К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Соответствующие им обобщенные импульсысохраняются:∂L= µṘ ,∂ Ṙ∂L= Ix0 φ̇ sin2 θ + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) cos θ ,pφ =∂ φ̇∂Lpψ == Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) .∂ ψ̇pR =57(4.47)(4.48)(4.49)Глава 4. Интегрирование уравнений движенияПервый из этих интегралов движения выражает сохранение полного декартова импульсатвердого тела. Из него следует, как всегда, что центр инерции тела движется с постоянной скоростью Ṙ = pR /µ.
Будем рассматривать движение в системе центра инерции тела,положив Ṙ = 0. Далее, координаты φ и ψ являются, по определению, углами поворотатела вокруг осей z и z 0 . Поэтому соответствующие им обобщенные импульсы pφ и pψ представляют собой проекции полного момента импульса тела на эти оси [см. формулу (2.12)].Выберем ось z неподвижной системы координат вдоль сохраняющегося вектора моментаимпульса M . Тогдаpφ = M , pψ = M cos θ .Поскольку M, pψ постоянны, то из второго уравнения вытекает, что постоянен и угол θ.С другой стороны, из уравнений (4.48), (4.49) следуетpφ = Ix0 φ̇ sin2 θ + pψ cos θ .Комбинируя это уравнение с двумя предыдущими, получаемφ̇ =M,Ix0т.е., обобщенная скорость φ̇ также постоянна. Наконец, из уравнения (4.49) следует постоянство обобщенной скорости ψ̇:µ¶11ψ̇ = M cos θ−.Iz0Ix0Таким образом, ось z 0 равномерно вращается со скоростью M/Ix0 вокруг оси z, образуя cней постоянный угол (так называемая регулярная прецессия оси).
При этом сам волчокравномерно вращается вокруг оси z 0 с постоянной угловой скоростью [см. уравнение (4.42)]Ωz0 = φ̇ cos θ + ψ̇ =Mcos θ .Iz0Заметим, что энергия волчка (в рассматриваемом случае E = L) также сохраняется (Lне зависит явно от времени!). Однако закон сохранения энергии не дает ничего нового,так как он является следствием законов сохранения (4.47) – (4.49).Пример 13. Движение тяжелого симметрического волчка.
Рассмотрим движение твердоготела в однородном поле. Потенциальная энергия i-ой материальной точки тела в такомполе естьUi = −gi (F , ri ) ,где F обозначает напряженность поля, а gi – заряд точки. Подставляя ri = R + ρi исуммируя по всем точкам тела, получаем потенциальную энергию телаU = −G(F , R) − (F , d) ,где G =NPgi есть полный заряд тела, а d =i=1NPi=1gi ρi – его дипольный момент.
Аналогич-но тензору моментов, компоненты вектора d имеют постоянные значения в подвижной58§4.3. Движение твердого теласистеме. Поэтому при движении тела d меняет лишь свое направление, оставаясь постоянным по величине. В случае электрического поля заряды gi – электрические заряды, авектор d есть электрический дипольный момент, в случае же гравитационного поля gi– это массы точек тела, G ≡ µ, а вектор d ≡ 0, поскольку начало подвижной системыкоординат выбрано в центре инерции тела.Рассмотрим движение симметрического волчка в поле тяжести (тяжелый волчок).Пусть волчок имеет точку опоры, расположенную на оси z 0 , которая может скользить безтрения в плоскости x, y.
Расстояние от центра инерции волчка до точки опоры обозначимчерез l. Ось z направим вертикально вверх. Тогда функция Лагранжа волчка будет иметьвид³´oµ Ẋ 2 + Ẏ 2 + Ż 21nL =+Ix0 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 − µgZ , (4.50)22где X, Y, Z – проекции вектора R на оси неподвижной системы координат, а g – ускорениесилы тяжести.
Наличие опоры налагает следующую связь на волчок:Z = l cos θ .Эта связь голономна. Она уменьшает на единицу число степеней свободы волчка. Выбрав в качестве обобщенных координат X, Y, φ, θ, ψ, выражаем функцию Лагранжа черезобобщенные координаты и скорости³´oµ Ẋ 2 + Ẏ 2 + l2 θ̇2 sin2 θ1n222200Ix (φ̇ sin θ + θ̇ ) + Iz (φ̇ cos θ + ψ̇) − µgl cos θ .L =+22(4.51)Координаты X, Y, φ, ψ – циклические. Соответствующие сохраняющиеся обобщенные импульсы имеют вид∂L= µẊ ,∂ Ẋ∂LpY == µẎ ,∂ Ẏ∂Lpφ == Ix0 φ̇ sin2 θ + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) cos θ ,∂ φ̇∂L= Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇) .pψ =∂ ψ̇pX =(4.52)(4.53)(4.54)(4.55)Функция Лагранжа (4.51) также не зависит от времени явно, поэтому сохраняется обобщенная энергия´³oµ Ẋ 2 + Ẏ 2 + l2 θ̇2 sin2 θ1n+Ix0 (φ̇2 sin2 θ + θ̇2 ) + Iz0 (φ̇ cos θ + ψ̇)2 + µgl cos θ .E=22(4.56)Смысл законов сохранения (4.52) – (4.55) тот же, что и в случае свободного волчка.
Вотличие от последнего, однако, при наличии поля тяжести сохраняется не весь вектор M ,а лишь его проекция на ось z.59Глава 4. Интегрирование уравнений движенияИтак, мы имеем систему из пяти интегралов движения для пяти неизвестных функцийX(t), Y (t), φ(t), θ(t), ψ(t).Перейдем к интегрированию этой системы. Как и в случае свободного волчка, мыдля простоты исключим поступательное движение волчка, перейдя в систему отсчета, вкоторой pX = pY = 0 (и потому X(t) = X(t0 ), Y (t) = Y (t0 )). Из уравнения (4.55) следует,что второй член в фигурных скобках в выражении для E есть постоянная, равная p2ψ /Iz0 .Далее, из уравнений (4.54), (4.55) имеемpφ = Ix0 φ̇ sin2 θ + pψ cos θ .(4.57)Выражая отсюда φ̇ и подставляя в уравнение (4.56), получимIx0 + µl2 sin2 θ 2E =θ̇ + Ueff (θ) ,2(pφ − pψ cos θ)2Ueff (θ) =+ µgl cos θ ,2Ix0 sin2 θ0E0 = E −p2ψ.2Iz0Разделение переменных в этом уравнении даетpIx0 + µl2 sin2 θ dθdt = ± √ p,2 E 0 − Ueff (θ)(4.58)(4.59)откуда интегрированием получаемZθ pIx0 + µl2 sin2 θ dθt − t0 =,√ p± 2 E 0 − Ueff (θ)θ0 = θ(t0 ) .(4.60)θ0Знак + (−) в правой части этой формулы берется на участках траектории, на которыхθ̇ > 0 (θ̇ < 0).
Далее, разделяя переменные φ и t в уравнении (4.57), и используя равенство(4.59), находимp(pφ − pψ cos θ)dt(pφ − pψ cos θ) Ix0 + µl2 sin2 θ dθ,(4.61)dφ ==√ pIx0 sin2 θIx0 sin2 θ± 2 E 0 − Ueff (θ)откудаZθφ − φ0 =θ0p(pφ − pψ cos θ) Ix0 + µl2 sin2 θ dθ,√ pIx0 sin2 θ± 2 E 0 − Ueff (θ)φ0 = φ(t0 ) .(4.62)Наконец, разделение переменных в уравнении (4.55) с учетом уравнения (4.61) даетpψψ − ψ0 =(t − t0 ) −Iz0Zθθ0p(pφ − pψ cos θ) cos θ Ix0 + µl2 sin2 θ dθ,√ pIx0 sin2 θ± 2 E 0 − Ueff (θ)ψ0 = ψ(t0 ) .Формулы (4.60), (4.62) и (4.63) определяют закон движения волчка в квадратурах.60(4.63)§4.3. Движение твердого телаРис. 9: Возникновение приливного бугра на Земле под влиянием гравитационного поля Луны.Угловая скорость вращения Земли Ω⊕ больше угловой орбитальной скорости Луны ω, поэтомубугор смещается от линии Земля-Луна в направлении вращения Земли.Пример 14.
Влияние приливных сил на движение системы Земля-Луна. Если бы силы тяготения между планетами были строго центральными (зависящими лишь от положенияих центров масс), приближение, в котором планеты рассматриваются как материальныеточки, было бы точным. Однако в действительности имеются отклонения от центральности, связанные с тем, что распределения масс в планетах не являются строго сферическисимметричными. Одной из причин этой несимметричности являются сами силы тяготениямежду планетами, приводящие к тому, что взаимодействующие планеты слегка вытягиваются в направлении, соединяющем их центры. Примером такого рода влияния Лунына Землю являются морские приливы.
Из-за того, что скорость вращения Земли большеугловой орбитальной скорости Луны, приливный бугор несколько смещается от направления Земля-Луна в направлении вращения Земли, поскольку массам воды для перемещения требуется некоторое время. Получающаяся конфигурация показана схематически наРис. 9. Сила тяготения Луны, действующая на приливный бугор, стремится вернуть егона линию Земля-Луна. Возникающая своеобразная “сила трения,” называемая приливнойсилой, тормозит вращение Земли.
Однако поскольку сила тяготения является потенциальной, это трение не приводит к уменьшению полной механической энергии или полногомомента импульса системы. Исходя только лишь из этих законов можно ответить на интересный вопрос о том, как будет двигаться система, когда приливные силы полностьюзатормозят относительное вращение Земли и Луны, т.е. когда угловые скорости их вращения сравняются. Сделаем это, предполагая для простоты, что орбиты тел являютсякруговыми, а оси их вращения перпендикулярны плоскости орбиты. Для этого запишемвыражение сохраняющегося момента импульса системы. Он складывается из моментаимпульса орбитального движения тел и момента импульса их вращения. Орбитальныймомент импульса находим по формуле (3.16) задачи двух тел:Morb = mr2 ω ,(4.64)где m обозначает приведенную массу системыm=m⊕ mL,m⊕ + mLа ω – угловая скорость вращения вектора r = rL − r⊕ ; нижние индексы ⊕, L относятся кЗемле и Луне, соответственно.
По условию задачи моменты импульса вращения Земли и61Глава 5. Интегрирование уравнений движенияЛуны перпендикулярны плоскости орбиты и, согласно формуле (4.40), по величине равныM⊕ = I⊕ Ω⊕ ,ML = IL ΩL .(4.65)При вычислении моментов инерции Земли и Луны их можно считать шаровыми волчками, поскольку изменение распределения массы планеты под действием приливных силотносительно малó. Таким образом, полный момент импульса системы равенM = mr2 ω + I⊕ Ω⊕ + IL ΩL = const .(4.66)С другой стороны, поскольку изменение орбит под действием приливных сил происходиточень медленно, движение системы на каждом витке хорошо описывается решением задачи двух тел, полученным в §3.3. Подставляя T = 2π/ω, a = r, |α| = Gm⊕ mL в формулу(3.38), получаемrG(m⊕ + mL )ω=,r3откуда следует, что текущие значения параметров ω, r связаны с их конечными значениями ω 0 , r0 соотношением, аналогичным третьему закону Кеплераµ 0 ¶2 ³ ´ωr 3= 0 .(4.67)ωrУчитывая, что в конечном состоянииω 0 = Ω0L = Ω0⊕ ,находим из уравнения (4.66)¡¢mr2 ω + I⊕ Ω⊕ + IL ΩL = ω 0 mr02 + I⊕ + IL .Подставляя сюда r0 из уравнения (4.67), получаем уравнение для конечной угловой скорост赶³ ω ´4/3202mr ω + I⊕ Ω⊕ + IL ΩL = ω mr+ I⊕ + IL .(4.68)ω0Используя формулу (4.45) и учитывая, что масса Луны примерно в восемьдесят раз меньше массы Земли, а ее радиус – почти в четыре раза меньше земного, пренебреаем IL посравнению с I⊕ , полагаем m ≈ mL и переписываем уравнение (4.68) в вид嵶¶2 µ2m⊕ R⊕Ω⊕− x = x−1/3 ,(4.69)1+5mLrωгде x = ω 0 /ω, причем нас интересуют решения x < 1 (т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
