К.А. Казаков - Введение в теоретическую и квантовую механику (1115216), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Как видно из Рис. 6,угол рассеяния χ = π − φ̃.Для описания распределения рассеянных частиц по углу χ используют так называемоедифференциальное сечение рассеяния, dσ, которое определяется как число частиц, рассеянных в интервал углов [χ, χ + dχ] в единицу времени при единичной плотности потоканалетающих частиц (плотностью потока частиц называют число частиц, пролетающихв единицу времени через единицу площади, расположенную перпендикулярно скоростичастиц).
Пусть интервал [ρ, ρ + dρ] есть тот интервал прицельных расстояний, которыеимеют частицы, рассеиваемые в интервал углов [χ, χ + dχ]. Тогда число этих частиц равно 2πρdρ. Для того чтобы получить эффективное сечение рассеяния, это число следуетвыразить через χ и dχ. Для этого напишемdρ =dρdχ .dχОбычно угол рассеяния уменьшается с увеличением прицельного расстояния, т.е. производная dρ/dχ отрицательна.
Поэтому для того чтобы при положительном dχ число частицтакже было положительным, дифференциальное сечение рассеяния записывают в виде¯ ¯¯ dρ ¯(3.40)dσ = 2πρ ¯¯ ¯¯ dχ .dχЧисло рассеянных частиц также можно относить не к dχ, а к интервалу телесных угловdo между двумя конусами с углами раствора χ и χ + dχ, образующими которых являются асимптоты траекторий рассеянных частиц. Величиной телесного угла с началом внекоторой точке называют площадь поверхности, вырезаемой этим углом на единичнойсфере с центром в данной точке, поэтому в рассматриваемом случае do = 2π sin χdχ, иформула (3.40) принимает вид¯ ¯ρ ¯¯ dρ ¯¯do .(3.41)dσ =sin χ ¯ dχ ¯39Глава 3.
Интегрирование уравнений движенияНайдем дифференциальное сечение рассеяния в кулоновом поле. Воспользуемся дляэтого уравнением (3.32). В этой формуле угол φ отсчитывается от направления радиусвектора точки в момент, когда r = rmin . Поэтому угол φ̃ равен удвоенной величине углаφ при r = ∞, а именнαφ̃ = 2 arccos,e|α|или, подставляя φ̃ = π − χ,e sinУчитывая, чтоsre=αχ=.2|α|1+2EM 2mα2находимµ2ρ ==αmv02µ1+¶2ctg2mρv02α¶2,χ,2поэтому дифференциальное сечение рассеяния (3.41)¯ ¯¯ 2¯µ¶2 cos χ¯ dρ ¯ doρ ¯¯ dρ ¯¯α2 do ,¯¯dσ =do==χ¯ dχ ¯ 2 sin χsin χ ¯ dχ ¯mv02sin3 2 sin χ2илиµdσ =α2mv02¶2dosin4Это выражение называется формулой Резерфорда.40χ.2(3.42)§4.1. Колебания систем со многими степенями свободыГлава 4.ЖЕНИЕ)§4.1.ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (ПРОДОЛ-Колебания систем со многими степенями свободыРассмотрим систему с произвольным числом степеней свободы s.
Пусть для простотыV = 0, а потенциальная энергия U (q) системы не зависит явно от времени и при q = q (0)имеет экстремум:∂U (0)(q ) = 0 , α = 1, ..., s .∂qαИсследуем движение системы в малой окрестности q (0) . Для этого, во-первых, запишемфункцию Лагранжа, подставляя выражения (1.6) для декартовых скоростей точек системы в L = T − U :à s!NssXXX∂rimαβ (q)mi X ∂riL=q̇α ,q̇β − U (q) =q̇α q̇β − U (q) ,(4.1)2∂q∂q2αβα=1i=1β=1α,β=1гдеmαβ (q) =NXµmii=1Введем новые переменныеξα = qα − qα(0) ,∂ri ∂ri,∂qα ∂qβ¶.(4.2)α = 1, ..., s .ξ определяют величину отклонения системы от положения равновесия и по предположению малы. Предположим, далее, что в начальный момент времени t0 скорости q̇ = ξ˙ такжемалы, и будем рассматривать движение системы при таких t, при которых эти предположения выполняются.
Тогда можно разложить функцию Лагранжа (4.1) по степеням˙ Разложение потенциальной энергии имеет видмалых величин ξ, ξ.U (q(0)ssX∂U (0)1 X ∂2U+ ξ) = U (q ) +(q )ξα +(q (0) )ξα ξβ + O(ξ 3 )∂qα2 α,β=1 ∂qα ∂qβα=1(0)s1 X= U (q ) +kαβ ξα ξβ + O(ξ 3 ) ,2 α,β=1(0)гдеkαβ =(4.3)∂ 2U(q (0) )∂qα ∂qβесть матрица постоянных коэффициентов. Заметим, что kαβ = kβα , в силу перестановочности вторых производных. Член U (q (0) ) в выражении (4.3) может быть опущен – поскольку в уравнения движения входят только производные от L, добавление постояннойк функции Лагранжа не меняет этих уравнений. Далее, кинетическая энергия являет˙ поэтому в низшем порядке в коэффициентахся квадратичной по малым скоростям ξ,(0)m(q) следует положить q = q : учет зависимости m(q (0) + ξ) от ξ привел бы к членам41Глава 4. Интегрирование уравнений движенияследующего порядка малости.
Таким образом, в низшем порядке по малым ξ, ξ˙ функцияЛагранжа принимает видssXmαβ ˙ ˙1 XL=ξα ξβ −kαβ ξα ξβ ,22 α,β=1α,β=1(4.4)где mαβ = mαβ (q (0) ). Составим уравнения Лагранжа. Мы имеемÃ!sX˙β∂Lmαβ ∂ ξ˙α ˙∂ξ=ξβ + ξ˙α, γ = 1, ..., s.2∂ ξ˙γ∂ ξ˙γ∂ ξ˙γα,β=1В силу независимости обобщенных скоростей ξ˙∂ ξ˙α= δαγ .∂ ξ˙γПоэтомуsss´ XXXmαβ ³mγβ ˙∂Lmαγ ˙˙˙=δαγ ξβ + ξα δβγ =ξβ +ξα ,22∂ ξ˙γ α,β=1 2α=1β=1γ = 1, ..., s.Из определения (4.2) следует, что mαβ = mβα . Учитывая это и заменяя индекс суммирования в последнем уравнении на α, получимsX∂L=mγα ξ˙α ,∂ ξ˙γγ = 1, ..., s.α=1Аналогично,sX∂Lkγα ξα ,=−∂ξγα=1γ = 1, ..., s.Таким образом, уравнения Лагранжа имеют следующий видs ³X´mαβ ξ¨β + kαβ ξβ = 0 ,α = 1, ..., s.(4.5)β=1Напоминание. В выводе уравнений (4.5) использовалась симметричность матриц mαβ , kαβ .Поэтому после “считывания” этих матриц по функции Лагранжа следует проверить, действительно ли они получились симметричными.
Если нет, то их следует симметризовать,т.е. заменить mαβ → (mαβ + mβα )/2, kαβ → (kαβ + kβα )/2.Заметим, что ξα (t) = 0, α = 1, ..., s являются решением уравнений (4.5). Это означает,что если в начальный момент времени система находилась в состоянии q = q (0) , q̇ = 0, тоона будет оставаться в этом состоянии неограниченно долго. Другими словами, положениесистемы, определяемое набором q (0) , является положением равновесия. Если при q = q (0)функция U (q) имеет локальный минимум, то при малом отклонении состояния системы отq = q (0) , q̇ = 0 она будет стремиться вернуться обратно. Другими словами, при достаточно42§4.1.
Колебания систем со многими степенями свободымалом значении разности E − U (q (0) ) движение в окрестности q (0) будет финитным. Такоеположение равновесия называют устойчивым.Наряду с системой (4.5) рассмотрим аналогичную систему уравнений для комплексныхфункций ηα (t) :sX(mαβ η̈β + kαβ ηβ ) = 0 ,α = 1, ..., s.(4.6)β=1Системы уравнений (4.5) и (4.6) эквивалентны. Действительно, любое решение (4.5) является также решением (4.6). С другой стороны, поскольку коэффициенты mαβ , kαβ поопределению вещественны, то, беря вещественную либо мнимую части уравнений (4.6),найдем¶ss µXXd2Re(mαβ η̈β + kαβ ηβ ) =mαβ 2 Re ηβ + kαβ Re ηβ = 0 , α = 1, ..., s,dtβ=1β=1¶ss µXXd2Im(mαβ η̈β + kαβ ηβ ) =mαβ 2 Im ηβ + kαβ Im ηβ = 0 , α = 1, ..., s.dtβ=1β=1Таким образом, вещественные величины Re η и Im η являются решениями системы (4.5).Отсюда следует, что любое решение ξ(t) системы (4.5) можно записать какξα (t) = Re ηα (t) ,α = 1, ..., s,где η(t) – решение системы (4.6).Будем искать частное решение системы уравнений (4.6) в видеηα (t) = Aα eiωt ,α = 1, ..., s,(4.7)с постоянными комплексными амплитудами Aα и частотой ω.
Соответствующий наборξα (t), α = 1, ..., s описывает нормальное колебание системы с частотой ω. Подставляявыражения (4.7) в (4.5), приходим к системе алгебраических уравненийsX¡¢−mαβ ω 2 + kαβ Aβ = 0 ,α = 1, ..., s.(4.8)β=1Условием совместности этой системы линейных однородных уравнений является обращение в нуль определителя, составленного из коэффициентов при Aβ :det(−mαβ ω 2 + kαβ ) = 0 .(4.9)Уравнение (4.9) называется характеристическим уравнением. Оно является алгебраическим уравнением порядка s относительно ω 2 , и по основной теореме алгебры имеет sкорней ωk2 , k = 1, ..., s. ωk называют собственными частотами системы. Некоторые изкорней ωk2 могут оказаться кратными.
В этом случае соответствующие частоты называют вырожденными. Подставляя решения характеристического уравнения поочередно в(k)систему (4.8), найдем s линейно-независимых векторов Aα , k = 1, ..., s. Общее решениеуравнений (4.5) является суммой всех частных решений:( s)X(k) iωk tξα (t) = ReAα e, α = 1, ..., s .(4.10)k=143Глава 4. Интегрирование уравнений движенияA.Невырожденный случайКак известно из курса линейной алгебры, в случае когда все корни характеристического уравнения различны, система (4.8) имеет для каждого ωk ровно одно линейно(k)независимое решение Aα . Для того чтобы записать закон движения в явно вещественном(k)(k)виде, определим вещественные величины Cα и φα согласно(k)(k)A(k)α = Cα exp{iφα } ,φ(k)α ∈ [0, π) .(4.11)Эта запись аналогична представлению комплексного числа через его модуль и фазу, за(k)исключением того, что в данном случае величина Cα может быть как положительной,(k)так и отрицательной, в соответствии с тем, что фаза φα может принимать значения(k)только из полуоткрытого отрезка [0, π).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
