сумма второго и третьего членов в последнем выраженииравна −{φ, {G, F }}q,p .
Таким образом,{F (Q, P ), G(Q, P )}q,p = {F (q, p), G(q, p)}q,p + {φ, {F, G}}q,p .В силу формулы (5.55) правая часть этого равенства есть в{F (Q, P ), G(Q, P )}Q,P , что и доказывает инвариантность скобок Пуассона.B.точностиТеорема об инвариантности фазового объемаРассмотрим систему, имеющую s степеней свободы и введем 2s-мерное пространство,снабженное декартовой системой координат, по осям которой откладываются значенияобобщенных координат и обобщенных импульсов системы. Это пространство называютфазовым пространством системы.
Каждая его точка определяет некоторое состояние системы. Действительно, согласно определению, данному в главе 1, состояние системы внекоторый момент времени определяется значениями ее обобщенных координат и обобщенных скоростей в этот момент, обобщенные же скорости взаимнооднозначно связаны собобщенными импульсами соотношениями pα = ∂L/∂ q̇α , α = 1, ..., s.Рассмотрим некоторую область g фазового пространства и определим ее объем γ :ZsYγ = dγ , dγ =dqα dpα .(5.56)α=1gРассмотрим, далее, произвольное каноническое преобразование от переменных q, p к новым переменным Q, P. Область в фазовом пространстве, образованном новыми переменными, на которую отображается область g, обозначим через G. Определим объем Γ этойобласти формулой, аналогичной (5.56):ZsYΓ = dΓ , dΓ =dQα dPα .α=1GОказывается, что имеет место равенствоγ = Γ.(5.57)Доказательство достаточно провести для бесконечно-малого канонического преобразования.
Согласно известной формуле замены переменных интегрирования в кратном интеграле,ZZdΓ =Jdγ ,gG76§5.5. Действие как функция координат и временигде J есть якобиан преобразования от переменных q, p к переменным Q, P. Он представляет собой определитель матрицы, составленной из частных производных новых координатпо старым: ∂Q1∂Q1 ∂Q1∂Q1 ······∂q1∂qs ∂p1∂ps ........ .... ∂Qs∂Qs ∂Qs∂Qs · · · ∂qs ∂p1 · · · ∂ps ∂q1J = det ∂P 1 · · · ∂P1 ∂P1 · · · ∂P1 ∂q1∂qs ∂p1∂ps ..... .... ... ∂Ps∂Ps ∂Ps∂Ps· · · ∂qs ∂p1 · · · ∂ps∂q1Для бесконечно-малого преобразования (5.53), (5.54) эта матрица отличается от единичной на члены порядка O(φ). Если элементы некоторой матрицы A имеют вид Aik =δik + aik , i, k = 1, ..., n, где все величины aik малы, то, пренебрегая величинами порядкаO(a2 ), имеем для ее определителя:det(δik + aik ) = 1 +nXaii .i=1Применяя эту формулу к матрице якобиана преобразования (5.53), (5.54), находимJ =1+sX∂{φ, qα }α=1∂qα+sX∂{φ, pα }α=1∂pα=1+sXα=1sX ∂ 2φ∂ 2φ−= 1,∂qα ∂pα α=1 ∂pα ∂qαчто и доказывает равенство (5.57).§5.5.Действие как функция координат и времениВ рамках классической механики величина действия системы, вычисленного на действительной траектории системы, сама по себе не имеет прямого физического смысла.Однако исследование зависимости этой величины от начального и конечного положений системы позволяет сформулировать принципиально новый подход к интегрированиюуравнений движения – так называемый метод Гамильтона-Якоби.Полагая q(t) = q̄(t), p(t) = p̄(t) в функционале S[q(t), p(t)], мы получим некоторую функцию параметров q (1) , t1 , q (2) , t2 , которые определяют действительную траекторию.
Обозначим эту функцию через S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 ). Структуру этой функции можно определить, исследуя ее изменение при малом изменении какого-либо из параметровq (1) , t1 , q (2) , t2 при фиксированных остальных.A.Зависимость действия от координатРассмотрим две близкие действительные траектории системы, одна из которых определяется условиями (2.18), а другая – условиямиqα (t1 ) = qα(1) ,qα (t2 ) = qα(2) + δqα(2) ,77α = 1, ..., s .(5.58)Глава 5. Канонический формализмФункции, описывающие эти траектории, обозначим соответственно через [q̄(t), p̄(t)] и[q̄(t) + δ q̄(t), p̄(t) + δ p̄(t)].
Другими словами, в обоих случаях система выходит из точки с координатами q (1) в момент времени t1 , но в момент времени t2 приходит в точки,разность координат которых равна δq (2) . Разность значений функционала действия (5.26)для этих двух траекторий естьS(q (1) , t1 ; q (2) + δq (2) , t2 ) − S(q (1) , t1 ; q (2) , t2 )!ï¯Zt2 Xs¯¯∂H(q̄, p, t) ¯∂H(q, p̄, t) ¯δ q̄α −=p̄α δ q̄˙α + q̄˙α δ p̄α −¯¯ δ p̄α dt∂qα∂pαq=q̄p=p̄α=1t1¯t2à ""!¯ #¯ #s Zt2¯X∂H(q, p̄, t) ¯¯∂H(q̄, p, t) ¯¯¯=p̄α δ q̄α ¯ +− p̄˙α +δ q̄α + q̄˙α −δ p̄α dt .¯¯¯∂q∂pααq=q̄p=p̄α=1α=1sXt1t1Интегральный член в последнем выражении тождественно равен нулю, поскольку траектория q̄(t), p̄(t) – действительная, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
